相對(duì)運(yùn)動(dòng)和整體法

陳磊

摘 要： 為幫助高中生建立連接體運(yùn)動(dòng)的模型，作者歸類了常見的運(yùn)動(dòng)實(shí)例運(yùn)用整體法進(jìn)行探討研究。最終得到了處理有相對(duì)運(yùn)動(dòng)的連接體問題，無(wú)論加速度是否相同都可以使用整體法解題。

關(guān)鍵詞： 連接體 相對(duì)運(yùn)動(dòng) 整體法

動(dòng)態(tài)平衡是指通過控制某些物理量，使物體的形態(tài)發(fā)生緩慢變化，而在這個(gè)過程中物體又始終處于一系列的平衡狀態(tài)。在此，筆者對(duì)解決這類問題的常用方法進(jìn)行指導(dǎo)。

一、矢量三角形法

解法指導(dǎo)：矢量三角形法適用于物體所受的三個(gè)力中，有一力的大小、方向均不變（通常為重力，也可以是其他力），另一個(gè)力的大小變化、方向不變，第三個(gè)力則大小、方向均發(fā)生變化的問題，對(duì)變化過程的動(dòng)態(tài)平衡進(jìn)行的定性分析。

二、相似三角形

解法指導(dǎo)：對(duì)受三個(gè)力作用而平衡的物體，先正確分析物體的受力，畫出受力分析圖，再尋找與力的三角形相似的幾何三角形，利用相似三角形的性質(zhì)，建立比例關(guān)系，把力的問題轉(zhuǎn)化為幾何三角形邊長(zhǎng)的大小變化問題進(jìn)行討論。

如果在對(duì)力利用平行四邊形定則（或三角形定則）運(yùn)算的過程中，力三角形與幾何三角形相似，則可根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)的邊成比例等性質(zhì)求解。

三、數(shù)學(xué)函數(shù)解析法

例3：如圖3-1所示，置于固定斜面上的物體A受到平行于斜面向下的力F作用保持靜止，若力F大小不變，將力F在豎直平面內(nèi)由沿斜面向下緩慢的轉(zhuǎn)到沿斜面向上（轉(zhuǎn)動(dòng)范圍如圖中虛線所示）。在F轉(zhuǎn)動(dòng)的過程中，物體始終保持靜止，在此過程中物體與斜面間的（？搖？搖）

A.彈力可能先增大后減小

B.彈力一定先減小后增大

C.摩擦力可能先減小后增大

D.摩擦力一定一直減小

解析：由于力F的方向是變化的，我們可以分情況討論：

1.當(dāng)力F斜向下與斜面的夾角為θ（θ≤90°）時(shí)，對(duì)物體進(jìn)行受力分析，建立直角坐標(biāo)系，如圖3-2所示，分別在x、y軸上列平衡方程為Fcosθ+mgsinα=f，N+Fsinθ=mgcosα，當(dāng)θ增大時(shí)，物體與斜面的彈力減小，物體與斜面的摩擦力減小。

2.當(dāng)力F斜向上與斜面的夾角為θ（θ≤90°）時(shí)，由于F與mgsinα大小關(guān)系不確定，需要再次分情況討論：

①當(dāng)F≤mgsinα?xí)r，f的方向一直向上，對(duì)物體進(jìn)行受力分析，建立直角坐標(biāo)系，如圖3-3所示，分別在x、y軸上列平衡方程為Fcosθ+f=mgsinα，N+Fsinθ=mgcosα，當(dāng)θ從90°逐漸減小時(shí)，物體與斜面的彈力增大，物體與斜面的摩擦力一定一直減小。

②當(dāng)F>mgsinα?xí)r，f的方向依然不確定，還需繼續(xù)討論。若力F斜向上與斜面的夾角為β時(shí)有Fcosβ=mgsinα，此時(shí)f不存在，對(duì)物體進(jìn)行受力分析如圖3-4所示。則

（I）當(dāng)β<θ<90°時(shí)，f的方向一直向上，對(duì)物體進(jìn)行受力分析，建立直角坐標(biāo)系，如圖3-5所示，分別在x、y軸上列平衡方程為Fcosθ+f=mgsinα，N+Fsinθ=mgcosα，當(dāng)θ從90°逐漸減小到β時(shí)，物體與斜面的彈力增大，物體與斜面的摩擦力減小。

（II）當(dāng)0≤θ≤β時(shí)，f的方向一直向下，對(duì)物體進(jìn)行受力分析，建立直角坐標(biāo)系，如圖3-6所示，分別在X、Y軸上列平衡方程為Fcosθ=mgsinα+f，N+Fsinθ=mgcosα，當(dāng)θ從β逐漸減小為0時(shí)，物體與斜面的彈力增大，物體與斜面的摩擦力增大。

故此過程中物體與斜面間的彈力一定先減小后增大；當(dāng)F≤mgsinα?xí)r，物體與斜面的摩擦力一定一直減??；當(dāng)F>mgsinα?xí)r，物體與斜面的摩擦力先減小為零后反向增大。所以B、C正確。

解法指導(dǎo)：適用于物體所受力中，有一個(gè)力大小、方向都變，有一力大小變、方向不變（或大小不變、方向變），在變化過程中，有兩個(gè)力的方向始終保持垂直，且其中一個(gè)力的大小、方向均不變的問題，此時(shí)，可利用數(shù)學(xué)函數(shù)解析的方法求出所要找的答案。

我們?cè)谔幚砹W(xué)中連接體問題時(shí)，經(jīng)常用到整體法。即將系統(tǒng)視為一個(gè)整體，看整體受力與加速度的關(guān)系。傳統(tǒng)的觀點(diǎn)是只有連接體內(nèi)各個(gè)物體運(yùn)動(dòng)情況完全一樣或者說相對(duì)靜止時(shí)，才可以將連接體視為一個(gè)整體。

題型一：有相同加速度，無(wú)相對(duì)運(yùn)動(dòng)

思考：由例1，我們可以得到啟發(fā)，能用整體法解題的根本原因是連接體有相同的加速度，那如果連接體內(nèi)物體均無(wú)加速度則是不是也可以利用整體法解題？

題型二：無(wú)加速度，有相對(duì)運(yùn)動(dòng)

例2：如圖2所示，物體A、B質(zhì)量分別為m和3m，A、B間滑動(dòng)摩擦因數(shù)和B與水平地面間滑動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ，在水平拉力F作用下使A、B相對(duì)勻速滑動(dòng)，求F的大??？

解析：題中A、B兩物體均做勻速運(yùn)動(dòng)，它們的加速度都是0，也可以認(rèn)為它們具有相同的加速度。與例1所不同的是它們有相對(duì)運(yùn)動(dòng)，首先分析A的受力如圖3所示：

則繩的拉力T=mmg

以整體為研究對(duì)象，受力分析如圖4所示：

其中Fm=4mmg

所以F=Fm+2T=6mmg

例3：如圖5所示，質(zhì)量為M的楔形物塊靜止在水平地面上，其傾角為a，斜面上有一質(zhì)量為m的小物塊，小物塊與斜面之間存在摩擦力。用恒力F沿斜面向上拉小物塊，使之勻速上滑，在小物塊運(yùn)動(dòng)的過程中，楔形物塊始終保持靜止。求地面對(duì)楔形物塊的支持力和摩擦力。

題型三：無(wú)相同加速度，有相對(duì)運(yùn)動(dòng)

例4：如圖7質(zhì)量為M的楔形木塊靜止在水平面上，傾斜角為a的斜面上，一質(zhì)量為m的物體正以加速度a下滑，求水平面對(duì)楔形木塊的彈力F■和摩擦力f。

在水平方向上楔形木塊是否受力，若受力方向如何？還需通過加速度判斷。因?yàn)檫B接體中有一個(gè)物體其加速度有一向左的分量，所以整體必定受到一向左的力，而這個(gè)力只可能由地面施加。即地面對(duì)楔形木塊的摩擦力

例5：如圖10所示質(zhì)量為M的木板放在傾角為θ的光滑固定斜面上，一個(gè)質(zhì)量為m的人站在木板上，要保證木板相對(duì)斜面靜止，則人必須怎樣運(yùn)動(dòng)？

解析：本題中斜面固定，我們把人與木板視為一個(gè)整體，既然斜面光滑，那么斜面對(duì)木板只有彈力而無(wú)摩擦力，整體受力如圖11所示。

根據(jù)牛頓第二定律得（M+m）gsinq=Ma+ma

由題意可知木板相對(duì)斜面是靜止的，所以其加速度為0，那么由上式可得gsinq方向沿斜面向下

拓展延伸：由題型一和題型三，我們進(jìn)一步思考，若連接體內(nèi)各物體分別以各自的且并不相同的加速度運(yùn)動(dòng)，是否也可以用整體法解呢？

這類問題較復(fù)雜，高中階段不作要求，有興趣的讀者可以展開討論。

可見，處理連接體問題，并非只有相對(duì)靜止才可以使用整體法，有相對(duì)運(yùn)動(dòng)甚至加速度不相同的連接體都可以使用整體法解題。