自由度等于1的χ測(cè)驗(yàn)與u測(cè)驗(yàn)的數(shù)學(xué)關(guān)系

辛淑亮++++郭新梅

摘 要： 針對(duì)統(tǒng)計(jì)教科書(shū)上χ■測(cè)驗(yàn)與u測(cè)驗(yàn)關(guān)系模糊不清的情況，本文用3個(gè)事例進(jìn)行了χ■測(cè)驗(yàn)、矯正的χ■■測(cè)驗(yàn)、u測(cè)驗(yàn)、矯正的u■測(cè)驗(yàn).結(jié)果表明，對(duì)于k=2和2×2的次數(shù)資料，自由度df=1時(shí)，可以用χ■測(cè)驗(yàn)；也可以用u測(cè)驗(yàn).數(shù)學(xué)關(guān)系為：χ■=u■；χ■■=u■■；χ■■=χ■■；χ■■=u■■.

關(guān)鍵詞： 假設(shè)測(cè)驗(yàn) 自由度 χ■測(cè)驗(yàn) u測(cè)驗(yàn)

在科研實(shí)踐中，許多試驗(yàn)結(jié)果用百分率表示，如殺蟲(chóng)率、發(fā)芽率、坐果率、合格率等.這些百分率系由統(tǒng)計(jì)某一屬性的個(gè)體數(shù)目求得，屬間斷性的計(jì)數(shù)資料.這類(lèi)數(shù)據(jù)假設(shè)測(cè)驗(yàn)的方法主要分兩類(lèi)：百分率數(shù)據(jù)用u測(cè)驗(yàn)；計(jì)數(shù)資料用χ■測(cè)驗(yàn).很多統(tǒng)計(jì)學(xué)書(shū)介紹了相關(guān)的假設(shè)測(cè)驗(yàn)方法[1-5]，但是都沒(méi)有說(shuō)明兩種假設(shè)測(cè)驗(yàn)的關(guān)系.同時(shí)，我們?cè)谑褂孟嚓P(guān)教材時(shí)發(fā)現(xiàn)書(shū)中出現(xiàn)了一些有待商榷的例題.針對(duì)這些問(wèn)題，我們利用相關(guān)教材中的例題，對(duì)兩種假設(shè)測(cè)驗(yàn)的關(guān)系進(jìn)行了數(shù)學(xué)推導(dǎo)，以明確χ■測(cè)驗(yàn)與u測(cè)驗(yàn)的數(shù)學(xué)關(guān)系.

1.單個(gè)百分率測(cè)驗(yàn)與適合性χ■測(cè)驗(yàn)的關(guān)系

例1：用基因型純合的糯玉米和非糯玉米雜交，按遺傳學(xué)原理，預(yù)期F■植株上糯性花粉粒的P■=0.5，現(xiàn)在一視野中檢視20?；ǚ?，得糯性花粉8粒，問(wèn)此結(jié)果和理論百分率P■=0.5是否相符[1]？

解法1：k=2組次數(shù)資料的適合性χ■測(cè)驗(yàn)

假設(shè)H■：總體分布符合1∶1，對(duì)HA：總體分布不符合1∶1.

顯著水平α=0.05

測(cè)驗(yàn)計(jì)算：

理論次數(shù)E■=20×0.5=10

E■=20×0.5=10

χ■=（8-10）■/10+（12-10）■/10=0.8

df=2-1=1

x■■=3.84

統(tǒng)計(jì)推斷：實(shí)得χ■<χ■■，故概率P>0.05.接受H■：總體分布符合1∶1的理論分布，差異不顯著.

解法2：k=2組次數(shù)資料的適合性χ■■測(cè)驗(yàn)

χ■分布是連續(xù)性的，而次數(shù)資料則是間斷性的.由間斷性資料算得的χ■值有偏大的趨勢(shì)，尤其是自由度df=1時(shí)，用連續(xù)性分布作χ■測(cè)驗(yàn)時(shí)，容易發(fā)生第一類(lèi)錯(cuò)誤.故在假設(shè)測(cè)驗(yàn)時(shí)，進(jìn)行連續(xù)性矯正，采用矯正的χ■■測(cè)驗(yàn).

解：假設(shè)H■：總體分布符合1∶1，H■：總體分布不符合1∶1.

顯著水平α=0.05

測(cè)驗(yàn)計(jì)算：

χ■■=（|8-10|-0.5）■/10+（|12-10|-0.5）■/10=0.45

df=2-1=1

χ■■=3.84

統(tǒng)計(jì)推斷：實(shí)得χ■■<χ■■，故概率P>0.05.接受H■：總體分布符合1∶1的理論分布，差異不顯著.

解法3：?jiǎn)蝹€(gè)百分率的u測(cè)驗(yàn)

在理論上，這類(lèi)百分?jǐn)?shù)應(yīng)按二項(xiàng)分布進(jìn)行假設(shè)測(cè)驗(yàn).但是，如果樣本容量n較大，p不過(guò)小，np和nq皆大于5時(shí)，二項(xiàng)分布趨近正態(tài)分布.因而，可以將百分?jǐn)?shù)資料做正態(tài)分布處理，作近似u的測(cè)驗(yàn).

解：假設(shè)H■∶P=0.5，H■∶P≠0.5.

顯著水平α=0.05

測(cè)驗(yàn)計(jì)算：

■=8/20=0.4

■ ■=■=0.111803

u=（0.4-0.5）/0.111803=-0.89443

u■=1.96

統(tǒng)計(jì)推斷：實(shí)得|u|0.05.接受H■∶P=0.5，差異不顯著.

解法4：?jiǎn)蝹€(gè)百分率的u■測(cè)驗(yàn)

因?yàn)槎?xiàng)分布的百分率系由計(jì)數(shù)某一屬性的個(gè)體數(shù)目計(jì)算得來(lái)，屬于間斷性的二項(xiàng)分布.用連續(xù)性的正態(tài)分布作u測(cè)驗(yàn)時(shí)，容易發(fā)生第一類(lèi)錯(cuò)誤.所以在假設(shè)測(cè)驗(yàn)時(shí)，進(jìn)行連續(xù)性矯正，采用矯正的u■測(cè)驗(yàn).

解：假設(shè)H■∶P=0.5對(duì)H■∶P≠0.5

顯著水平α=0.05

測(cè)驗(yàn)計(jì)算：

u■=（|0.4-0.5|-0.5/20）/0.111803=0.67082

u■=1.96

統(tǒng)計(jì)推斷：實(shí)得u■0.05.接受H■∶P=0.5，差異不顯著.

綜上所述，適合性χ■測(cè)驗(yàn)與單個(gè)百分率u測(cè)驗(yàn)的關(guān)系：

對(duì)于二項(xiàng)分布即k=2的次數(shù)資料，自由度df=2-1=1，適合性χ■測(cè)驗(yàn)與單個(gè)百分率測(cè)驗(yàn)有如下數(shù)學(xué)關(guān)系：

u■=（-0.89443）■=0.8=χ■

u■■=0.67082■=0.45=χ■■

u■■=1.96■=3.84=χ■■

u■■=2.576■=6.64=χ■■

u■■=χ■■

由此可見(jiàn)，當(dāng)自由度df=1時(shí)，兩尾u測(cè)驗(yàn)與一尾χ■測(cè)驗(yàn)相對(duì)應(yīng).

圖1 k=2組次數(shù)資料和2×2表次數(shù)資料的統(tǒng)計(jì)方法

2.兩個(gè)百分率測(cè)驗(yàn)與獨(dú)立性χ■測(cè)驗(yàn)的關(guān)系

例2：調(diào)查經(jīng)過(guò)種子滅菌處理與未經(jīng)種子滅菌處理的小麥發(fā)生散黑穗病的穗數(shù)，得相依表1，試分析種子滅菌與否和發(fā)生散黑穗病多少是否有關(guān)[1]？

表1 防治小麥散黑穗病的觀察結(jié)果2×2表

解法1：2×2表次數(shù)資料的獨(dú)立性χ■測(cè)驗(yàn)

解：假設(shè)H■：獨(dú)立，H■：不獨(dú)立.

顯著水平α=0.05

測(cè)驗(yàn)計(jì)算：

理論次數(shù)E■=76×210/460=34.69565

E■=76×250/460=41.30435

E■=384×210/460=175.3043

E■=384×250/460=208.6957

χ■=（26-34.69565）■/34.69565+（50-41.30435）■/41.30435

+（184-175.3043）■/175.3043+（200-208.6957）■/208.6957

=4.803676

df=（2-1）（2-1）=1

χ■■=3.84

統(tǒng)計(jì)推斷：實(shí)得χ■>χ■■，故概率P<0.05.否定H■接受H■：不獨(dú)立，差異顯著.

解法2：2×2表次數(shù)資料的獨(dú)立性χ■■測(cè)驗(yàn)

解：假設(shè)H■：獨(dú)立，H■：不獨(dú)立.

顯著水平α=0.05

測(cè)驗(yàn)計(jì)算：

χ■■=（|26-34.69565|-0.5）■/34.69565+（|50-41.30435|-0.5）■/41.30435+（|184-175.3043|-0.5）■/175.3043+（|200-208.6957|-0.5）■/208.6957=4.267135

df=（2-1）（2-1）=1

χ■■=3.84

統(tǒng)計(jì)推斷：實(shí)得χ■■>χ■■，故概率P<0.05.否定H■接受H■：不獨(dú)立，差異顯著.

解法3：兩個(gè)百分率u的測(cè)驗(yàn)

解：假設(shè)H■：P■=P■，H■：P■≠P■.

顯著水平α=0.05

測(cè)驗(yàn)計(jì)算：

■■=26/76=0.342105

■■=184/384=0.479167

■=（26+184）/（76+384）=0.456522

■=1-0.456522=0.543478

S■=■=0.062536

u=（0.342105-0.479167）/0.062536=-2.19173

u■■=1.96

統(tǒng)計(jì)推斷：實(shí)得|u|>u■■，故概率P<0.05.否定H■接受H■，兩者差異顯著.

解法4：兩個(gè)百分率的u■測(cè)驗(yàn)

解：假設(shè)H■：P■=P■，對(duì)H■：P■≠P■.

顯著水平α=0.05

測(cè)驗(yàn)計(jì)算：

u■=（|0.342105-0.479167|-0.5/76-0.5/384）/0.062536=2.065705

u■=1.96

統(tǒng)計(jì)推斷：實(shí)得u■>u■，故概率P<0.05.否定H■接受H■：P■≠P■，差異顯著.

綜上所述，獨(dú)立性χ■測(cè)驗(yàn)與兩個(gè)百分率u測(cè)驗(yàn)的關(guān)系：

對(duì)于2×2表的次數(shù)資料，自由度df=（2-1）（2-1）=1，獨(dú)立性χ■測(cè)驗(yàn)與兩個(gè)百分率u測(cè)驗(yàn)有如下數(shù)學(xué)關(guān)系：

u■=（-2.19173）■=4.803676=χ■

u■■=2.065705■=4.267135=χ■■

u■■=1.96■=3.84=χ■■

u■■=2.576■=6.64=χ■■

由此可見(jiàn)，當(dāng)自由度df=1時(shí)，兩尾u測(cè)驗(yàn)與一尾χ■測(cè)驗(yàn)相對(duì)應(yīng).u測(cè)驗(yàn)的兩尾臨界值與χ■測(cè)驗(yàn)的一尾臨界值相等，即u■■=χ■■.

3.討論

對(duì)于例1，在教材中是這樣進(jìn)行假設(shè)測(cè)驗(yàn)的■.

解：假設(shè)H■∶P=0.5，HA∶P≠0.5.

顯著水平α=0.05

測(cè)驗(yàn)計(jì)算：

np=20×0.5=10

S■=■=2.19089

t■=（|8-10|-0.5）/2.19089=0.684653

df=20-1=19

t■=2.093

統(tǒng)計(jì)推斷：實(shí)得t■0.05.接受H■，差異不顯著.

因?yàn)楦鶕?jù)無(wú)效假設(shè)，可以計(jì)得■ ■.而且已知σ時(shí)，無(wú)論樣本大小，都可以用u測(cè)驗(yàn).所以，上述計(jì)算中選用t測(cè)驗(yàn)不合適，t■■=0.684653■=0.46875≠χ■■.這里應(yīng)用S■的計(jì)算公式不妥當(dāng).下面用事例間接證明.

例3：某食品廠的一條生產(chǎn)線上的產(chǎn)品組成指標(biāo)為：一級(jí)品∶二級(jí)品=7∶3.現(xiàn)隨機(jī)抽取了20個(gè)產(chǎn)品做檢驗(yàn)，得一級(jí)品13個(gè)，二級(jí)品7個(gè).問(wèn)其產(chǎn)品組成比例是否達(dá)到一級(jí)品占70%的生產(chǎn)指標(biāo)[2]？

對(duì)于例3，在教材中是這樣進(jìn)行假設(shè)測(cè)驗(yàn)的[2].

解：假設(shè)H■：P≥0.7，H■：P<0.7.

顯著水平α=0.05

測(cè)驗(yàn)計(jì)算：

■=13/20=0.65

■ ■=■=0.10247

u■=（|0.65-0.7|-0.5/20）/0.10247=0.243975

u■=1.645

統(tǒng)計(jì)推斷：實(shí)得u■0.05.接受H■，差異不顯著.

可以證明，u■■=1.645■=2.706=χ■■，說(shuō)明u測(cè)驗(yàn)的一尾臨界值u■■與χ■測(cè)驗(yàn)的一尾臨界值χ■■相等，即u■■=χ■■.

4.結(jié)論

（1）對(duì)于k=2組次數(shù)資料，可以用適合性χ■測(cè)驗(yàn)；也可以用單個(gè)百分率的u測(cè)驗(yàn).

（2）對(duì)于2×2表的次數(shù)資料，可以用獨(dú)立性χ■測(cè)驗(yàn)；也可以用兩個(gè)百分率的u測(cè)驗(yàn).

（3）百分率u測(cè)驗(yàn)與χ■測(cè)驗(yàn)的數(shù)學(xué)關(guān)系為：u■=χ■.

（4）百分率矯正的u■測(cè)驗(yàn)與矯正的χ■■測(cè)驗(yàn)的數(shù)學(xué)關(guān)系為：u■■=χ■■.

（5）測(cè)驗(yàn)的兩尾臨界值與χ■測(cè)驗(yàn)的一尾臨界值間，有如下數(shù)學(xué)關(guān)系：u■■=χ■■.

（6）測(cè)驗(yàn)的一尾臨界值與χ■測(cè)驗(yàn)的一尾臨界值間，有如下數(shù)學(xué)關(guān)系：u■■=χ■■.

參考文獻(xiàn)：

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基金項(xiàng)目：山東省應(yīng)用型人才培養(yǎng)特色名校建設(shè)工程.