基于混沌映射協(xié)同差分進(jìn)化的最優(yōu)路徑規(guī)劃

劉劍英，楊文艷，劉丹丹

(1.大連職業(yè)技術(shù)學(xué)院 信息工程學(xué)院，遼寧 大連 116035；

2. 黑龍江科技大學(xué) 電氣與控制工程學(xué)院，哈爾濱 150022)

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基于混沌映射協(xié)同差分進(jìn)化的最優(yōu)路徑規(guī)劃

劉劍英1，楊文艷1，劉丹丹2

(1.大連職業(yè)技術(shù)學(xué)院 信息工程學(xué)院，遼寧 大連 116035；

2. 黑龍江科技大學(xué) 電氣與控制工程學(xué)院，哈爾濱 150022)

摘要：為提高軌跡優(yōu)化的精度，提出一種基于混沌映射的協(xié)同差分進(jìn)化算法。該模型不依賴數(shù)學(xué)模型和梯度信息，即可對(duì)優(yōu)化目標(biāo)進(jìn)行分組尋優(yōu)和信息共享，實(shí)現(xiàn)快速軌跡優(yōu)化。在尋優(yōu)后期的子代構(gòu)建過程中引入混沌映射，使算法在保持種群多樣性的同時(shí)，平衡了全局搜索能力和局部搜索能力。通過標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)對(duì)比測(cè)試，所提算法在全局尋優(yōu)能力方面取得明顯的改進(jìn)效果，將其應(yīng)用于解決軌跡優(yōu)化的實(shí)際問題，可以高效地獲得全局最優(yōu)軌跡，有效地提升差分進(jìn)化算法的性能。

關(guān)鍵詞：差分進(jìn)化；協(xié)同進(jìn)化；軌跡優(yōu)化；混沌映射

最優(yōu)路徑規(guī)劃軌跡優(yōu)化是運(yùn)動(dòng)控制領(lǐng)域中的一個(gè)重要分支，在大型礦井中最優(yōu)路徑規(guī)劃等領(lǐng)域得到廣泛的應(yīng)用[1]?？傮w目標(biāo)是使物體運(yùn)動(dòng)到指定目標(biāo)位置，并且不碰到障礙物，與此同時(shí)路徑最短或耗時(shí)最少[2]。自由空間法[3]是其中最經(jīng)典的方法，該方法將環(huán)境空間分為自由空間和障礙物空間兩部分，然后采用搜索策略在自由空間中找到一條較優(yōu)的軌跡，但其計(jì)算復(fù)雜度受到障礙物數(shù)目的影響，不能保證每次獲得最優(yōu)軌跡。隨著遺傳算法、群體智能計(jì)算算法等方法的發(fā)展，軌跡優(yōu)化領(lǐng)域也獲得進(jìn)步[4-5]。

差分進(jìn)化(Differential Evolution, DE)算法是于1995年為了求解切比雪夫多項(xiàng)式而提出來的一種采用浮點(diǎn)矢量編碼在連續(xù)空間中進(jìn)行隨機(jī)搜索的優(yōu)化算法[6]。該算法的原理簡單，受控參數(shù)少，實(shí)施隨機(jī)、并行、直接的全局搜索，易于理解和實(shí)現(xiàn)[7-9]。近20年里差分進(jìn)化算法在自適應(yīng)控制[10]、遙感圖像處理[11-13]等領(lǐng)域得到深入研究。Qu等[14]利用鄰域突變特性改進(jìn)差分進(jìn)化算法，并將其應(yīng)用于多峰函數(shù)優(yōu)化。焦李成等[15]提出一種基于差分進(jìn)化的多目標(biāo)優(yōu)化算法，提高了算法的均勻性和寬廣性。向萬里等[16]提出高效率反向差分進(jìn)化算法，改進(jìn)變異搜索方程，獲得了較好的收斂精度和速度。在模糊聚類中也可以使用差分進(jìn)化框架進(jìn)行有效的初始化[17]。然而由于差分進(jìn)化算法是根據(jù)父代個(gè)體間的差分矢量進(jìn)行變異、交叉和選擇操作的，因此，它與其他群體智能算法一樣存在早熟收斂現(xiàn)象。此外，差分進(jìn)化在尋優(yōu)過程后期，收斂速度會(huì)明顯減慢。

本文提出一種基于混沌映射的協(xié)同差分進(jìn)化算法，將待優(yōu)化進(jìn)行有效分組，然后進(jìn)行信息共享，提高搜索效率。在尋優(yōu)后期引入混沌映射機(jī)制，提高群體的多樣性，從而提高優(yōu)化結(jié)果。最終將其應(yīng)用于實(shí)際最優(yōu)路徑規(guī)劃問題中，分析其有效性。

1差分進(jìn)化算法

差分進(jìn)化算法是通過引入差分變異算子進(jìn)行迭代的隨機(jī)算法。首先隨機(jī)生成初始種群，再利用當(dāng)前群體中的個(gè)體差異構(gòu)造變異個(gè)體，并與第3個(gè)隨機(jī)選擇的個(gè)體向量進(jìn)行加權(quán)加和，隨后將以一定的概率進(jìn)行雜交生產(chǎn)試驗(yàn)矢量。若試驗(yàn)矢量優(yōu)于目標(biāo)矢量，則將較優(yōu)個(gè)體矢量保持到下一代。通過逐步迭代尋找到最優(yōu)結(jié)果。差分進(jìn)化算法一般包括如下4個(gè)基本操作：

步驟1隨機(jī)初始化

利用均勻隨機(jī)分布的方法產(chǎn)生初始種群xij：

xij,1=xjmin+rand×(xjmax-xjmin),

i=1,2,…,NP,j=1,2,…,D

(1)

式中，rand為[0,1]之間的隨機(jī)數(shù)，xjmin和xjmax分別為第j個(gè)變量的下界和上界，NP為種群規(guī)模，D為優(yōu)化問題的維數(shù)。NP越大，種群多樣性越強(qiáng)，獲得最優(yōu)解的概率越大。

步驟 2差分變異策略

變異矢量定義為

DG=xr1,G-xr2,G，

(2)

式中，G為進(jìn)化代數(shù)，r1，r2分別為不同的索引號(hào)。將差分矢量隨機(jī)疊加另外一個(gè)個(gè)體矢量上，實(shí)現(xiàn)變異操作如下：

vi,G+1=xr1,G+F×(xr2,G-xr3,G) ，

(3)

式中，r1，r2，r3和i為[1,2,…,NP]中表示3個(gè)不同個(gè)體，F(xiàn)為變異因子。

步驟 3交叉操作

將群體中的目標(biāo)矢量個(gè)體xi,G與變異矢量vi,G+1進(jìn)行交叉操作，產(chǎn)生試驗(yàn)矢量個(gè)體ui,G+1：

(4)

式中， rand(j)為[0,1]間的隨機(jī)數(shù)；CR為交叉概率因子，取值范圍為[0,1]；randn(i)為[1,2,…,D]之間的隨機(jī)整數(shù)。為保證矢量xi,G能夠進(jìn)化，必須使得ui,G+1中至少有一位由vi,G+1貢獻(xiàn)。

步驟 4選擇策略

通過目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行試驗(yàn)矢量ui,G+1和目標(biāo)矢量xi,G的選擇：

(5)

這里f為目標(biāo)函數(shù)。若ui,G+1的目標(biāo)函數(shù)值小于xi,G的目標(biāo)函數(shù)值，則由ui,G+1替代目標(biāo)矢量xi,G；反之，則保留xi,G生成新矢量，迭代計(jì)算直至符合停止條件。

2基于混沌映射的協(xié)同差分進(jìn)化算法

為了提高差分進(jìn)化算法的優(yōu)化能力，構(gòu)造協(xié)同進(jìn)化框架，將待優(yōu)化問題進(jìn)行拆分，然后在每個(gè)組內(nèi)利用混沌映射差分進(jìn)化算法進(jìn)行快速尋優(yōu)，之后進(jìn)行信息共享。

2.1　協(xié)同進(jìn)化框架

在協(xié)同進(jìn)化(CooperativeCoevolution,CC)框架中，首先對(duì)待優(yōu)化問題進(jìn)行隨機(jī)初始化，令最大迭代次數(shù)為Tmax，迭代次數(shù)變量time=0，種群數(shù)目NP，每組內(nèi)的最大迭代次數(shù)T1，整個(gè)循環(huán)的分組內(nèi)當(dāng)前循環(huán)次數(shù)k=0，進(jìn)而設(shè)定交叉概率因子CR和變異因子F。在整個(gè)循環(huán)過程中，首先對(duì)待優(yōu)化進(jìn)行隨機(jī)分組，拆分成L個(gè)小組，分別利用混沌映射差分進(jìn)化算法(ChaosMappingDifferentialEvolution,CMDE)在小組內(nèi)進(jìn)行尋優(yōu)。之后將各個(gè)位置矢量信息進(jìn)行共享，構(gòu)建整體矢量，對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行比較，獲得最優(yōu)個(gè)體，循環(huán)迭代直至算法收斂停止。協(xié)同進(jìn)化模式可以提高并行計(jì)算速度，對(duì)大規(guī)模模型參數(shù)優(yōu)化具有較好的優(yōu)勢(shì)。在利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行模擬優(yōu)化的過程中，可以采用圖形圖像處理單元(GraphicProcessingUnit，GPU)進(jìn)行硬件上的并行處理分析。通過ComputeUnifiedDeviceArchitecture(CUDA)統(tǒng)一編程平臺(tái)，利用cudaMalloc和cudaMemcpy命令將GPU計(jì)算所需要的參數(shù)設(shè)定等數(shù)據(jù)讀入到顯存中，采用NCVV生成設(shè)備端代碼。采用Kernel程序?yàn)槊恳粋€(gè)分組建立一個(gè)線程塊。每個(gè)線程代表一個(gè)矢量，計(jì)算每個(gè)矢量的目標(biāo)函數(shù)值，通過每個(gè)Block中的共享內(nèi)存，記錄每個(gè)矢量的當(dāng)前位置信息，從而實(shí)現(xiàn)組內(nèi)每個(gè)Thread的信息共享和交互，完成變異、交叉和選擇的操作，實(shí)現(xiàn)子問題的有效快速尋優(yōu)。當(dāng)分組尋優(yōu)之后，滿足全局停止條件，將全部結(jié)果返回主機(jī)內(nèi)存，獲得全局最優(yōu)位置，提高算法的計(jì)算效率。

2.2　 混沌映射矢量變異

混沌運(yùn)動(dòng)獨(dú)有的特征表現(xiàn)為：有界性、遍歷性、隨機(jī)性、分維性、標(biāo)度性、普適性和統(tǒng)計(jì)特征。

定義1混沌定義。 [a,b]上的連續(xù)自映射f稱為是混沌的，若其滿足：

(1)f的周期點(diǎn)無上界；

(2)存在不可數(shù)子集S?[a,b]，S中無周期點(diǎn)，且滿足：

①對(duì)任意x,y∈S，有

②對(duì)任意x,y∈S，有

③對(duì)任意x∈S和f的任意周期點(diǎn)y，有

基于混沌映射協(xié)同差分進(jìn)化算法的流程如圖1。

基于混沌映射協(xié)同差分進(jìn)化算法首先進(jìn)行初始化設(shè)定，然后對(duì)待優(yōu)化參數(shù)隨機(jī)分組，在每個(gè)組內(nèi)采用混沌映射差分進(jìn)化算法開始分組尋優(yōu)，通過信息交互之后，返回上層循環(huán)迭代，直至算法收斂。差分進(jìn)化算法在尋優(yōu)后期過程中個(gè)體差異減弱，整個(gè)算法的尋優(yōu)能力會(huì)大幅度的下降，出現(xiàn)“早熟”的現(xiàn)象，所以為了保證軌跡優(yōu)化過程中搜索的尋優(yōu)成功概率，就要充分利用混沌映射的遍歷性來提高矢量群體的多樣性。

圖1　基于混沌映射協(xié)同差分進(jìn)化算法流程圖

為進(jìn)一步確定矢量子代重構(gòu)標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)第j個(gè)分組內(nèi)的多樣性定義為

(6)

式中，S為分組內(nèi)的矢量個(gè)數(shù)，R為各矢量之間的位置距離。當(dāng)diversity<ε時(shí)，進(jìn)行子代矢量重構(gòu)。另一方面采用目標(biāo)函數(shù)變化閾值分析，獲得子代重構(gòu)的判定標(biāo)準(zhǔn)：

f(xn)-f(xn+1)≤ε 。

(7)

當(dāng)目標(biāo)函數(shù)變化小于ε時(shí)，采用混沌重構(gòu)模式。采用Chebyshev混沌映射，其迭代方程為

xn+1=cos(μacos(xn)),xn∈[-1,1]，

(8)

令μ=4，數(shù)據(jù)序列處于混沌狀態(tài)。

當(dāng)目標(biāo)函數(shù)變化小于ε時(shí)，采用混沌重構(gòu)模式，對(duì)矢量中的每一維數(shù)據(jù)加入混沌變異量，產(chǎn)生NP×D 個(gè)混沌隨機(jī)序列，建立對(duì)應(yīng)矩陣

(9)

然后將混沌隨機(jī)矩陣賦值于xi,j，產(chǎn)生遷移位置量：

(10)

式中，[xjmin,xjmax]為矢量個(gè)體的取值范圍，將其加入到原始矢量中，得到新的群體：

(11)

式中，λ為[0,1]之間的混沌映射編譯比例系數(shù)，控制矢量混沌遷移的大小。在每個(gè)分組內(nèi)的混沌映射差分進(jìn)化算法的偽代碼如下：

Start

initializethepopulation

evaluatethefitness: = f(x)

While(terminationcondition=false)

Do

Mutation,cross,chooseprocessusing(3), (4)and(5),respectively;

Evaluatethediversityandthechangeoffitnessfunctionusing(6)and(7),respectively;

IF(reconstructcondition=ture)

Calculatechaossequenceandreconstructthevectorsusing(8)-(11);

EndIF

EndDo

End

3基于CMDE-CC的最優(yōu)路徑規(guī)劃

本研究主要探索運(yùn)動(dòng)物體無碰撞且軌跡最短的多目標(biāo)最優(yōu)路徑規(guī)劃。在軌跡長度方面，可以通過歐幾里得距離而得到長度能量函數(shù)——長度能量函數(shù)值越小，軌跡長度越短；無碰撞方面，可以通過碰撞罰函數(shù)來約束——碰撞罰函數(shù)值越小，碰撞的可能性越小，當(dāng)碰撞罰函數(shù)的值小于一定閾值時(shí)，表示軌跡無碰撞。因此，多目標(biāo)最優(yōu)路徑規(guī)劃的目標(biāo)函數(shù)可以表示為長度能量函數(shù)和碰撞罰函數(shù)兩部分的加權(quán)和：

E=wEl+(1-w)Ec，

選擇起始點(diǎn)和目標(biāo)點(diǎn)連線上均勻分布的點(diǎn)向量作為初始最優(yōu)個(gè)體，然后再進(jìn)一步進(jìn)化尋優(yōu)。整個(gè)流程如圖2。

當(dāng)最優(yōu)解經(jīng)過一定代數(shù)后沒有發(fā)生變化或變化不大，而且碰撞罰函數(shù)大于一定閾值時(shí)，對(duì)群體中所有個(gè)體進(jìn)行混沌映射重構(gòu)，隨后進(jìn)行變異、交叉和選擇操作。

圖2　基于CMDE-CC最優(yōu)路徑規(guī)劃流程圖

4仿真分析

為驗(yàn)證所提CMDE-CC算法的有效性，選用4個(gè)標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)進(jìn)行比較不同差分進(jìn)化算法的有效性。此外，通過最優(yōu)路徑規(guī)劃模擬實(shí)驗(yàn)進(jìn)行數(shù)據(jù)對(duì)比分析。

4.1　標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)測(cè)試

為了驗(yàn)證所提CMDE-CC算法的有效性，選擇4個(gè)不同類型的標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)進(jìn)行分析，這些函數(shù)有單峰的、多峰的、連續(xù)的、非連續(xù)的和不可導(dǎo)的，從而充分驗(yàn)證所提算法的適應(yīng)性。

標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)1：Sphere函數(shù)

(12)

標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)2：Ackley‘s函數(shù)

(13)

標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)3：Griewank’s函數(shù)

(14)

標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)4：復(fù)合函數(shù)

f1,…,f10:GriewankFunction

[σ1,…,σ10]=[1,…,1]

[λ1,…,λ10]=[5/100,…,5/100]。

(15)

在仿真實(shí)驗(yàn)中令維數(shù)D分布為100，1 000，其他參數(shù)L=10，F(xiàn)=0.5，CR=0.9，NP=100，T1=3 000和Tmax=3 000D。每次實(shí)驗(yàn)重復(fù)20次，記錄其平均值和方差。為了驗(yàn)證所提算法CMDE-CC的有效性，仿真中與經(jīng)典差分進(jìn)化算法(DE)和協(xié)同差分進(jìn)化算法(DE-CC)進(jìn)行比較，仿真結(jié)果平均值和方差分別見表1和表2。從數(shù)據(jù)中可以看出，本文提出的CMDE-CC算法在大部分平均最優(yōu)值和標(biāo)準(zhǔn)差上精度都有所提高，說明該算法不僅尋優(yōu)能力更強(qiáng)，而且具有更高的穩(wěn)定性。

表1　函數(shù)優(yōu)化平均值結(jié)果

表2　函數(shù)優(yōu)化方差結(jié)果

4.2　最優(yōu)路徑規(guī)劃

采用CMDE-CC算法作為搜索算法，即計(jì)算出式(10)的一系列軌跡節(jié)點(diǎn)pi,i=1,…,D的位置坐標(biāo)，采用直角坐標(biāo)系，故其每個(gè)軌跡節(jié)點(diǎn)的位置坐標(biāo)用(xi,yi)來表示，待優(yōu)化的個(gè)體參數(shù)矢量可以表示為

xi=[(x1,y1),…,(xi,yi),…,(xD,yD)] 。

(16)

可以看出軌跡節(jié)點(diǎn)數(shù)越多，得到的軌跡越精確，但是相應(yīng)所花費(fèi)的時(shí)間也就越長。為了保證精確度，本文中取15個(gè)節(jié)點(diǎn)，即D=15。為了簡化運(yùn)動(dòng)物體的模型，本文將運(yùn)動(dòng)物體視為質(zhì)點(diǎn)。CMDE-CC的參數(shù)設(shè)置為：D=15，NP=100，F(xiàn)=0.5，CR=0.9，n=5，λ=0.3，g=0.001，Tmax=500，T1=100，L=3。目標(biāo)函數(shù)中，w=0.001，起始點(diǎn)坐標(biāo)p1=[5,5]，目標(biāo)點(diǎn)坐標(biāo)pm=[95,95]。路徑迭代優(yōu)化過程中函數(shù)變化曲線如圖3。

(a)目標(biāo)函數(shù)變化曲線

(b)長度能量函數(shù)變化曲線

從圖3(a)可以看出，CMDE-CC算法在大約40步的時(shí)候就已經(jīng)收斂，而且是全局最優(yōu)，軌跡長度也是所有可行軌跡中最短的，且沒有與障礙物發(fā)生碰撞(如圖3(b))，即軌跡優(yōu)化成功。經(jīng)過CMDE-CC優(yōu)化得到的最優(yōu)路徑規(guī)劃結(jié)果如圖4。

(a)原始最優(yōu)路徑

(b)經(jīng)過差值平滑處理的最優(yōu)路徑

圖4(a)為最終得到的最優(yōu)軌跡，圖4(b)將所得最優(yōu)軌跡經(jīng)過簡單的三次樣條插值處理，得到速度與加速度均沒有跳變的符合運(yùn)動(dòng)學(xué)約束的平滑可行軌跡，獲得較好的結(jié)果。

5結(jié)語

本文提出的基于混沌映射協(xié)同差分進(jìn)化算法，不依賴具體問題數(shù)學(xué)模型，將待優(yōu)化問題進(jìn)行隨機(jī)分解，然后進(jìn)行分組學(xué)習(xí)和信息共享，當(dāng)維數(shù)較高時(shí)優(yōu)化效果的改進(jìn)程度更加明顯。此外，在算法的后期引入混沌映射，提高了種群的多樣性和算法的優(yōu)化能力，在最優(yōu)路徑規(guī)劃的應(yīng)用中快速準(zhǔn)確地尋找到最優(yōu)路徑，充分驗(yàn)證了模型的有效性。

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(責(zé)任編輯鄒永紅)

Optimal Trajectory Planning Based on Chaos Mapping

Cooperative Differential Evolution

LIU Jian-ying1, YANG Wen-yan1, LIU Dan-dan2

(1. School of Information Engineering, Dalian Vocational Technology College, Dalian

Liaoning 116023, China;2. College of Electrization and Control Engineering,

Heilongjiang University of Science and Technology, Harbin Heilongjiang 150022, China)

Abstract:In order to improve the precision of trajectory optimization, a cooperative differential evolution algorithm based on chaotic mapping is proposed. The algorithm does not rely on mathematical model and gradient information. It can optimize by group and share information for the optimizing target, and achieve rapid trajectory optimization. We introduce the chaos mapping into the process of children construction in the later period of optimization, which makes the algorithm keep the diversity of the population and balance the ability of global search and local search. By comparing with standard functions, we validate the global optimization ability of the cooperative differential evolution algorithm. Furthermore, the practical application of the algorithm is applied to the trajectory optimization ,which can obtain the global optimal trajectory. The performance of differential evolution algorithm is improved effectively.

Key words:differential evolution; cooperative coevolution; trajectory optimization; chaos mapping

中圖分類號(hào)：TP391.9

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：2096-1383(2016)01-0050-05

作者簡介：劉劍英 (1979-), 女，黑龍江黑河人, 副教授，主要從事智能計(jì)算、計(jì)算機(jī)軟件研究。

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目 (51374099) 。

收稿日期：2015-06-04；最后修回日期：2015-09-20