自己動手求圓周率

自己動手求圓周率

◇廣東龔衛(wèi)東

1問題來源及產(chǎn)生過程

高中數(shù)學必修3算法部分,有這樣一道試題:

圖1

圖1是用模擬方法估計圓周率π的程序框圖,P表示估計結(jié)果,則圖中空白框內(nèi)應(yīng)填入().

AP=N/1 000;

BP=4N/1 000;

CP=M/1 000;

DP=4M/1 000

初次接觸此類問題,同學們會有一定困難,經(jīng)過老師講解,明白該算法實際就是幾何概型中隨機“撒豆子”模型,通過面積測度比求得圓周率,是一個由“形”到“數(shù)”的過程.

此方法引起同學們極大興趣,而且從小就知道祖沖之發(fā)現(xiàn)圓周率的故事,π在古今中外數(shù)學史上名聲赫赫,現(xiàn)在有算法指出這種方法能求π的值,既興奮又很想親身實踐,看看自己求出的圓周率與數(shù)學先賢有什么不同.

2研究性學習過程

2.1　探究1

現(xiàn)在當然不用再像祖沖之一樣在院子里畫一個大圓,一點一點實地測量. Excel軟件自帶有VBA程序設(shè)計功能. VBA(Visual Basic for Application)是現(xiàn)在可用的最容易學習、最容易使用同時也是最復雜的應(yīng)用程序自動化語言(過去常常稱為宏語言)之一,即使以前從來沒有編寫過程序,也能夠使用VBA語言開發(fā)出解決方案.

方法1對學生而言,學習過流程圖之后再學習VBA語言,并非難事,無非是學習幾個具體的輸入、輸出及循環(huán)語句,并掌握好語法格式的問題. 事實上,學生很快就將問題中的框圖編成了程序. 在Excel中,打開“宏”,創(chuàng)建名為“撒豆子”的宏,按F5運行,得到輸出結(jié)果π=3.136 (圖2、圖3).

圖2

圖3

該程序?qū)崿F(xiàn)“撒豆子”的關(guān)鍵,是使用了隨機函數(shù)RND,它會隨機產(chǎn)生一個(0, 1)之間的數(shù).

圖4

方法2在Excel中,不編程也可用隨機函數(shù)分別選取橫、縱坐標x、y,統(tǒng)計x2+y2<1的坐標數(shù),由比值求π.

圖5

上述2種方法都借助信息技術(shù)手段輕松完成了1 000次的數(shù)學實驗,模擬幾何概型“撒豆子”,其原型是布馮投針實驗. 1777年,法國數(shù)學家布馮(G.L.L.Buffon,1707—1788年)做了一個投針實驗,這個實驗被認為是幾何概型的第一個實驗. 他在一張大紙上畫了一些等距的平行線,再把長度等于相鄰平行線距離一半的針投到紙上,共計投針2212次,統(tǒng)計出有704次與平行線相交,它們的商2 212÷704≈3.142045,與π非常接近.以后又有多位數(shù)學家做過類似實驗,得到相近結(jié)果. 可以證明,針長取平行線間距的一半時,投針次數(shù)與針線相交次數(shù)的比值在π附近擺動.

2.2　探究2

學生對自己動手實驗得到結(jié)果感到欣喜的同時,對結(jié)果的精度尚不能滿意. 究其原因,估計是“豆子”數(shù)量太少的緣故. 方法2中,可以拖動“+”使得各列數(shù)據(jù)相應(yīng)增加,如增加到10 000組,唯一缺點是數(shù)表變得很長. 對電腦來講,倒也不算什么難事,只是數(shù)據(jù)精度仍不盡如人意,得到的π值是4×0.7833=3.1332(如圖6).

圖6

怎樣才能體驗到古代數(shù)學家探尋圓周率時不斷提高精度的成功?當然可以繼續(xù)向下拖動數(shù)表中各列數(shù)據(jù),通過嘗試似乎成效不大. 回到方法1,在原題流程圖中,限定實驗次數(shù)是1 000,如果改進程序,讓循環(huán)次數(shù)依靠輸入決定,就可以設(shè)定希望的循環(huán)次數(shù),而且還能看到循環(huán)次數(shù)與結(jié)果精度之間的關(guān)系.

改進的程序和部分運算結(jié)果如圖7、8所示.

圖7

圖8　(n=10 000)

當n=100 000時,結(jié)果為3.138 48;當n=1 000 000時,為3.143 714. 發(fā)現(xiàn)循環(huán)次數(shù)越高,即模擬次數(shù)越多,結(jié)果的精度也越高.

2.3　探究3

上面探究的精度依然沒有達到讓人欣喜若狂的程度.繼續(xù)增加循環(huán)次數(shù)嗎？事實上,當循環(huán)次數(shù)為100萬的時候,英特爾I5處理器的臺式電腦運行圖7的程序已經(jīng)花費了33 s,讓人等結(jié)果時都有些心焦. 能不能從方法上再挖掘一下?

圖9

圖4中陰影部分與正方形面積的比值,就應(yīng)該等于π.通過分析發(fā)現(xiàn),精度不高的主要原因,其實是由于模擬實驗“撒豆子”——也就是產(chǎn)生隨機數(shù)的過程,是帶有很強隨機性的,是否落在陰影中隨不同實驗可能有不同結(jié)果. 根據(jù)這個情況,大膽改進布馮實驗的思想,依然采用幾何概型的面積方法,但不用隨機函數(shù),而是采用“勻鋪”的辦法,在區(qū)域內(nèi)均勻地一個一個地把點“擺”上去,統(tǒng)計陰影部分點的個數(shù),用點的個數(shù)比替代面積比(如圖9).

圖10中程序?qū)嶋H上將邊長為1的正方形劃分成m×n條線,每個交點均勻分布在區(qū)域之內(nèi),每個點是否在陰影部分是確定的,避免了隨機試驗的不確定性.程序中語句s=s+m的功能,是將圓弧上的點計算在陰影內(nèi)部.

圖10

圖11

按F5運行程序,輸入m、n的值,得到不同的π的近似值. 當m=1 000,n=100時,得π≈3.158 16;當m=1 000,n=1 000時,得π≈3.141 528;m=10 000,n=10 000時,得π≈3.141 590 24(如圖11).

終于得到了較為滿意的結(jié)果,而且,只要每次輸入的m和n的值相同,程序運算結(jié)果都一樣,不會因為隨機性而改變. 此時在1×1的正方形內(nèi),“勻鋪”了1億個點!

3研究成果與啟示

上述探究都來自于一道算法試題和布馮投針實驗,通過這些探究,學生明白,數(shù)學也是可以做實驗的!信息技術(shù)不僅能在數(shù)形結(jié)合中讓我們把抽象的數(shù)通過形來展示清楚,也可以通過“形”反過來求“數(shù)”,利用幾何概型的這種數(shù)學思想很奇妙. 學生也進一步理解了算法思想,形成了編程探究一些問題結(jié)果的意識和能力.

當然,現(xiàn)在求圓周率的方法其實有很多,學生可以自己上網(wǎng)檢索,學習了解.

(作者單位：廣東省深圳市高級中學)