巧用數(shù)學(xué)思想提高解題能力

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2016）01-0128-01

喬治·波利亞在數(shù)學(xué)教育上的研究主要是“解題”、“解題教學(xué)”和“數(shù)學(xué)教師培訓(xùn)”三個(gè)領(lǐng)域。波利亞最為強(qiáng)調(diào)兩點(diǎn)之一是“教會(huì)年輕人思考”，也就是“接近‘解題”。他實(shí)質(zhì)上是把“解題能力”作為“中學(xué)”數(shù)學(xué)的第一目的，從他的著作可以看到他的“解題”主要是指數(shù)學(xué)內(nèi)部問題，并沒有十分關(guān)注解實(shí)際的生活中的問題（但他并不排斥這一點(diǎn)）；“解題是最富有特征的、特殊類型的、有目的的思考”，亦就是說(shuō)解題是培養(yǎng)學(xué)生思維能力的重要途徑。在解題過程中滲透利用數(shù)學(xué)思想，可以使學(xué)生在冥思苦想之后，及時(shí)地改變思考問題的角度，另辟蹊徑進(jìn)行求解，提高了解題能力，有利于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提高創(chuàng)造能力。

一、數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)從辯證法意義上講，沒有數(shù)形結(jié)合，僅是孤立地研究物質(zhì)世界的數(shù)量關(guān)系或空間形式，十分狹隘和膚淺，不但數(shù)學(xué)的發(fā)展受到遏制，而且人類對(duì)物質(zhì)世界客觀規(guī)律的認(rèn)識(shí)也永遠(yuǎn)只能處于片面的、孤立的、淺表的狀態(tài)。

數(shù)形結(jié)合思想，把問題的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖形的性質(zhì)，或?qū)D形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，是數(shù)學(xué)活動(dòng)中的一種十分重要的思維策略。形與數(shù)的結(jié)合，不僅使幾何問題獲得有力的代數(shù)工具，同時(shí)也使數(shù)學(xué)課題具有明顯的直觀性。著名數(shù)學(xué)家華羅庚說(shuō)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微?！币虼嘶瘮?shù)為形，化形為數(shù)，數(shù)形結(jié)合，相互為用，是數(shù)學(xué)的重要思想方法之一。

1.化數(shù)為形

將抽象的代數(shù)問題，通過構(gòu)造圖形化抽象為具體，借助直觀，啟發(fā)思維，轉(zhuǎn)化為易解的幾何問題。

例1 已知：x<0，y>0且y<|x|，問x，-x，y，-y的大小順序。

解：構(gòu)造數(shù)軸

顯然 x<-y

析解：如上圖所示，若以x+y為直徑作半圓，且在圖形上分別作出和，則結(jié)論顯然成立。

2.化形為數(shù)

不易證明的幾何問題，通過設(shè)輔助字母運(yùn)用代數(shù)、三角知識(shí)，借助計(jì)算，把圖形的性質(zhì)定量化，從而證得所證結(jié)論。

例3 已知：如圖，P為等邊三角形ABC外接圓劣弧上任意一點(diǎn)。

求證：⑴ PB+PC=PA ⑵PB·PC=PA2-PC2

證明：設(shè)△ABC邊長(zhǎng)為a，在△PAC中，∠APC=60°

∴ a2=PA2+PC2-2PA·PC·cos60°

即PC2-PA·PC+（PA2-a2）=0 ①

在△PAB中，同樣有PB2-PA·PB+（PA2-a2）=0 ②

由①、②可知：PB、PC都是方程

x2-PA·x+PA2-BC2=0的兩根。

∴ PB+PC=PA PB·PC=PA2-BC2

二、變換與轉(zhuǎn)化

解答數(shù)學(xué)題，往往通過多種多樣的變換，實(shí)現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化，化未知為已知，化陌生為熟知，化繁難為簡(jiǎn)易，化綜合為單一，因此轉(zhuǎn)化是解題的有力杠桿。

1.變換條件（或結(jié)論）

有些題目的條件（或結(jié)論）比較復(fù)雜或難以入手，可設(shè)法等價(jià)的變換。

2.幾何中的變換

全等變換主要包括平移、對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)。由此可適當(dāng)添作輔助線，實(shí)現(xiàn)由未知向已知的轉(zhuǎn)化，架起溝通條件與結(jié)論的橋梁。

例 已知：如圖，設(shè)D是等腰直角三角形ABC底邊BC的中點(diǎn)，P是BC上任意一點(diǎn)，作PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，求證：DE=DF

析證：為了使DE和DF集中在一起，使之成為同一三角形兩邊，以BC為軸，作Rt△ABC的對(duì)稱圖形，得正方形ABA′C，問題轉(zhuǎn)化為DE=DF′

證明：∵ D是正方形ABA′C對(duì)角線BC的中點(diǎn)

∴ D在BA′的垂直平分線上

∵ EF′∥BA′， EF′=BA′

∴ D在EF′的垂直平分線上

∴ DE=DF′ 又DF′=DF

∴ DE=DF

當(dāng)然，數(shù)學(xué)思想不止這些。真正將學(xué)生從題海中解放出來(lái)，又能提高他們分析問題、解決問題的能力，又有利于發(fā)展思維，應(yīng)該克服過分強(qiáng)調(diào)哪類問題用哪種解法的教學(xué)傾向，應(yīng)該重視對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)，從而提高解題能力。

作者簡(jiǎn)介：

忽培明（1972-），任石河子第十七中學(xué)初中數(shù)學(xué)教師，中教一級(jí)。