基于博弈論改進(jìn)TOPSIS模型的構(gòu)建及應(yīng)用

袁　偉，王　毅，文　俊

(重慶市水利電力建筑勘測(cè)設(shè)計(jì)研究院， 重慶 400020)

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基于博弈論改進(jìn)TOPSIS模型的構(gòu)建及應(yīng)用

袁偉，王毅，文俊

(重慶市水利電力建筑勘測(cè)設(shè)計(jì)研究院， 重慶 400020)

摘要：對(duì)工程方案進(jìn)行綜合比選時(shí)，傳統(tǒng)方法往往因指標(biāo)定權(quán)計(jì)算方法選用不適宜，進(jìn)而影響到評(píng)價(jià)結(jié)果的精度和合理性。綜合考慮生態(tài)效益、經(jīng)濟(jì)效益、社會(huì)效益，按照實(shí)用性、代表性等原則建立評(píng)價(jià)指標(biāo)體系，提出用“垂直距離”替代“歐式距離”對(duì)傳統(tǒng)的TOPSIS模型進(jìn)行改進(jìn)，從而建立基于博弈論的改進(jìn)TOPSIS模型，并將該模型用于重慶市境內(nèi)的雙溪河整治工程的方案優(yōu)選中。實(shí)例應(yīng)用結(jié)果表明，該方法用于工程方案的綜合評(píng)價(jià)是可行的，評(píng)價(jià)結(jié)果較為可靠、合理，為其他工程方案綜合評(píng)價(jià)提供了一種新方法和借鑒經(jīng)驗(yàn)。

關(guān)鍵詞：逼近理想解的排序法；集對(duì)分析；博弈論權(quán)重；最小相對(duì)熵原理

在河道整治、地基處理等工程中，工程投資、施工難度和工期等將會(huì)成為選擇工程方案的制約因素，通常要對(duì)多個(gè)工程方案進(jìn)行綜合比選，然而多個(gè)待選方案的綜合評(píng)價(jià)問(wèn)題屬于多層次、多屬性和多目標(biāo)的決策問(wèn)題，由于受到多種制約因素的影響，使得決策問(wèn)題具有一定的不確定性。SPA為一種處理隨機(jī)性、模糊性和不確定性的系統(tǒng)方法，得到了廣泛的應(yīng)用[1-5]，文獻(xiàn)[2-5]將集對(duì)分析理論運(yùn)用于不同領(lǐng)域，解決相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題，均得出相對(duì)合理的研究成果，但往往忽視了對(duì)評(píng)價(jià)指標(biāo)權(quán)重計(jì)算方法作深入研究和分析，不同權(quán)重計(jì)算方法對(duì)評(píng)價(jià)結(jié)果的影響程度以及探求更為合理的組合權(quán)重計(jì)算方法值得進(jìn)一步研究。在文獻(xiàn)[6]中將集對(duì)分析(SPA)和TOPSIS兩種理論進(jìn)行耦合，利用集對(duì)分析的同一度矩陣構(gòu)建規(guī)范決策矩陣，建立了改進(jìn)的TOPSIS模型，提高了其鑒別優(yōu)劣排序的能力。本文對(duì)文獻(xiàn)[6]提出改進(jìn)的TOPSIS模型作進(jìn)一步改進(jìn)，提出用“垂直距離”替代“歐式距離”，并將該改進(jìn)TOPSIS模型用于河道整治工程方案比選中，解決多方案優(yōu)劣排序問(wèn)題。本文采用“博弈論”法[7]求解組合權(quán)重，該法具有適用范圍廣、計(jì)算簡(jiǎn)便和概念清晰等優(yōu)點(diǎn)。

1模型建立

1.1TOPSIS和SPA理論

TOPSIS[8]方法具有計(jì)算簡(jiǎn)便、概念清晰的特點(diǎn)，主要用于解決多目標(biāo)、多屬性決策問(wèn)題，這與河道整治綜合評(píng)價(jià)決策問(wèn)題相適宜，其具體思路詳見文獻(xiàn)[9]。但傳統(tǒng)TOPSIS模型存在一個(gè)較為明顯的不足之處，可能同時(shí)出現(xiàn)與理想解和負(fù)理想解的歐式距離均接近的情況，再利用相對(duì)歐式距離作方案優(yōu)劣排序，存在一定的不足。為解決這個(gè)問(wèn)題，提出用“垂直距離”來(lái)替代歐式距離。文獻(xiàn)[9]給出“垂直距離”的定義即在理想解和負(fù)理想解之間存在兩點(diǎn)，過(guò)這兩點(diǎn)作理想解和負(fù)理想解連線為法向量的平面之間的距離。如果一個(gè)方案與理想解的“垂直距離”較近，那么與負(fù)理想解的“垂直距離”就遠(yuǎn)，證明過(guò)程詳見文獻(xiàn)[9]。

SPA[1]在給定的問(wèn)題背景下，對(duì)所論的集對(duì)進(jìn)行同、異、反的定量分析，聯(lián)系度計(jì)算公式如下：

u=a+bi+cj

(1)

式中：a、b和c分別為同一度、差異度和對(duì)立度，且滿足a+b+c=1；i在[-1，1]中取值，j為對(duì)立度系數(shù)，一般恒取-1。

若所論的集對(duì)只須進(jìn)行同一性、同一度進(jìn)行分析，對(duì)其差異性、對(duì)立性不作分析，同一性、同一度的概念定義參見文獻(xiàn)[6]。集對(duì)同一度的計(jì)算規(guī)則參見文獻(xiàn)[10]。

1.2基于博弈論組合權(quán)重的改進(jìn)TOPSIS模型

步驟1：建立待評(píng)方案集、評(píng)價(jià)指標(biāo)集

假設(shè)有m個(gè)待評(píng)方案和有n個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)，以此建立待評(píng)方案集A={A1，A2…Am}和評(píng)價(jià)指標(biāo)集P={P1，P2…Pn}，每個(gè)指標(biāo)值均為非負(fù)有理數(shù)。對(duì)于成本型指標(biāo)越小越優(yōu)，比如工程投資、工程占地面積等；對(duì)于效益型指標(biāo)越大越優(yōu)，比如安全性、可靠性等。

步驟2：確定理想方案A0

對(duì)于某一個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)，理想方案A0的取值：即從m個(gè)待評(píng)價(jià)方案中選擇最優(yōu)值：

A0={P01，P02…P0n}

(2)

步驟3：同一度矩陣R

根據(jù)文獻(xiàn)[10]，同一度矩陣R=(rik)m×n，其中的元素rik為：

當(dāng)PikP0k，則有rik=P0k/Pik

(3)

步驟4：規(guī)范決策矩陣Z

根據(jù)同一度矩陣R構(gòu)建規(guī)范決策矩陣Z=(zik)m×n，其中的元素zik為[11]：

(4)

步驟5：計(jì)算各指標(biāo)的組合權(quán)重wkc

對(duì)于評(píng)價(jià)指標(biāo)的權(quán)重計(jì)算，若僅考慮主觀賦權(quán)法，往往因客觀信息考慮較少帶來(lái)一定的誤差，影響到評(píng)價(jià)結(jié)果的精度；相應(yīng)地若僅考慮客觀賦權(quán)法，指標(biāo)賦權(quán)有了客觀依據(jù)，可以充分挖掘數(shù)據(jù)的客觀屬性，但專家的經(jīng)驗(yàn)對(duì)指標(biāo)賦權(quán)具有不可忽視的作用。為充分發(fā)揮兩種賦權(quán)法的優(yōu)勢(shì)，主觀賦權(quán)采用專家打分法確定，客觀權(quán)重采用熵權(quán)法確定，熵權(quán)法計(jì)算公式參見文獻(xiàn)[12]，用博弈論求解各指標(biāo)的組合權(quán)重，稱其為“博弈論”法，具體計(jì)算公式如下[7]：

假設(shè)有L種方法計(jì)算指標(biāo)權(quán)重，得到指標(biāo)的權(quán)重向量：

wj=(wj1，wj2…wjn)，(j=1,2,…,L)

(5)

對(duì)于組合權(quán)重w，則L種權(quán)重向量的線性組合：

(6)

為了使組合權(quán)重w與每一個(gè)權(quán)重wj的離差極小化，由此可建立對(duì)策模型：

(7)

根據(jù)矩陣的微分性質(zhì)，可以推導(dǎo)出上式的最優(yōu)化的一階導(dǎo)數(shù)條件：

(8)

由上式可以計(jì)算求得(α1，α2，…αL)，對(duì)其進(jìn)行歸一化處理，可得組合權(quán)重wc：

(9)

為了對(duì)不同組合權(quán)重計(jì)算方法進(jìn)行比較，僅介紹兩種常用的計(jì)算方法如下：

(1) 文獻(xiàn)[13]運(yùn)用最小相對(duì)熵原理求解組合權(quán)重，稱其為“最小相對(duì)熵原理”法，構(gòu)造的目標(biāo)函數(shù)和約束條件為：

(10)

(11)

(12)

(2) 文獻(xiàn)[14]運(yùn)用優(yōu)化決策模型求解組合權(quán)重，稱其為“優(yōu)化決策模型”法，構(gòu)造的目標(biāo)函數(shù)和約束條件為：

(13)

(14)

(15)

若僅2組權(quán)重向量計(jì)算組合權(quán)重，“優(yōu)化決策模型”法是“博弈論”法的簡(jiǎn)化形式，即wc=α1·w1k+α2·w2k,(α1+α2=1)，由此可見，“博弈論”法適用于L≥2的情況，而“優(yōu)化決策模型”法僅適用于L=2的情況。

步驟6：建立加權(quán)規(guī)范決策矩陣X=(xik)m×n，其中的xik：

(16)

(17)

根據(jù)文獻(xiàn)[9]，平移矩陣T=(tik)m×n，其中的tik：

(18)

步驟8：計(jì)算“垂直距離”Di

計(jì)算各方案與理想解的“垂直距離”Di，其計(jì)算公式為：

(19)

Di值表明方案接近理想解的程度[15]，Di值越小，說(shuō)明距離理想解越近，則待評(píng)價(jià)方案越優(yōu)。

2模型應(yīng)用

選用重慶市境內(nèi)的雙溪河(為御臨河的二級(jí)支流)的河道整治工程的相關(guān)資料來(lái)驗(yàn)證本文所建立模型的可行性和合理性，該河流于2013年進(jìn)行河道整治時(shí)提出3種治理方案：

方案1：“抬高式”明渠方案；

方案2：“箱涵+非常溢洪道”方案；

方案3：明渠方案。

評(píng)價(jià)指標(biāo)根據(jù)河流實(shí)際情況選定，共選擇7個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)：工程投資X1，萬(wàn)元/m；工程占地面積X2，畝；工程景觀性X3；工程安全性X4；工程親水性X5；工程施工強(qiáng)度因子X6；工程施工導(dǎo)流難度X7。三種治理方案的具體數(shù)據(jù)見表1。

表1　三種治理方案特性表

由表1可知，理想方案A0={2.17，124.73，0.8，0.8，0.7，0.3，0.4}，由公式(3)和公式(4)可得同一度矩陣R和規(guī)范決策矩陣Z，根據(jù)文獻(xiàn)[12]給出的熵權(quán)法計(jì)算步驟可得各指標(biāo)的客觀權(quán)重w(o)={0.1429，0.1412，0.1431，0.1339，0.1597，0.1488，0.1303}，各指標(biāo)的主觀權(quán)重通過(guò)專家咨詢打分，得到各指標(biāo)的主觀權(quán)重w(s)={0.1653，0.1488，0.1405，0.1570，0.1405，0.1322，0.1157}，由式(7)～式(9)、式(12)(α1=0.761，α2=0.239)和式(15)(μ取0.5)得到各指標(biāo)的組合權(quán)重見表2，再將表2中組合權(quán)重計(jì)算結(jié)果分別代入式(16)～式(19)可得評(píng)價(jià)結(jié)果見表3。

由表2可知，采用不同組合權(quán)重法計(jì)算得到的指標(biāo)組合權(quán)重值差別不大，各指標(biāo)在指標(biāo)集中的重要程度沒(méi)有受到影響；式(15)是式(9)的最簡(jiǎn)化形式(L=2)，兩者計(jì)算結(jié)果應(yīng)相同，兩者計(jì)算結(jié)果不同是由于主觀和客觀權(quán)重的比重系數(shù)不同造成的，假如μ取0.761，則兩種組合權(quán)重的計(jì)算結(jié)果則完全相同。不難發(fā)現(xiàn)，“博弈論”法中比重系數(shù)的確定是嚴(yán)格按照公式計(jì)算出來(lái)的，不存在主觀因素，其組合權(quán)重計(jì)算結(jié)果相對(duì)較合理、可靠，而“優(yōu)化決策模型”法中的偏好系數(shù) 的確定則由主觀偏好決定，存在較大的不確定性和隨意性。

表2　各指標(biāo)的組合權(quán)重對(duì)比表

表3　不同評(píng)價(jià)方法求得的評(píng)價(jià)結(jié)果對(duì)比表

由表3可知，三個(gè)治理方案的優(yōu)劣順序：方案1>方案2>方案3，即方案1是最優(yōu)方案，本文的評(píng)價(jià)結(jié)果與該河道治理采用的最終方案(“抬高式”明渠方案)一致。為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文評(píng)價(jià)結(jié)果的正確性，利用文獻(xiàn)[10]構(gòu)建的評(píng)價(jià)模型，各指標(biāo)權(quán)重采用公式(9)計(jì)算得到的組合權(quán)重，其計(jì)算結(jié)果見表3。由文獻(xiàn)[10]構(gòu)建的評(píng)價(jià)模型計(jì)算得到的排列順序：方案1>方案2>方案3，與本文的評(píng)價(jià)結(jié)果一致，從而進(jìn)一步驗(yàn)證了改進(jìn)的TOPSIS模型可行性和正確性。

3結(jié)語(yǔ)

(1) 運(yùn)用集對(duì)分析處理決策問(wèn)題中的不確定性信息，利用同一度矩陣構(gòu)建規(guī)范決策矩陣，是傳統(tǒng)TOPSIS模型的一次改進(jìn)；利用“垂直距離”替代歐式距離，對(duì)文獻(xiàn)[6]的TOPSIS模型作進(jìn)一步改進(jìn)，進(jìn)而提高模型評(píng)判方案的優(yōu)劣能力，采用熵權(quán)法計(jì)算各指標(biāo)的客觀權(quán)重，采用專家打分法得到各指標(biāo)的主觀權(quán)重，運(yùn)用“博弈論”法結(jié)合主觀、客觀權(quán)重求得組合權(quán)重。

(2) 采用不同組合權(quán)重法計(jì)算得到的指標(biāo)組合權(quán)重值差別不大，各指標(biāo)在指標(biāo)集中的重要程度沒(méi)有受到影響，同時(shí)本文提出的“博弈論”法求解組合權(quán)重，計(jì)算結(jié)果相對(duì)較合理、可靠?！皟?yōu)化決策模型”法僅適用于2種方法計(jì)算指標(biāo)權(quán)重的情形，而“博弈論”法適用于2種及以上方法計(jì)算指標(biāo)權(quán)重的情形，因此該法具有適用范圍廣、計(jì)算簡(jiǎn)便和概念清晰等優(yōu)點(diǎn)。

(3) 河道整治工程方案綜合評(píng)價(jià)屬于多層次、多屬性和多目標(biāo)的決策問(wèn)題，本文提出的評(píng)價(jià)模型為解決多層次、多屬性和多目標(biāo)的決策問(wèn)題提供了一個(gè)新途徑，具有一定的應(yīng)用價(jià)值。

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Establishment and Application of the Improved TOPSIS Model Based on Game Theory

YUAN Wei, WANG Yi, WEN Jun

(ChongqingSurveyingandDesignInstituteofWaterResources,ElectricPowerandArchitecture,Chongqing400020,China)

Abstract：The conventional method is not suitable for comprehensive evaluation of project schemes due to its improper selection of calculation method for index weights, and then, the inappropriate method will affect the accuracy and rationality of the evaluation results.With comprehensive consideration of maximizing ecological benefit, economic benefit and social benefit, an evaluation index system was established according to the practical and representative principle. The conventional TOPSIS model was improved by replacing “Euclidean distance” with “vertical distance”, and a new model based on game theory was established and applied to the evaluation of Shuangxi river regulation schemes in Chongqing. The application result indicates that, this method is suitable for the comprehensive evaluation of project schemes with reliable and reasonable results. This new method provides a new approach and some reference for the evaluation of other project schemes.

Keywords:TOPSIS; SPA; game theory weights; minimum relative entropy principle

文章編號(hào)：1672—1144(2016)01—0188—04

中圖分類號(hào)：TV85

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

作者簡(jiǎn)介：袁偉(1985—)，男，安徽定遠(yuǎn)人，碩士，工程師，主要從事水工結(jié)構(gòu)及基礎(chǔ)處理方案優(yōu)選等方面的研究工作。

收稿日期：2015-07-30修稿日期：2015-08-27

DOI:10.3969/j.issn.1672-1144.2016.01.035

E-mail：abc123-126@163.com