關(guān)于散度和旋度教學(xué)的幾點(diǎn)思考

杜曉燕， 張秀鋼， 陸杰青

(信息工程大學(xué)， 河南 鄭州 450002)

關(guān)于散度和旋度教學(xué)的幾點(diǎn)思考

杜曉燕， 張秀鋼， 陸杰青

(信息工程大學(xué)， 河南 鄭州 450002)

散度和旋度是研究電磁現(xiàn)象的重要工具，由于其定義抽象、計(jì)算復(fù)雜，一直是電磁理論教學(xué)過(guò)程中的重點(diǎn)和難點(diǎn)。本文就實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生容易發(fā)生混淆或難以理解的旋度的計(jì)算、散度和旋度的聯(lián)系、亥姆霍茲定理等知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行了討論，幫助學(xué)生很好地掌握這一內(nèi)容。

電磁場(chǎng)； 散度； 旋度

0 引言

散度和旋度是電磁理論教學(xué)中的重要內(nèi)容，不僅其定義、計(jì)算要求學(xué)生熟練掌握，與其相關(guān)的定理也要求學(xué)生深刻理解。

這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)思路通常是：先結(jié)合通量的介紹，引出散度的定義，再推導(dǎo)散度的計(jì)算公式，然后介紹散度定理；與此相同，結(jié)合環(huán)量和環(huán)量面密度介紹旋度，再推導(dǎo)旋度的計(jì)算，然后介紹旋度定理[1～5]。教學(xué)過(guò)程中，也會(huì)結(jié)合水流、漩渦、禮花等一些日?，F(xiàn)象來(lái)幫助學(xué)生掌握這些概念[6]。

教學(xué)過(guò)程中通常將散度和旋度割裂開，分別予以介紹，并不重視討論其異同之處。這常常導(dǎo)致學(xué)生產(chǎn)生不必要的誤解：如認(rèn)為兩種源——通量源和渦旋源是相互無(wú)關(guān)的等。

針對(duì)上述問(wèn)題，筆者在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中著重就旋度的計(jì)算、散度和旋度的聯(lián)系與區(qū)別等進(jìn)行了討論，幫助學(xué)生很好地掌握這些知識(shí)點(diǎn)，而且對(duì)其相關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)也起到了很好的促進(jìn)作用。

1 散度和旋度的聯(lián)系與區(qū)別

由定義可知，散度為單位體積內(nèi)矢量場(chǎng)的通量，即通量分布的體密度。

(1)

而旋度則是指單位面積上矢量場(chǎng)的環(huán)量，而且這個(gè)環(huán)量必須是最大值。

(2)

1.2 計(jì)算過(guò)程

由定義可知，散度的計(jì)算過(guò)程如圖1所示。

圖1 散度計(jì)算過(guò)程

而旋度的計(jì)算過(guò)程如圖2所示。

(二)離合詞“A了個(gè)B”與網(wǎng)絡(luò)語(yǔ)“A了(嘞)個(gè)B”在不同的語(yǔ)體中使用。前者一般在書面語(yǔ)體中或是在正規(guī)場(chǎng)合的口語(yǔ)中出現(xiàn)。而后者則主要出現(xiàn)在網(wǎng)絡(luò)即時(shí)工具聊天，網(wǎng)絡(luò)游戲或者網(wǎng)絡(luò)論壇中，不過(guò)現(xiàn)在也開始“入侵”到非正規(guī)場(chǎng)合的口語(yǔ)中，用以表示幽默和時(shí)髦。如：

圖2 旋度計(jì)算過(guò)程

1.3 旋度計(jì)算中的優(yōu)化問(wèn)題

相較于散度，旋度增加了求極值的過(guò)程，這是導(dǎo)致旋度計(jì)算復(fù)雜、難以理解的主要原因。

此處，結(jié)合旋度計(jì)算，我們引入優(yōu)化問(wèn)題：如何求極值，為此設(shè)置相應(yīng)研討題目。

研討題目1：如何利用矢量場(chǎng)論的知識(shí)進(jìn)行標(biāo)量場(chǎng)極值問(wèn)題的求解。

研討內(nèi)容：讓學(xué)生通過(guò)討論兩個(gè)矢量的點(diǎn)積了解到：兩個(gè)方向垂直的矢量場(chǎng)的點(diǎn)積是0，由此掌握了求解點(diǎn)積最小值的兩個(gè)矢量場(chǎng)的方法；而通過(guò)討論兩個(gè)方向相同的矢量場(chǎng)的點(diǎn)積是1，由此掌握了求解點(diǎn)積最大值的兩個(gè)矢量場(chǎng)的方法。

通過(guò)以上學(xué)習(xí)，學(xué)生不僅很好得理解了“旋度的大小是此處最大環(huán)量面密度”這一結(jié)論，而且對(duì)矢量點(diǎn)積運(yùn)算有了更深入的認(rèn)識(shí)。

1.4 通量源和渦旋源的異同

散度和旋度最為重要的意義在于它們描述了兩類激發(fā)出場(chǎng)的源--通量源和渦旋源[1～8]。

引入哈密頓算符后，在直角坐標(biāo)系中，散度和旋度的計(jì)算公式分別簡(jiǎn)化為

(3)

(4)

不難得出，通量源只影響場(chǎng)的各個(gè)方向分量沿自己方向的變化，而渦旋源只影響場(chǎng)的各個(gè)方向分量在與自己方向相垂直的另外兩個(gè)方向上的變化，即具有旋轉(zhuǎn)特性。上述性質(zhì)，很多文獻(xiàn)中都有討論，本文不再贅述[1～8]。

1.5 亥姆霍茲定理中的散度和旋度

亥姆霍茲定理是場(chǎng)論中的重要定理，為場(chǎng)的研究提供了理論依據(jù)。

其內(nèi)容為：對(duì)于有限空間中的任意矢量場(chǎng)，如果可以確定其散度、旋度和邊界條件，就可以唯一確定這個(gè)矢量場(chǎng)。

除限定所研究場(chǎng)的空間區(qū)域的邊界條件外，散度和旋度是亥姆霍茲定理中的主要內(nèi)容。由定理可知，對(duì)于任意矢量場(chǎng)，只知道其散度或旋度中的一個(gè)，是無(wú)法唯一確定這個(gè)矢量場(chǎng)的，即散度和旋度中各包含了矢量場(chǎng)的不同性質(zhì)，如文獻(xiàn)[4]中所述；在研究場(chǎng)的問(wèn)題時(shí)，兩者相互補(bǔ)充、缺一不可。

由于本科生“電磁場(chǎng)理論基礎(chǔ)”教學(xué)過(guò)程中不要求亥姆霍茲定理的證明，且該證明也有一定難度。教學(xué)過(guò)程中我們參考文獻(xiàn)[8]，通過(guò)引入矢量除法，幫助學(xué)生深刻理解定理內(nèi)容，

眾所周知，已知兩個(gè)標(biāo)量的乘積及其中任意一個(gè)標(biāo)量，由除法可以唯一確定另一個(gè)標(biāo)量。而場(chǎng)論中討論的矢量乘法主要有點(diǎn)積、叉積和三重積，但鮮有討論矢量除法的公開報(bào)道。那么，已知兩個(gè)矢量的點(diǎn)積或叉積及其中任一個(gè)矢量，能否唯一確定另一個(gè)矢量呢？授課過(guò)程中，我們參考文獻(xiàn)[8]設(shè)置了相應(yīng)研討題目。幫助學(xué)生更深入地理解散度和旋度的聯(lián)系與區(qū)別。

圖3 兩個(gè)不同矢量在x軸上投影相同

圖4 兩個(gè)不同矢量在y軸上投影相同

研討內(nèi)容：由矢量代數(shù)的知識(shí)，可以很容易推導(dǎo)得到[8]：

(5)

點(diǎn)積和叉積是將一個(gè)矢量作用到另一矢量上，而散度和旋度是將矢量微分運(yùn)算符——哈密頓算符作用到一個(gè)矢量上。

所以，關(guān)于點(diǎn)積和叉積的研究與散度和旋度的研究在矢量方向的運(yùn)算上是完全相同的。區(qū)別僅在于散度和旋度還伴隨有微分運(yùn)算。

由此，就可以將亥姆霍茲定理的內(nèi)容與矢量除法的結(jié)論相對(duì)照，幫助學(xué)生很好得理解定理的內(nèi)容，進(jìn)一步明確在研究矢量場(chǎng)特性時(shí)，散度和旋度描述了矢量場(chǎng)的不同特性，兩者相互補(bǔ)充、缺一不可。

2 結(jié)語(yǔ)

散度和旋度是電磁理論教學(xué)中的重要內(nèi)容，也是研究電磁場(chǎng)問(wèn)題的基礎(chǔ)，要求學(xué)生熟練掌握，深刻理解。本文就散度與旋度講授過(guò)程中易發(fā)生混淆的幾個(gè)問(wèn)題進(jìn)行了討論，幫助學(xué)生進(jìn)一步明確了散度和旋度的聯(lián)系與區(qū)別等，為深入學(xué)習(xí)電磁場(chǎng)相關(guān)內(nèi)容打下了良好的基礎(chǔ)。

[1] 畢德顯.電磁場(chǎng)理論基礎(chǔ)[M]. 北京：電子工業(yè)出版社.1985.

[2] Bhag Singh Guru，Huseyin R.Hiziroglu 著，周克定等譯. 電磁場(chǎng)與電磁波[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社.2000.

[3] 龔中鱗.近代電磁理論[M].北京：北京大學(xué)出版社.2010.

[4] 陳重等．電磁場(chǎng)理論基礎(chǔ)[M]．北京：北京理工大學(xué)出版社.2008．

[5] 蘇東林．電磁場(chǎng)與電磁波[M]，北京：高等教育出版社，2009．

[6] 黃輝，張小青.“電磁場(chǎng)”課程的散度和旋度研究型教學(xué)例析[J]. 南京:電氣電子教學(xué)學(xué)報(bào). 2011 ，(33)3：99-102.

[7] 劉德國(guó).“電磁場(chǎng)”課程中梯度、散度、旋度教學(xué)方法探討[J]. 濟(jì)南: 科技信息. 2014 ， 15：51-52.

[8] 梁昌洪．矢量場(chǎng)論札記[M]，北京：科學(xué)出版社，2007．

The Study on Teaching of divergence and curl

DU Xiao-yan, ZHANG Xiu-gang, LU Jie-qing

(InformationEngineeringUniversity,Zhengzhou450002,China)

Divergence and curl are important tools in research on electromagnetic phenomenon. For abstract define and complex calculation, divergence and curl are key points and difficulties in the teaching of Electromagnetism. This paper presents discussion, aiming at the difficultis such as the calculous of curl, the relationship bteween divergence and curl, knowledge points of Helmholtz′s theorem. All these works plays an active role for the understanding of divergence and curl.

electromagnetic fields；divergence；curl

2015-10-23;

2015-12-05

杜曉燕(1975-)，女，博士，副教授，主要從事電磁場(chǎng)與微波技術(shù)、天線等方面的教學(xué)與科研工作，E-mail：chaomei-z@163.com

TN91

A

1008-0686(2016)05-0081-03