Weibull分布在航空武器項(xiàng)目經(jīng)費(fèi)管理中的應(yīng)用研究

劉浩敏

(中國(guó)空空導(dǎo)彈研究院，河南 洛陽　471000)

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Weibull分布在航空武器項(xiàng)目經(jīng)費(fèi)管理中的應(yīng)用研究

劉浩敏

(中國(guó)空空導(dǎo)彈研究院，河南 洛陽471000)

摘要：科學(xué)、合理的經(jīng)費(fèi)估算可以為項(xiàng)目立項(xiàng)與經(jīng)費(fèi)安排提供重要的決策參考；基于Weibull分布理論，首先提出了一種基于累計(jì)經(jīng)費(fèi)約束的最小二乘分布參數(shù)估計(jì)法，給出了幾個(gè)常用的項(xiàng)目累計(jì)經(jīng)費(fèi)約束條件；其次運(yùn)用提出的方法，對(duì)其在航空制導(dǎo)武器項(xiàng)目經(jīng)費(fèi)管理中的應(yīng)用進(jìn)行了研究；最后對(duì)應(yīng)用情況進(jìn)行了綜合分析。

關(guān)鍵詞：Weibull分布；累計(jì)經(jīng)費(fèi)約束；最小二乘

本文引用格式：劉浩敏.Weibull分布在航空武器項(xiàng)目經(jīng)費(fèi)管理中的應(yīng)用研究[J].兵器裝備工程學(xué)報(bào)，2016(1):102-105.

Citation format:LIU Hao-min.Study on Air-Borne Project Cost Management by Weibull Distribution [J].Journal of Ordnance Equipment Engineering,2016(1):102-105.

隨著新技術(shù)和新材料的廣泛應(yīng)用，加之技術(shù)難度大、系統(tǒng)復(fù)雜、不可遇見因素多，航空制導(dǎo)武器項(xiàng)目日益增長(zhǎng)的研制成本和有限的經(jīng)費(fèi)預(yù)算之間的矛盾越來越突出，如何科學(xué)、合理地估算出項(xiàng)目總研制經(jīng)費(fèi)及其各年度的投資強(qiáng)度，對(duì)項(xiàng)目立項(xiàng)決策、經(jīng)濟(jì)性評(píng)估、合理分配有限經(jīng)費(fèi)資源及對(duì)其進(jìn)行有效管理具有重要意義[1-5]。

研究發(fā)現(xiàn)，Weibull分布模型在一定條件下能較好地描述大型項(xiàng)目時(shí)間與經(jīng)費(fèi)之間的分布關(guān)系，即如果研制過程基本按計(jì)劃進(jìn)行，無大的突發(fā)性變更和干擾，則在項(xiàng)目整個(gè)研制過程中，時(shí)間-經(jīng)費(fèi)的分布表現(xiàn)為中間多、開始和結(jié)束時(shí)少的特點(diǎn)?；谶@種分布特性，國(guó)內(nèi)許多學(xué)者和項(xiàng)目管理人員對(duì)其在各類項(xiàng)目經(jīng)費(fèi)管理中的應(yīng)用做了大量研究。徐哲等[6]對(duì)Weibull分布模型的特點(diǎn)、應(yīng)用范圍、參數(shù)估計(jì)方法等進(jìn)行了較為詳細(xì)的理論研究，并對(duì)其在大型復(fù)雜系統(tǒng)研制經(jīng)費(fèi)預(yù)估等方面做了應(yīng)用研究；郭基聯(lián)等[7]運(yùn)用已有裝備項(xiàng)目的歷史數(shù)據(jù)對(duì)Weibull分布模型的參數(shù)估計(jì)方法進(jìn)行了研究，并根據(jù)項(xiàng)目的特點(diǎn)，導(dǎo)出了分布參數(shù)的取值范圍，減小了主觀因素對(duì)參數(shù)估計(jì)的影響；胡葦[8]對(duì)Weibull分布模型在航天項(xiàng)目研制經(jīng)費(fèi)管理中的應(yīng)用做了較為深入的研究，并對(duì)其應(yīng)用過程中存在的問題進(jìn)行了具體分析；謝紅勝等[9-10]基于Weibull分布建立了水電設(shè)備費(fèi)用模型，并據(jù)此解決了水電設(shè)備維護(hù)費(fèi)用模型中的不確定性問題。

目前，Weibull分布模型在航天、兵器等領(lǐng)域項(xiàng)目經(jīng)費(fèi)管理中已有較多應(yīng)用研究，但在航空制導(dǎo)武器項(xiàng)目方面的應(yīng)用較少。從目前我國(guó)航空制導(dǎo)武器項(xiàng)目經(jīng)費(fèi)管理相對(duì)落后的現(xiàn)狀來看，有必要對(duì)其在航空制導(dǎo)武器項(xiàng)目經(jīng)費(fèi)管理中的應(yīng)用進(jìn)行研究。此外，通過對(duì)Weibull分布模型進(jìn)行研究發(fā)現(xiàn)，只有當(dāng)時(shí)間趨于無窮大時(shí)其分布函數(shù)才會(huì)趨于1，即當(dāng)時(shí)間趨于無窮大時(shí)項(xiàng)目所有經(jīng)費(fèi)才能執(zhí)行完畢，但在實(shí)際過程中，項(xiàng)目研制周期是有限的，其所有經(jīng)費(fèi)必須在有限時(shí)間內(nèi)執(zhí)行完畢，或者說基本執(zhí)行完畢(99.5%以上)。分析Weibull分布模型在相關(guān)領(lǐng)域中的應(yīng)用發(fā)現(xiàn)，應(yīng)用Weibull分布模型給出的項(xiàng)目經(jīng)費(fèi)分布在項(xiàng)目結(jié)束時(shí)往往還有大量經(jīng)費(fèi)“待執(zhí)行”。

本文基于Weibull分布模型，對(duì)其在航空制導(dǎo)武器項(xiàng)目經(jīng)費(fèi)管理中的應(yīng)用進(jìn)行研究，提出基于累計(jì)經(jīng)費(fèi)約束的最小二乘分布參數(shù)估計(jì)法，可解決運(yùn)用傳統(tǒng)最小二乘法面臨的存在大量經(jīng)費(fèi)“待支出”問題。最后，對(duì)Weibull分布模型在航空制導(dǎo)武器項(xiàng)目經(jīng)費(fèi)管理中的應(yīng)用進(jìn)行綜合分析。

1Weibull時(shí)間-經(jīng)費(fèi)分布模型

Weibull時(shí)間-經(jīng)費(fèi)概率分布函數(shù)的通用表達(dá)式為

(1)

其中，K為項(xiàng)目總研制經(jīng)費(fèi)，表示投資規(guī)模；參數(shù)a決定了曲線的陡度，表示投資的急迫性；參數(shù)m決定了分布曲線的峰值位置，表示項(xiàng)目投資的最高點(diǎn)；參數(shù)r為位置參數(shù)，表示研制階段的起始點(diǎn)，一般取0表示研制周期的開始時(shí)刻，所以，通常情況下，Weibull時(shí)間-經(jīng)費(fèi)分布函數(shù)的表達(dá)式為

(2)

在項(xiàng)目研制過程中，由于經(jīng)費(fèi)實(shí)際上并不完全按照理論情況連續(xù)發(fā)生，所以其累積分布模型在實(shí)際過程中應(yīng)用的更多。Weibull時(shí)間-經(jīng)費(fèi)的累計(jì)分布模型為

(3)

其中，F(xiàn)(t)為第t時(shí)期末累積發(fā)生的經(jīng)費(fèi)總額。設(shè)第t時(shí)期所需的研制經(jīng)費(fèi)為ΔF(t)，則

(4)

由式(3)和式(4)可以看出，如果知道參數(shù)m和a就可以確定總投資額為K的項(xiàng)目研制周期內(nèi)的投資強(qiáng)度分布和各個(gè)時(shí)間段內(nèi)的累計(jì)投資額。

2基于累計(jì)經(jīng)費(fèi)約束的最小二乘分布參數(shù)估計(jì)

目前，較常用的參數(shù)估計(jì)方法有經(jīng)驗(yàn)估計(jì)法、線性回歸法和高斯-牛頓迭代法等，但研究發(fā)現(xiàn)，通過此類方法估算出的參數(shù)確定的經(jīng)費(fèi)分布在項(xiàng)目結(jié)束時(shí)往往還存在大量經(jīng)費(fèi)“待支出”，總體精度較差。本文給出一種基于累計(jì)經(jīng)費(fèi)約束的最小二乘參數(shù)估計(jì)法可以較好地解決此類問題。

2.1傳統(tǒng)最小二乘分布參數(shù)估計(jì)法

線性最小二乘法運(yùn)用的對(duì)象是線性方程，顯然式(3)所描述的方程為典型的非線性方程，根據(jù)文獻(xiàn)[10]，式(3)可線性化為如下形式：

Y=A+BX

(5)

其中，Y=ln(ln(K/(K-F(t))))；A=lna；B=m；X=lnt。

假設(shè)已知關(guān)于變量X,Y的n對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)(Xi,Yi)(n=1,2,…,n)，則根據(jù)線性最小二乘原理，在此有如下方程成立：

(6)

(7)

E為觀測(cè)值Yi和(A+BXi)之差的平方和，即誤差的平方和。求解上述方程即可得到參數(shù)A和B的最小二乘估計(jì)值。運(yùn)用項(xiàng)目實(shí)際發(fā)生數(shù)據(jù)驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)，采用傳統(tǒng)最小二乘法擬合出的經(jīng)費(fèi)分布曲線在項(xiàng)目結(jié)束時(shí)仍然還有較大部分的經(jīng)費(fèi)“待支出”，總體擬合效果不理想。

2.2最小二乘分布參數(shù)估計(jì)法

研究發(fā)現(xiàn)，傳統(tǒng)最小二乘法對(duì)分布參數(shù)進(jìn)行估計(jì)的基礎(chǔ)為已知的n對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)，基于這n對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)估算出的分布參數(shù)(或者說分布曲線)與觀測(cè)數(shù)據(jù)直接相關(guān)，也就是說，由這n對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)在一定約束條件下(觀測(cè)值Yi和(A+BXi)之差的平方和最小)確定的分布曲線是觀測(cè)值的一種數(shù)學(xué)反映?；诖耍瑸榱耸狗植记€能有效反映項(xiàng)目結(jié)束時(shí)的狀態(tài)，我們可以在觀測(cè)樣本中增加期望的項(xiàng)目結(jié)束樣本信息，進(jìn)而可實(shí)現(xiàn)對(duì)項(xiàng)目結(jié)束時(shí)的經(jīng)費(fèi)支出情況進(jìn)行約束。

1) 項(xiàng)目結(jié)束時(shí)累計(jì)支出經(jīng)費(fèi)占總經(jīng)費(fèi)比例為99.5%的約束條件為

lna+mlnT=ln(ln200)

(8)

2) 項(xiàng)目研制時(shí)間進(jìn)行到一半時(shí)累計(jì)支出經(jīng)費(fèi)占總經(jīng)費(fèi)比例為50%(即時(shí)間過半、任務(wù)過半)的約束條件為

lna+mln(T/2)=ln(ln2)

(9)

3) 項(xiàng)目研制時(shí)間進(jìn)行到t(0≤t≤T)時(shí)刻末時(shí)累計(jì)支出經(jīng)費(fèi)占總經(jīng)比例為η(0≤η≤1)的約束條件為

(10)

3實(shí)例分析與應(yīng)用

下面以我國(guó)某航空制導(dǎo)武器項(xiàng)目為例，運(yùn)用基于累計(jì)經(jīng)費(fèi)約束的最小二乘分布參數(shù)估計(jì)法，從上述3個(gè)方面分別進(jìn)行應(yīng)用研究。表1給出了我國(guó)某航空制導(dǎo)武器項(xiàng)目的歷史數(shù)據(jù)，本節(jié)后續(xù)的應(yīng)用研究將以此為依據(jù)。由于保密原因，數(shù)據(jù)進(jìn)行了處理，但不影響研究結(jié)果的給出。

表1　某項(xiàng)目歷史數(shù)據(jù)

3.1事后評(píng)估應(yīng)用

根據(jù)表1給出的歷史數(shù)據(jù)，基于式(6)和式(7)式描述的傳統(tǒng)最小二乘法，很容易得出m值和a值分別為2.823 014和0.014 686。在傳統(tǒng)最小二乘法的基礎(chǔ)上，增加式(8)描述的累計(jì)經(jīng)費(fèi)約束方程，可得出一組新的m值和a值分別為2.925 198和0.013 720。根據(jù)兩種方法確定的m值和a值，可以給出兩種方法確定的項(xiàng)目累計(jì)支出擬合值，詳見表2和圖1。

表2　兩種方法擬合數(shù)據(jù)對(duì)比

圖1　兩種方法擬合數(shù)據(jù)對(duì)比

從對(duì)比數(shù)據(jù)可以看出，在項(xiàng)目結(jié)束的第7年，采用傳統(tǒng)最小二乘法擬合的累計(jì)支出額為0.971 832，“待支出額”為0.028 168，而采用帶約束的最小二乘法擬合的累計(jì)支出額為0.982 896，“待支出額”僅為0.017 104，較傳統(tǒng)方法減小了0.011 064，累計(jì)擬合效果有了較大改善。

3.2事中預(yù)測(cè)應(yīng)用

仍然以表1給出的數(shù)據(jù)為例，假設(shè)項(xiàng)目目前進(jìn)行到第4年末，前4年的累計(jì)支出數(shù)據(jù)已知，分別用傳統(tǒng)最小二乘法和帶約束的最小二乘法對(duì)后續(xù)三年的支出情況進(jìn)行預(yù)測(cè)。經(jīng)計(jì)算，采用傳統(tǒng)最小二乘法給出的m值和a值分別為2.745 082和0.015 333，采用帶約束的最小二乘法給出的m值和a值分別為2.961 309和0.013 587，兩種方法給出的預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)詳見表3和圖2。

表3　兩種方法預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)比

圖2　兩種方法擬合數(shù)據(jù)對(duì)比

從表3對(duì)比數(shù)據(jù)可以看出，在項(xiàng)目結(jié)束的第7年，傳統(tǒng)最小二乘法預(yù)測(cè)的累計(jì)支出值為0.959 337，“待支出額”達(dá)0.040 663，而帶約束的最小二乘法預(yù)測(cè)的累計(jì)支出值為0.986 730，“待支出額”僅為0.013 270，兩種方法預(yù)測(cè)的累計(jì)誤差額相差3倍之大。

3.3事前預(yù)估應(yīng)用

在實(shí)際項(xiàng)目管理過程中，往往會(huì)有“時(shí)間過半、任務(wù)過半”的進(jìn)度要求。根據(jù)項(xiàng)目掙值管理理論，任務(wù)過半也即預(yù)算過半。若項(xiàng)目研制過程基本按計(jì)劃執(zhí)行，其時(shí)間和經(jīng)費(fèi)分布服從Weibull分布，則“時(shí)間過半、任務(wù)過半”的Weibull理論實(shí)現(xiàn)就可以用約束式(9)來描述?；诖?，在項(xiàng)目前期規(guī)劃過程中，如果對(duì)項(xiàng)目開始年份和中間年份的經(jīng)費(fèi)管理給出一定要求，比如項(xiàng)目第一年支出占項(xiàng)目總經(jīng)費(fèi)的1%，中間年份累計(jì)支出占項(xiàng)目總經(jīng)費(fèi)的50%等，就可以對(duì)項(xiàng)目整個(gè)研制周期內(nèi)的經(jīng)費(fèi)安排情況進(jìn)行初步預(yù)估。

為了對(duì)事前預(yù)估的效果做對(duì)比評(píng)估，本節(jié)仍然以前面給出的某項(xiàng)目為估算對(duì)象。假定在項(xiàng)目開始規(guī)劃過程中，第1年項(xiàng)目支出占總經(jīng)費(fèi)的比例為1%，第4年累計(jì)支出占總經(jīng)費(fèi)的50%，即“時(shí)間過半、任務(wù)過半”，第7年，也即項(xiàng)目結(jié)束年，累計(jì)支出占總經(jīng)費(fèi)的99.5%。運(yùn)用前面介紹的方法，我們可以得到一組m值和a值分別為2.997 390和0.013 385，并由此給出的各年度預(yù)估值和累計(jì)預(yù)估值分別見表4、圖3和表5、圖4。

表4　預(yù)估各年度數(shù)據(jù)與實(shí)際數(shù)據(jù)對(duì)比

圖3　預(yù)估各年數(shù)據(jù)與實(shí)際數(shù)據(jù)對(duì)比

從表4和表5對(duì)比數(shù)據(jù)可以看出，規(guī)劃(預(yù)估)的項(xiàng)目累計(jì)支出與實(shí)際累計(jì)支出總體相差較小，僅有1.04%，但各年度規(guī)劃(預(yù)估)額與實(shí)際支出額之間的差異較大，規(guī)劃的經(jīng)費(fèi)支出峰值與實(shí)際相差1年。分析項(xiàng)目實(shí)際研制過程發(fā)現(xiàn)，在第3年和第4年期間，早期規(guī)劃的某關(guān)鍵技術(shù)沒有按照原計(jì)劃節(jié)點(diǎn)順利突破，某重大外場(chǎng)試驗(yàn)因天氣原因沒有按時(shí)完成，進(jìn)而導(dǎo)致其對(duì)應(yīng)的經(jīng)費(fèi)沒有按照計(jì)劃(預(yù)算)執(zhí)行。也就是說，項(xiàng)目實(shí)際并沒有嚴(yán)格按照理論過程進(jìn)行，其實(shí)際支出與規(guī)劃存在較大差異。

綜上分析，如果項(xiàng)目嚴(yán)格按照計(jì)劃開展，過程中沒有大的變更，運(yùn)用基于累計(jì)經(jīng)費(fèi)約束的最小二乘法對(duì)項(xiàng)目研制經(jīng)費(fèi)進(jìn)行預(yù)估能收到較好的效果，可以為項(xiàng)目決策者提供較有力的決策依據(jù)。

表5　預(yù)估各年累計(jì)數(shù)據(jù)與實(shí)際數(shù)據(jù)對(duì)比

圖4　預(yù)估各年累計(jì)數(shù)據(jù)與實(shí)際數(shù)據(jù)對(duì)比

3.4應(yīng)用綜合分析

從上述應(yīng)用研究結(jié)果可以看出，不論是傳統(tǒng)最小二乘法還是本文提出的帶約束最小二乘法給出的累計(jì)結(jié)果與實(shí)際值均存在一定偏差，從航空制導(dǎo)武器項(xiàng)目經(jīng)費(fèi)管理實(shí)際情況來看，累計(jì)誤差在2%以內(nèi)是完全可以接受的。實(shí)際上，在項(xiàng)目經(jīng)費(fèi)的具體管理過程中，一般允許留有一定的不可預(yù)計(jì)費(fèi)，不同項(xiàng)目不可預(yù)見費(fèi)比例不一樣，通常情況下可以按照項(xiàng)目總經(jīng)費(fèi)的3%計(jì)算，研究結(jié)果中2%左右的誤差對(duì)應(yīng)的經(jīng)費(fèi)額在實(shí)際應(yīng)用過程中可以按照不可預(yù)見費(fèi)來考慮。

此外，對(duì)于大型復(fù)雜項(xiàng)目，不確定因素多，研制周期長(zhǎng)，其研制過程往往不能完全按照事先計(jì)劃進(jìn)行，其經(jīng)費(fèi)投入也往往不是呈現(xiàn)為單峰值分布，而是雙峰值或多峰值分布。針對(duì)此類項(xiàng)目，可先把大型復(fù)雜項(xiàng)目分解為若干子項(xiàng)目，然后對(duì)各子項(xiàng)目采用上述方法分別進(jìn)行研究，最后疊加即可得到整個(gè)項(xiàng)目的研究結(jié)果。

4結(jié)束語

針對(duì)傳統(tǒng)最小二乘參數(shù)估計(jì)法存在的問題，本文以Weibull時(shí)間-經(jīng)費(fèi)分布模型為基礎(chǔ)，提出了基于累計(jì)經(jīng)費(fèi)約束的最小二乘法，給出了幾種常用的期望累計(jì)經(jīng)費(fèi)樣本約束條件。為了驗(yàn)證本文所提方法的有效性，以某項(xiàng)目為例，從事后評(píng)估、事中預(yù)測(cè)和事前預(yù)估3個(gè)方面進(jìn)行了應(yīng)用研究，研究結(jié)果表明，與傳統(tǒng)最小二乘法相比，本文提出的發(fā)放具有更好的項(xiàng)目累計(jì)經(jīng)費(fèi)擬合效果和后續(xù)經(jīng)費(fèi)預(yù)測(cè)效果，對(duì)我國(guó)航空制導(dǎo)武器項(xiàng)目經(jīng)費(fèi)管理具有較大的指導(dǎo)意義和應(yīng)用價(jià)值。

參考文獻(xiàn)：

[1]陳士濤，張志峰，歸建洲.基于Weibull分布的武器系統(tǒng)研制時(shí)間-費(fèi)用模型[J].四川兵工學(xué)報(bào),2008,29(2):39-41.

[2]馮自立，陳曉陽，顧家銘.Weibull分布下基于矩法的小樣本量定時(shí)截尾數(shù)據(jù)的估計(jì)[J].四川兵工學(xué)報(bào),2010,31(3):93-97.

[3]唐薇.衛(wèi)星型號(hào)研制工程計(jì)劃進(jìn)度和經(jīng)費(fèi)管理技術(shù)研究[D].南京：南京航空航天大學(xué)，2011.

[4]漆鑫.航天產(chǎn)品全壽命周期成本的控制和管理研究[D].上海：上海財(cái)經(jīng)大學(xué)，2008：19-26.

[5]徐輝，陶慶，王濤.產(chǎn)品研制費(fèi)用的Weibull累計(jì)曲線擬合模型[J].北方工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，1997，9(3):54-57.

[6]徐哲，馮允成.復(fù)雜系統(tǒng)研制費(fèi)用Weibull分布的研究[J].北京航空航天大學(xué)學(xué)報(bào)，1998，24(2):224-227.

[8]胡葦.威布爾時(shí)間-費(fèi)用模型在航天型號(hào)研制經(jīng)費(fèi)管理中應(yīng)用的再思考[J].航天工業(yè)管理，1994(8)：14-18.

[9]謝紅勝，吳春誠(chéng)，吳相林，趙勇.基于威布爾分布的水電設(shè)備費(fèi)用模型研究[J].華中科技大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2006，34(9)：54-56.

[10]徐哲.武器裝備項(xiàng)目進(jìn)度、費(fèi)用與風(fēng)險(xiǎn)管理[M].北京：國(guó)防工業(yè)出版社，2011.

(責(zé)任編輯唐定國(guó))

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Study on Air-Borne Project Cost Management by Weibull Distribution

LIU Hao-min

(China Airborne Missile Academy, Luoyang 471000, China)

Abstract:Scientific and appropriate cost estimating of project can be used in making important strategic decision for project application and project budget planning. Firstly, based on the Weibull distribution theory, a new least squares parameter estimating method that was based on total cost constraint and some common constraint conditions about total cost constraint of project were presented. Secondly, the article discussed the application in the air-borne project using the theory presented. Finally, a comprehensive analysis was summed up.

Key words:Weibull distribution; total cost constraint; least squares

文章編號(hào)：1006-0707(2016)01-0102-05

中圖分類號(hào)：V219

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

doi:10.11809/scbgxb2016.01.024

作者簡(jiǎn)介：劉浩敏(1982—)，男，碩士，工程師，主要從事航空制導(dǎo)武器總體設(shè)計(jì)、航空制導(dǎo)武器項(xiàng)目經(jīng)費(fèi)管理等研究。

收稿日期：2015-06-25；修回日期：2015-07-15