積分型粘彈性阻尼器耗能結(jié)構(gòu)瞬態(tài)響應(yīng)的精確解

李創(chuàng)第，尉霄騰,王磊石，鄒萬(wàn)杰

(1.廣西大學(xué)土木建筑工程學(xué)院， 廣西南寧530004；2.廣西科技大學(xué)土木建筑工程學(xué)院， 廣西柳州545006)

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積分型粘彈性阻尼器耗能結(jié)構(gòu)瞬態(tài)響應(yīng)的精確解

李創(chuàng)第1,2，尉霄騰1,王磊石1，鄒萬(wàn)杰2

(1.廣西大學(xué)土木建筑工程學(xué)院， 廣西南寧530004；2.廣西科技大學(xué)土木建筑工程學(xué)院， 廣西柳州545006)

摘要：為建立積分型粘彈性阻尼器耗能結(jié)構(gòu)的精確設(shè)計(jì)方法，對(duì)單自由度結(jié)構(gòu)在任意激勵(lì)和非零初始條件下的時(shí)域瞬態(tài)響應(yīng)精確解進(jìn)行了系統(tǒng)研究。首先采用線性粘彈性阻尼器的一般積分型精確分析模型，用微分積分方程實(shí)現(xiàn)了單自由度結(jié)構(gòu)的時(shí)域非擴(kuò)階精確建模；然后采用傳遞函數(shù)法，直接在耗能結(jié)構(gòu)非擴(kuò)階空間上獲得了變頻耗能結(jié)構(gòu)在任意激勵(lì)和非零初始條件下位移與速度時(shí)域瞬態(tài)響應(yīng)的解析表達(dá)式；最后，基于此精確解得到了結(jié)構(gòu)在平穩(wěn)Kanai-Tajimi譜隨機(jī)地震激勵(lì)下響應(yīng)方差的解析表達(dá)式。通過(guò)與擴(kuò)階復(fù)模態(tài)法結(jié)果的對(duì)比分析，驗(yàn)證了所獲精確解的正確性和簡(jiǎn)易性，表明建立了適用于單自由度積分型粘彈性阻尼器耗能結(jié)構(gòu)的優(yōu)效解析方法。

關(guān)鍵詞：傳遞函數(shù)法；一般積分型模型；瞬態(tài)響應(yīng)精確解；隨機(jī)響應(yīng)精確解

0引言

橡膠支座基礎(chǔ)隔震[1]和耗能減震是目前兩種最為成熟有效的被動(dòng)控制技術(shù)。線性粘彈性阻尼器是一種性能優(yōu)良的耗能裝置，在抗震工程中應(yīng)用廣泛。

一般積分型模型[2-3]是粘彈性阻尼器的最一般模型，其他模型如復(fù)模量模型[4]、分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)模型[5-7]、一般微分型及其近似模型[2]等均為該模型的近似或無(wú)限逼近。

目前粘彈性耗能變頻結(jié)構(gòu)的分析方法主要分為擴(kuò)階精確法和非擴(kuò)階近似法兩類。擴(kuò)階精確法針對(duì)廣義Maxwell[8]、GHM[9]、分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)Kelvin[10]等易于擴(kuò)階粘彈性近似模型，利用擴(kuò)階復(fù)模態(tài)法獲得結(jié)構(gòu)響應(yīng)解析解。因物理意義不明確，變量個(gè)數(shù)劇增，計(jì)算效率低，使該方法難以用于耗能結(jié)構(gòu)基于反應(yīng)譜的設(shè)計(jì)與研究。

非擴(kuò)階近似法主要是模態(tài)應(yīng)變能法[11]和取結(jié)構(gòu)基頻的強(qiáng)行振型解耦法[12-13]，但近似法采用阻尼器頻域建模方式，使耗能結(jié)構(gòu)方程并不嚴(yán)格適用于地震和強(qiáng)風(fēng)等非簡(jiǎn)諧激勵(lì)的時(shí)域分析，且采用較多近似假設(shè)，使其精度和適用范圍有待提高[14-16]。

針對(duì)傳統(tǒng)方法的不足，本文力求得出兼顧精確和效率的優(yōu)效方法。傳遞函數(shù)法不用擴(kuò)階運(yùn)動(dòng)方程，可直接獲得一般粘滯阻尼對(duì)稱線性定常系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)矩陣的精確解，但尚未見(jiàn)該方法用于粘彈性阻尼變頻非定常結(jié)構(gòu)的研究?；趥鬟f函數(shù)法，本文成功獲得了單自由度積分型粘彈性阻尼器耗能結(jié)構(gòu)的精確設(shè)計(jì)方法，通過(guò)與復(fù)模態(tài)方法對(duì)比，驗(yàn)證了該方法的正確性與簡(jiǎn)易性。

1運(yùn)動(dòng)方程

設(shè)置一般線性粘彈性阻尼器的單自由度結(jié)構(gòu)的動(dòng)力方程可表示為：

粘彈性阻尼器作用力p(t)與位移x(t)的一般積分型本構(gòu)關(guān)系為[17]：

式中：kp和h(t)分別為阻尼器的平衡模量和松弛函數(shù)。

故單自由度一般線性粘彈性阻尼器耗能結(jié)構(gòu)的時(shí)域動(dòng)力方程均可精確表示為：

(1)

方程(1)具有一般性，既可表示任意單自由度線性粘彈性阻尼器耗能結(jié)構(gòu)方程，也可表示任意單自由度線性粘彈性材料組合結(jié)構(gòu)方程[18]。

2結(jié)構(gòu)瞬態(tài)響應(yīng)的傳遞函數(shù)法

2.1結(jié)構(gòu)特征值分析

對(duì)運(yùn)動(dòng)方程(1)取拉氏變換，得：

也即：

(2)

其中，

(3)

結(jié)構(gòu)的特征值方程即為：

D(s)=0。

(4)

由式(4)可得出結(jié)構(gòu)的N=2+n個(gè)特征值sj，包括有1對(duì)共軛復(fù)特征值和n個(gè)實(shí)特征值。

2.2傳遞函數(shù)解析式

由于結(jié)構(gòu)特征值sj為傳遞函數(shù)的極點(diǎn)，故傳遞函數(shù)可展開(kāi)為：

(5)

所以

由洛必達(dá)法則，計(jì)算常數(shù)ηj為：

(6)

又因

故有

(7)

2.3結(jié)構(gòu)位移和速度瞬態(tài)響應(yīng)的解析解

由式(2)、式(3)和式(5) 、式(7)可得：

對(duì)以上兩式進(jìn)行拉氏變換，可得

式中，δ(t)為狄拉克函數(shù)。

對(duì)于t>0時(shí)，結(jié)構(gòu)位移與速度響應(yīng)可進(jìn)一步表示為：

(8)

(9)

式中，aj(t)表示由初始條件產(chǎn)生的響應(yīng)影響，且

(10)

顯然，對(duì)于零初始條件，aj(t)=0，(j=1～N)。

結(jié)構(gòu)響應(yīng)解析解表達(dá)式(10)完全類似于粘滯阻尼結(jié)構(gòu)用經(jīng)典復(fù)模態(tài)法所獲得的響應(yīng)表達(dá)式，可視粘滯阻尼定常結(jié)構(gòu)經(jīng)典復(fù)模態(tài)法在粘彈性耗能變頻結(jié)構(gòu)的推廣。

3解析解的驗(yàn)證分析

對(duì)比單自由度廣義Maxwell粘彈性阻尼減震結(jié)構(gòu)響應(yīng)的復(fù)模態(tài)法分析結(jié)果，驗(yàn)證本文方法的正確性。

3.1單自由度廣義Maxwell阻尼減震結(jié)構(gòu)方程

圖1　單自由度廣義Maxwell阻尼器耗能結(jié)構(gòu)Fig.1　SDOF (single degree of freedom)energy dissipation structure withgeneralized Maxwell damper

(11)

3.2本文方法結(jié)果

由式(4)，結(jié)構(gòu)特征值方程為：

(12)

根據(jù)式(12)可得結(jié)構(gòu)2+n個(gè)特征值sj。

由式(6)，計(jì)算常數(shù)ηj為：

(13)

則在零初始條件下，由式(8)結(jié)構(gòu)的位移和速度響應(yīng)分別為：

(14)

(15)

3.3復(fù)模態(tài)法結(jié)果

令中間變量：

則運(yùn)動(dòng)方程(11)可擴(kuò)階為如下一階狀態(tài)方程組：

(16)

式中：

z(t)=[x(t),v(t),r1(t),…,rn(t)]T，

方程(16)的特征根方程及特征根所對(duì)應(yīng)右、左復(fù)模態(tài)向量方程分別為：

det[Iλj+A]=0，

(17)

[Iλj+A]φj=0，

[Iλj+A]Tψj=0。

由數(shù)學(xué)歸納法不難驗(yàn)證特征值方程式(12)與特征值方程式(17)完全一致，即λj=sj。同時(shí)，可求出右、左復(fù)模態(tài)向量分別為：

(18)

(19)

由式(18)、式(19)和式(13)不難驗(yàn)證：

(20)

(21)

式中： φ1j和φ2j分別為φj的第一、二個(gè)分量。

對(duì)比式(14)、式(15)和式(20)、式(21)知，兩種方法計(jì)算結(jié)果完全相同，但本文方法計(jì)算簡(jiǎn)便，適用范圍更廣。

4耗能結(jié)構(gòu)平穩(wěn)隨機(jī)地震響應(yīng)的精確解

式中：ωg、ξg分別表示場(chǎng)地土的卓越頻率和阻尼比；S0為基巖上白噪聲的譜強(qiáng)度因子。

由式(8)、式(9)，有：

故：

由復(fù)模態(tài)理論[19]，可以獲得z(t)的協(xié)方差函數(shù)為：

其中：

由式(16)可得：

令τ=0，得結(jié)構(gòu)的位移、速度響應(yīng)的方差分別為：

E[x2(t)]=Cx(0)，

5算例分析

圖2　計(jì)算簡(jiǎn)圖Fig.2　Calculation diagram

對(duì)于如圖2所示的質(zhì)量為m，剛度為k，阻尼為c的單自由度廣義Maxwell阻尼減震結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)所在地區(qū)的抗震設(shè)防烈度為I=8度(0.2 g)。計(jì)算參數(shù)為：結(jié)構(gòu)質(zhì)量m=1kg，結(jié)構(gòu)剛度k=300N/m，阻尼比取ξ0=0.05，結(jié)構(gòu)自振頻率ω0=20s-1；兩個(gè)并聯(lián)的Maxwell阻尼器性能參數(shù)分別為：平衡模量kG=100N/m，松弛時(shí)間倒數(shù)μ1=10s-1，μ2=15s-1，單元阻尼系數(shù)分別取c01=18、24、30、36N·s/m，c02=12、16、20、24N·s/m。采用中等堅(jiān)硬度土壤參數(shù)，場(chǎng)地土的卓越頻率和阻尼比分別取ωg=16.5s-1，ξg=0.8，譜強(qiáng)度S0=0.013 87m2/s3。所得特征值示于表1；所得計(jì)算常數(shù)ηj示于表2；系統(tǒng)位移方差和速度響應(yīng)方差示于表3。

表1　特征根計(jì)算結(jié)果

表2　ηj計(jì)算結(jié)果

表3　響應(yīng)方差計(jì)算結(jié)果

表1、表2給出了結(jié)構(gòu)特征值及計(jì)算參數(shù)ηj的計(jì)算結(jié)果；由表3所示結(jié)果可知，隨著阻尼器的單元阻尼系數(shù)增大，阻尼耗能結(jié)構(gòu)的位移和速度響應(yīng)方差有減小的趨勢(shì)，表明適當(dāng)調(diào)整阻尼器的阻尼單元性能參數(shù)，可以減小結(jié)構(gòu)的地震反應(yīng)劇烈程度，使結(jié)構(gòu)響應(yīng)更趨于平穩(wěn)；計(jì)算結(jié)果與實(shí)際情況相符，驗(yàn)證了本文分析方法的可行性。

8結(jié)論

本文對(duì)一般積分型單自由度粘彈性阻尼耗能減震結(jié)構(gòu)在任意激勵(lì)和非零初始條件下的瞬態(tài)響應(yīng)精確解進(jìn)行了系統(tǒng)研究。首先采用線性粘彈性阻尼器一般積分型精確分析模型，用微分積分方程實(shí)現(xiàn)了結(jié)構(gòu)的時(shí)域非擴(kuò)階精確建模；然后采用傳遞函數(shù)法，直接在耗能結(jié)構(gòu)非擴(kuò)階空間上獲得了變頻耗能結(jié)構(gòu)在任意激勵(lì)和非零初始條件下位移與速度時(shí)域瞬態(tài)響應(yīng)的解析表達(dá)式；基于廣義Maxwell阻尼器模型，通過(guò)對(duì)比傳統(tǒng)經(jīng)典擴(kuò)階復(fù)模態(tài)法的分析求解過(guò)程與所得響應(yīng)解析表達(dá)式，驗(yàn)證了該精確解的正確性和簡(jiǎn)易性。此振動(dòng)機(jī)理將為建立耗能變頻結(jié)構(gòu)精確的振型分解反應(yīng)譜法提供分析路徑。最后，基于結(jié)構(gòu)瞬態(tài)響應(yīng)的精確解，得到了結(jié)構(gòu)在Kanai-Tajimi譜平穩(wěn)隨機(jī)地震激勵(lì)下的響應(yīng)方差的解析表達(dá)式，并通過(guò)算例反映了阻尼器參數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)隨機(jī)特性的影響，驗(yàn)證了本文方法的可行性。本文為一般積分型單自由度粘彈性阻尼耗能結(jié)構(gòu)瞬態(tài)響應(yīng)與隨機(jī)響應(yīng)的分析研究提供了一條有效途徑，同時(shí)為一般積分型多自由度粘彈性阻尼耗能結(jié)構(gòu)瞬態(tài)響應(yīng)與隨機(jī)響應(yīng)的分析奠定了一定的理論基礎(chǔ)。

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(責(zé)任編輯唐漢民梁健)

Exact transient response solution of energy dissipation structure with internal viscoelastic damper

LI Chuang-di1,2, WEI Xiao-teng1, WANG Lei-shi1, ZOU Wan-jie2

(1.College of Civil Engineering and Architecture, Guangxi University, Nanning 530004, China;

2.Department of Civil Engineering, Guangxi University of Science and Technology, Liuzhou 545006, China)

Abstract:In order to establish an accurate design method for general linear viscoelastic damping energy dissipation structures, a systematically research on the time domain transient response exact solution of structure that have single degree of freedom was conducted under arbitrary excitation and non-zero initial condition. A general integral accurate analysis model of linear viscoelastic damper was adopted, and a precise non-extended order model in time domain of structure that had SDOF(single degree of freedom) was created by applying the differential-integral equation. The transient displacement and velocity response analytical expressions of variable frequency energy dissipation structure in time domain under arbitrary excitation and non-zero initial condition were obtained directly in non-extended order space of energy dissipation structure using the transfer function method. The analytical expression of response variance of structure that met with stationary random seismic excitation of Kanai-Tajimi spectrum was established by applying the exact solution obtained in this paper. It is proved that this exact solution is correct and simple, compared with the consequences obtained by employing the complex model method of extended order, which suggests that an effective analytical solution has been built and the solution is applicable to general linear viscoelastic damping energy dissipation structures of SDOF.

Key words:transfer function method; general integral model; exact solution of transient response; exact solution of random response

中圖分類號(hào)：TU311.3

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1001-7445(2016)01-0083-08

doi:10.13624/j.cnki.issn.1001-7445.2016.0083

通訊作者：李創(chuàng)第(1964—)，男，廣西柳州人，廣西科技大學(xué)教授，博士； E-mail：lichuangdi1964@163.com。

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51468005)；廣西自然科學(xué)基金項(xiàng)目(2014GXNSFAA118315)；廣西科技大學(xué)創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)支持計(jì)劃項(xiàng)目

收稿日期：2015-04-20；

修訂日期：2015-11-24

引文格式：李創(chuàng)第，尉霄騰,王磊石,等.積分型粘彈性阻尼器耗能結(jié)構(gòu)瞬態(tài)響應(yīng)的精確解[J].廣西大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2016，41(1)：83-90.