單自由度非線性振動等效線性化法分析

陳儉勇

摘 ?要：對于單自由度非線性振動的微分方程的求解方法很多，但等效線性法是一種處理簡單、實用的方法。其對于研究如單擺等弱非線性問題的精度是可以滿足要求的。當前關于單擺式運動的研究不斷深入和創(chuàng)新，形成能夠使主體結構耗能減震的TMD阻尼器。

關鍵詞：非線性振動;等效線性化;單擺;TMD阻尼器

中圖分類號：O322 文獻標識碼：A

1 引言

工程系統(tǒng)可以分為線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)，對于線性系統(tǒng)的動力微分方程的求解已經(jīng)有很成熟和精確的方法。但對于非線性系統(tǒng)的動力微分方程的求解還沒有精確的方法，現(xiàn)在形成并應用的有相平面法，攝動法，數(shù)值法，其中一種方法-等效線性化法由于處理簡單常被應用研究弱非線性問題。本文將詳細分析和研究等效線性化法處理思路和應用。

2 等效線性化法

（1） 等效線性化法簡介

非線性振動系統(tǒng)的微分方程可以概括為：

， 為小量。（1）

當 時， ? （2）

方程（1）的一次近似解設為 ，

可將非線性力 展開成傅里葉級數(shù)并僅保留基頻;

（3）

其中，

將其帶入方程（1）可得：

（4）

因此，可記為：

這樣，就可以將非線性系統(tǒng)化為形式上的線性系統(tǒng)即：

-為等效阻尼系數(shù)， -為等效剛度系數(shù)，則有，系統(tǒng)的固有頻率為： ，系統(tǒng)的阻尼比為：

系統(tǒng)的解為：

（2） 等效線性化方法的最優(yōu)性

當假設系統(tǒng)作簡諧振動時，在 的一個周期 內(nèi)考慮非線性力與等效線性力誤差的平方累計：

（6）

以 代入（5）式則有，

為確定△的極值，分別對 和 取偏導數(shù)有：

（7）

從上式可知，當且僅當（5）成立時有 ， ，故此時 有極值，再分別對（7）式求二階倒數(shù)可知：

， ，

由高等數(shù)學的極值定律可知，（5）式給出的 ， 使 取極小值。

因此，假設的簡諧振動時等效線性化力逼近非線性力時的誤差平方和累計最小。故此時等效線性化具有最優(yōu)性。

3 單擺的非線性振動

單擺系統(tǒng)的振動微分方程為：

當擺角不大時可寫成：

將右端非線性力展開成傅里葉級數(shù)：

由上述推導知：

得等效線性系統(tǒng)為：

單擺的振動雖然簡單，但近年來，工程師發(fā)現(xiàn)單擺可以運用到結構的耗能減

震中，并取得了良好的效果。如下圖的懸吊擺式TMD，通過控制擺長可以調(diào)節(jié)其頻率并有效地起到主體結構的減震作用。

圖1 懸吊擺式阻尼器

4 空腔樓蓋內(nèi)置FPS-TMD結構減震

隨著人們對擺動研究工作的深入，開發(fā)出了多種形式的阻尼器。諸如下圖的摩擺式阻尼器，它克服了懸吊式阻尼器的所需空間大的缺點，可以在小空間內(nèi)并可以采用特殊形式的支座來進行調(diào)諧達到結構減震的目的。

圖中，1-半徑為r的底座滑道，2-質(zhì)量為m的滑塊，

3-結構樓板質(zhì)量為mn

該摩塊的振動微分方程可以描述為：

此非線性微分方程可以采用上述的等效線性化的方法進行近似求解。

近年，高層結構為了節(jié)約混凝土的用量研究出了空腔樓板，作者未來在此領域想利用空腔的內(nèi)置空間，結合摩擺式阻尼器的原理，在空腔內(nèi)設置FPS-TMD阻尼器以期達到既經(jīng)濟又滿足結構耗能減震的雙重目的。

參考文獻：

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[2] 陳立群.等效線性化方法的最優(yōu)性[J].力學與實踐，1996 （1）.

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[5] 龔大林.現(xiàn)澆鋼筋混凝土薄壁空腔樓蓋的理論分析[D].武漢理工大學，2010.

（本文審稿 ?張端丹）