第二十一屆國(guó)際天文奧林匹克競(jìng)賽理論試題詳解

□ 李 昕

第二十一屆國(guó)際天文奧林匹克競(jìng)賽理論試題詳解

□ 李 昕

本屆國(guó)際天文奧林匹克競(jìng)賽的理論環(huán)節(jié)高、低年組各5道題，每題8分，總分40分。同學(xué)們完全可以不按試卷上給的題號(hào)順序答題，建議通讀一遍題目后，挑選容易有思路的題目開(kāi)始作答。

α-1火星衛(wèi)星

首先，如題意要在火星的人造衛(wèi)星上看到與地球情況相同的日食，就是要讓衛(wèi)星與火星所處的距離恰好能使火星與太陽(yáng)的角直徑相同。設(shè)衛(wèi)星與火星距離為A，火星與太陽(yáng)距離為L(zhǎng)，太陽(yáng)和火星的直徑分別為D和d。為使角直徑相同需滿足：d/A=D/(L+A)，查表代入已知數(shù)據(jù)可解得A≈1.11×108km。

有的同學(xué)認(rèn)為到這里本題已經(jīng)作答完畢，實(shí)際上這里的分值只有1分。本題的關(guān)鍵是要討論是否會(huì)有距離火星如此遠(yuǎn)的衛(wèi)星。為此我們計(jì)算火星的第二拉格朗日點(diǎn)位置，衛(wèi)星如果比L2點(diǎn)還遠(yuǎn)，火星的引力就將無(wú)法束縛它。設(shè)其距離火星Λ，有GMS/(L+Λ)2+GMM/Λ2=ω2(L+Λ)，其中MS和MM分別為太陽(yáng)和火星質(zhì)量，ω為衛(wèi)星角速度，同時(shí)也是火星公轉(zhuǎn)角速度；上式解起來(lái)比較復(fù)雜，尤其是對(duì)低年組的同學(xué)，但我們可以將其化繁為簡(jiǎn)。由于有MS＞＞MM，L＞＞Λ，因此GMS/L2=ω2L，ω2=GMS/L3，再代入原式即有：MS/(L+Λ)2+MM/Λ2=MS(L+Λ) /L3；Λ=L×(MM/3MS)1/3=1.08×108km。

可見(jiàn)A＞Λ，因此衛(wèi)星已經(jīng)超過(guò)了火星L2點(diǎn)，不能再作為它的衛(wèi)星，這種情況也就不可能成立。最后不要忘記用英文寫(xiě)上：impossible situation，此題才能得到滿分。

β-1戴森球

我們都知道行星繞中心恒星的公轉(zhuǎn)周期僅與中心恒星的質(zhì)量和軌道半徑有關(guān)。即t=2π/ω，ω2R=GM/R2。

題目中說(shuō)行星就是在參宿四表面上運(yùn)行，因此這里面的R即是軌道半徑，又是恒星的半徑，這道題的重點(diǎn)就是求參宿四的半徑。

根據(jù)斯特藩·玻爾茲曼定律我們可知L～R2T4，我們可以引入太陽(yáng)的數(shù)據(jù)求出參宿四的半徑。其中太陽(yáng)半徑R⊙、表面溫度T⊙、參宿四的表面溫度TB，以及兩者的質(zhì)量都可以從常數(shù)表查得。光度L雖然不能直接查得，但可以通過(guò)視星等（0.5m）和距離（197pc）來(lái)計(jì)算。

根據(jù)距離模數(shù)公式：m-M=5logD-5，可以計(jì)算出參宿四與太陽(yáng)的絕對(duì)星等差Δm=10.8m，因此有：LB/ L⊙=100Δm/5=21000。

根據(jù)已知條件，我們就可以求出R=(21000)1/2R⊙(T⊙/ TB)2。

再計(jì)算出t≈247天。

考慮到這種計(jì)算周期的方法是估算，因此結(jié)果不能這么精確，大約是250天，這個(gè)粗略的結(jié)果占1分，如果你的結(jié)果過(guò)于精確的話就不能得到這1分了。

α-2一天的長(zhǎng)度

本題提出了一個(gè)很有趣的問(wèn)題，地球兩極冰川的消融導(dǎo)致海平面上升，從而使自轉(zhuǎn)變慢。

地球自轉(zhuǎn)滿足角動(dòng)量L守恒，我們可以將其寫(xiě)成L0=I0·ω0=(2/5M0R2+Iice)ω0，其中I是轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，常數(shù)表里有固體球轉(zhuǎn)動(dòng)慣量公式，ω是角速度；當(dāng)一部分冰融化以后，地球半徑增加了Δh，角動(dòng)量：L1=I1ω1=(2/5M0R2+2/3ηρSΔh(R+Δh/2)2) ω1，其中的S為地球表面積，ρ為海水的密度，η為海洋占地球表面積的百分比，這里可以取0.7，當(dāng)然±0.05都算正確。

那么ηρSΔh就是冰融化導(dǎo)致的海平面升高所產(chǎn)生的質(zhì)量，由于Δh＜＜R，上式最后那部分的(R+Δh/2)2可以近似為R2。

由于動(dòng)量守恒，即L0=L1，因此有：(2/5M0R2+Iice) ω0=(2/5M0R2+2/3ηρSΔhR2) ω1。

冰融化前主要是在兩極地區(qū)，因此Iice也是極小量，可以忽略。又有ω=2π/T，這里的T就是地球自轉(zhuǎn)周期。于是我們可以得到：8/3πηρR4Δh (2π/T1)= 2/5M0R2(2π/T0-2π/T1)= 2/5M0R22π(T1-T0)/T1T0。

由于T1≈T0≈T，有：8/3πηρR4Δh=2/5M0R2ΔT/T，代入所有已知數(shù)據(jù)可得Δh/ΔT=0.11m/ms。

從圖中可測(cè)量出1995年到2003年每天的長(zhǎng)度縮短了1.8ms，因此海平面降低了0.2米。

β-2一天的長(zhǎng)度

本題解法與α-2基本相同，找到Δh與ΔT的關(guān)系，根據(jù)圖中找出每個(gè)比較明顯的天長(zhǎng)變化ΔT，計(jì)算出相應(yīng)的Δh。在找出ΔT時(shí)，同學(xué)們要考慮到天長(zhǎng)變化最長(zhǎng)周期的影響因素，即每千年增加16ms。在圖中給出的1830年至2014年的將近200年里，這個(gè)變化導(dǎo)致天長(zhǎng)增加了3.2ms，而這并非是由海平面上升引起的。因此最后畫(huà)出的縱坐標(biāo)為Δh的圖會(huì)比給出的圖更向下傾斜，如圖所示。

αβ-3 天兆，兩顆彗星

3、4兩題雖出自一段歷史故事，但它們考查的要點(diǎn)完全不同。第3題主要涉及行星軌道和角分辨率的知識(shí)。

題中提到兩顆彗星的公轉(zhuǎn)周期都是3年，我們立刻想到根據(jù)開(kāi)普勒第三定律T2/a3=1，可以計(jì)算出其軌道半長(zhǎng)徑a=2.08au。

又有彗星遠(yuǎn)日點(diǎn)位于小行星帶中間位置，我們可以回憶谷神星就在小行星帶中間位置，它到太陽(yáng)的平均距離大約是2.8au，當(dāng)然數(shù)據(jù)表里也有。那么彗星的近日點(diǎn)就在2a-2.8=1.36au的位置。

題中還有一個(gè)重要的已知條件，即彗星位于遠(yuǎn)日點(diǎn)時(shí)正好相對(duì)地球沖日，也就是說(shuō)彗星、地球和太陽(yáng)在一條直線上。那么近日點(diǎn)時(shí)，也就是半個(gè)公轉(zhuǎn)周期，即1.5年以后，它依然相對(duì)地球沖日。因此遠(yuǎn)日點(diǎn)時(shí)它與地球相距1.8au，近日點(diǎn)時(shí)為0.36au。

接下來(lái)討論兩顆彗星之間的距離，設(shè)其遠(yuǎn)日點(diǎn)時(shí)距離為L(zhǎng)A，近日點(diǎn)時(shí)為L(zhǎng)P。根據(jù)開(kāi)普勒第二定律有：LA×1.8au=LP×0.36au，也就是另一種形式上的單位時(shí)間掃過(guò)的面積相等。

遠(yuǎn)日點(diǎn)時(shí)，兩顆彗星在肉眼看上去恰好是一個(gè)點(diǎn)，我們?nèi)搜鄣姆直媛蚀蟾攀?′。

最后在兩個(gè)三角形中，我們就可以解出近日點(diǎn)期間兩顆彗星的角距離大約是7′。

αβ-4天兆，月亮和彗星

本題一看就是要進(jìn)行日期的精確計(jì)算，因?yàn)樽訂?wèn)題中涉及了月球在哪個(gè)星座，上一屆IAO也考了類似的問(wèn)題。

4.1 題中說(shuō)彗星從月牙的亮面出來(lái)。我們都知道月球相對(duì)背景星空的自行是由西向東，而且肯定比彗星自行得快。除非彗星距離地球比月球還要近，但根據(jù)題意這是不可能的。因此如果彗星從亮面出現(xiàn)肯定是蛾眉月的月相，那么一定是在日落后的黃昏時(shí)段看到這一天象。

4.2 題中提到月相是非常細(xì)的月牙，因此也就是農(nóng)歷初二或者初三前后，即月球位于太陽(yáng)東側(cè)30°左右。題中說(shuō)的觀測(cè)日期大約是6月22日，這段時(shí)間太陽(yáng)位于金牛座，那么月球應(yīng)該位于雙子座。

4.3 根據(jù)題中幾支軍隊(duì)的地理位置，拜占庭的軍隊(duì)被包圍在君士坦丁堡，保加利亞軍隊(duì)位于西北方，希臘軍隊(duì)位于東南方。這時(shí)候大家需要把腦洞打開(kāi)到無(wú)限大。夏至前后的日落會(huì)在西北方，日落后的月亮和彗星也會(huì)位于相近的方位。古人對(duì)彗星非?？謶?，認(rèn)為彗星是不祥之兆。希臘軍隊(duì)面向西北，看到這個(gè)天象自然會(huì)很害怕。保加利亞軍隊(duì)也會(huì)很害怕，因?yàn)樗麄兊谋澈蟪霈F(xiàn)了“刀光劍影”。

4.4 圖片的藝術(shù)性在這里不進(jìn)行討論，但圖中需要標(biāo)明方位，以及月球的角直徑等信息。

4.5 這是本題中占分值最大的一部分。要想知道看到這一天象是哪天，必須根據(jù)之前得到的月相進(jìn)行精確計(jì)算。我們知道最近的一個(gè)初三是2016年10月3日（如果你看了月亮應(yīng)該會(huì)知道），當(dāng)然記得9月1日有日食的話也能推斷出。接下來(lái)計(jì)算其到公元813年一共有多少天。

我們知道每年有365天，4年一個(gè)閏年有366天，每逢整百的年份不置閏，但400的整數(shù)年份又是閏年。因此有：天數(shù)N=(2016-813)×365+int[(2016-813)/4]-9+103，103是10月3日與6月22日相差的天數(shù)。

有一個(gè)重要的問(wèn)題，上述的置閏規(guī)則是對(duì)應(yīng)新的格利高里歷，但在舊歷法儒略歷轉(zhuǎn)化為格利高里歷的1582年實(shí)際上少了10天（1582年10月5日被人為規(guī)定為10月15日），所以有的同學(xué)認(rèn)為應(yīng)該減去這10天，其實(shí)不然。我們?cè)谟?jì)算時(shí)就是在用格利高里歷算的，就不用再去考慮這10天的問(wèn)題了，大家可以再思考一下原因。

上面求得的N=439490。接下來(lái)我們計(jì)算這么多天相當(dāng)于多少個(gè)朔望月，有些同學(xué)直接拿29.5或者29.53來(lái)計(jì)算，其實(shí)是不正確的。因?yàn)樵诤芏嗵炖铮吠轮芷谌≈档牟痪_會(huì)造成很大的誤差。在這大約14883個(gè)朔望月里，周期取值相差0.005，就會(huì)差出大約74天。因此我們要計(jì)算更精確的朔望月周期。

在數(shù)據(jù)表中可以查到月球公轉(zhuǎn)周期是27.3217天，恒星年是365.25636天，它們的會(huì)合周期就是朔望月，因此有T=T1T2/ (T2-T1)=29.5306天。因此有439490/29.5306=14882.47個(gè)朔望月。由此我們可以推斷出觀測(cè)到該天象的日期是6月22日之前的14天，大約是6月8日前后。

本題主要考查對(duì)歷法知識(shí)的精確掌握，農(nóng)歷在我國(guó)使用也很廣泛，因此應(yīng)該很占便宜，但同學(xué)們普遍作答得不好。

αβ-5尋找小行星

往屆的國(guó)際天文奧賽中曾經(jīng)考過(guò)類似的題目。有些同學(xué)的思路是通過(guò)分辨率公式計(jì)算望遠(yuǎn)鏡的口徑，再求它在柯伊伯帶距離上的分辨率。其實(shí)這樣考慮不夠全面，而且也繞了彎路。

我們?cè)O(shè)望遠(yuǎn)鏡要想“觀測(cè)到”小行星或者柯伊伯帶天體，接收到的光通量是φ。很容易知道φ與天體光度L成正比，與天體到我們的距離D的平方成反比。但小行星不一樣，它們本身不發(fā)光，而是反射太陽(yáng)光，實(shí)際上它們的光度L與其表面積（直徑d的平方）成正比，與其表面反照率α成正比，與它們到太陽(yáng)的距離R的平方成反比。因此有：φ～R-2D-2d2α。

同樣都是“觀測(cè)到”，所以φ1=φ2，所以我們找到上述參數(shù)的關(guān)系就可以求出d2了。

小行星主帶和柯伊伯帶天體到太陽(yáng)的距離R分別為2.8au（這個(gè)必須記?。┖?5au～50au（行星數(shù)據(jù)表里能查到，但也應(yīng)該記?。?/p>

那么它們到我們的距離D就是上述取值再減1au。

反照率α也可以分別從數(shù)據(jù)表中查出，谷神星是0.09，Eris是0.9，Makemake是0.77，柯伊伯帶天體的反照率可以取兩者的平均值。但經(jīng)過(guò)領(lǐng)隊(duì)討論，這里只要考慮反照率因素，無(wú)論取值多少都給了分。

最后代入所有數(shù)據(jù)，d1=2.5km，可以計(jì)算出d2大約是300km，當(dāng)然本題也是估算，最后答案的數(shù)值如果太精確也是得不到最后的1分的。

（責(zé)任編輯 馮翀）