不倒翁的動(dòng)力學(xué)分析

黃開志 陳小亮 田祖安 丁劍平

(重慶科技學(xué)院數(shù)理學(xué)院，重慶 401331)

不倒翁的動(dòng)力學(xué)分析

黃開志 陳小亮 田祖安 丁劍平

(重慶科技學(xué)院數(shù)理學(xué)院，重慶 401331)

為了潛在的工程應(yīng)用以及為不倒翁類兒童玩具的設(shè)計(jì)計(jì)算提供參考，建立了不倒翁在圓形曲面上作純滾動(dòng)時(shí)的動(dòng)力學(xué)方程，給出了其作純滾動(dòng)且能回?cái)[的限制條件，分析了其穩(wěn)定性.求出了其在水平面上作純滾動(dòng)時(shí)主要?jiǎng)恿W(xué)參數(shù)計(jì)算公式，借助軟件具體分析了一個(gè)不倒翁的運(yùn)動(dòng)特征，繪制了其主要?jiǎng)恿W(xué)參數(shù)曲線.發(fā)現(xiàn)其角速度、角加速度和法向反力Fn隨初始擺角α0遞增，而切向摩擦力Ft則隨初始擺角α0遞減；當(dāng)α0介于0與0.12rad之間時(shí)，擺動(dòng)周期T與α0近似呈線性關(guān)系，且T≤1.01s；當(dāng)α0超過0.12rad時(shí)，T與α0呈非線性關(guān)系，且T>1.01s；當(dāng)α0趨近于π時(shí)，T 趨近于無窮大.

理論力學(xué) ; 動(dòng)力學(xué) ; 不倒翁；臨界曲線

文獻(xiàn)[1]采用能量法分析了不倒翁的穩(wěn)定性，同時(shí)得到了其在水平面上擺動(dòng)時(shí)擺角和周期的近似解，對(duì)于不倒翁的其他主要?jiǎng)恿W(xué)參數(shù)以及其在圓形曲面上的動(dòng)力學(xué)情況，均未分析.

為了潛在的工程應(yīng)用以及為不倒翁類兒童玩具的設(shè)計(jì)計(jì)算提供參考，本文擬對(duì)不倒翁的運(yùn)動(dòng)特性和主要?jiǎng)恿W(xué)參數(shù)進(jìn)行較系統(tǒng)的分析.

1 圓形面支承時(shí)的分析

1.1 動(dòng)力學(xué)方程

圖1所示半徑為r的圓形不倒翁在半徑為R的圓形面支承上作純滾動(dòng)，設(shè)其在支承面的最高點(diǎn)時(shí)y軸正好鉛垂，則Rφ=rθ，亦即

(1)

圖1 力學(xué)模型

擺角α滿足α=θ+φ，結(jié)合式(1)得

(2)

將式(2)代入式(1)得

(3)

點(diǎn)O繞點(diǎn)O′作圓周運(yùn)動(dòng)，則

結(jié)合式(2)，上述二式變?yōu)?/p>

質(zhì)心C相對(duì)于點(diǎn)O的加速度為

(6)

上式中，e為質(zhì)心C與O點(diǎn)間的距離.

(7)

不倒翁作平面運(yùn)動(dòng)，由基點(diǎn)法得質(zhì)心C的加速度滿足

aC=aO+aO C

上式沿坐標(biāo)軸的投影滿足

不倒翁動(dòng)力學(xué)微分方程為

由上述3式并結(jié)合式(3)～式(9)得

1.2 限制條件

不倒翁純滾動(dòng)時(shí)滿足

Ft

其中fs為靜摩擦因數(shù),考慮到式(11)、(12)，上式變?yōu)?/p>

(13)

不倒翁能回?cái)[，其重力mg對(duì)支承點(diǎn)A之矩滿足

mgsinα·(rcosθ-e)

結(jié)合式(3)，上式變?yōu)?/p>

(14)

1.3 穩(wěn)定性分析

以O(shè)′點(diǎn)為不倒翁的零勢(shì)能點(diǎn)，則其勢(shì)能

V=mg[(R+r)cosφ-ecosα]

結(jié)合式(2)，上式變?yōu)?/p>

(15)

(16)

(17)

2 水平面支承時(shí)的分析

2.1 求解

(18)

(19)

由式(18)，得周期

(20)

將式(18)、(19)分別代入式(11)、(12)并考慮到R=∞，得

將式(18)、(19)代入式(13)并令α=α0=αmax，且考慮到R=∞，得不倒翁純滾動(dòng)的臨界曲線

(23)

考慮到R=∞，式(14)變?yōu)?/p>

e>0

(24)

由式(15)并考慮到式(24)和R=∞，得

α′=0或α′=π

(25)

由式(16)并考慮到式(24)、(25)和R=∞，得

不倒翁穩(wěn)定平衡時(shí)，α′=0

由式(17)并考慮到式(24)、(25)和R=∞，得

不倒翁不穩(wěn)定平衡時(shí)，α′=π.

2.2 算例

若取g=9.80665m·s-2，r=0.1m，m1=0.3kg，m2=0.2kg，則m=m1+m2=0.5kg，JC=0.0032kg·m2，e=0.04m.

將這些數(shù)據(jù)代入(23)，可得到圖2所示臨界曲線fs—αmax，該曲線和其右側(cè)切線fs=0.245將fs—α平面的Ⅰ象限分割成上下左右四個(gè)區(qū)域.當(dāng)點(diǎn)(fs，α)在左區(qū)域內(nèi)時(shí)，不倒翁將滑動(dòng)；當(dāng)點(diǎn)(fs，α)在其他區(qū)域內(nèi)時(shí)，其作純滾動(dòng)；當(dāng)點(diǎn)(fs，α)在fs—αmax曲線上時(shí)，其處于臨界狀態(tài).

圖2 α與fs的關(guān)系

從圖2不難發(fā)現(xiàn)：(1)當(dāng)初始點(diǎn)(fs，α0)位于上區(qū)域內(nèi)時(shí)，隨著擺角α的減小，點(diǎn)(fs，α)將通過上區(qū)域—臨界曲線—左區(qū)域—臨界曲線—下區(qū)域，即不倒翁將出現(xiàn)純滾動(dòng)—臨界—滑動(dòng)—臨界—純滾動(dòng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；(2)當(dāng)初始點(diǎn)(fs，α0)位于上區(qū)域與左區(qū)域交界處(fs，αmax)時(shí)，隨著擺角α的減小，點(diǎn)(fs，α)將通過臨界曲線—左區(qū)域—臨界曲線—下區(qū)域，即不倒翁將出現(xiàn)臨界—滑動(dòng)—臨界—純滾動(dòng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；(3)當(dāng)初始點(diǎn)(fs，α0)位于左區(qū)域內(nèi)時(shí)，隨著擺角α的減小，點(diǎn)(fs，α)將通過左區(qū)域—臨界曲線—下區(qū)域，即不倒翁將出現(xiàn)滑動(dòng)—臨界—純滾動(dòng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；(4)當(dāng)初始點(diǎn)(fs，α0)位于左區(qū)域與下區(qū)域的交界處(fs，αmax)時(shí)，隨著擺角α的減小，點(diǎn)(fs，α)將通過臨界曲線—下區(qū)域，即不倒翁將出現(xiàn)臨界—純滾動(dòng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；(5)若要其始終純滾動(dòng)，則初始點(diǎn)(fs，α0)須在右區(qū)域或下區(qū)域內(nèi).

在圖2所示fs—αmax曲線的右區(qū)域取點(diǎn)(0.25,π)、(0.25,π/2)，在下區(qū)域取點(diǎn)(0.23,1.0)，分別代入式(18)～式(22)計(jì)算，即在式(18)～式(22)中分別令α0=π、π/2、1.0，并考慮到上述設(shè)定參數(shù)，借助軟件如Maple等可得到圖3～圖7.

圖與α的關(guān)系

圖與α的關(guān)系

圖5 T與α0的關(guān)系

圖6 Ft與α的關(guān)系

圖7 Fn與α的關(guān)系

從圖5發(fā)現(xiàn)：當(dāng)α0介于0與0.12rad之間時(shí)，擺動(dòng)周期T與α0近似呈線性關(guān)系，且T≤1.01s；當(dāng)α0超過0.12rad時(shí)，T與α0呈非線性關(guān)系，且T>1.01s；當(dāng)α0趨近于π時(shí)，T趨近于無窮大.

3 結(jié)語

在分析過程中忽視了機(jī)械能損失；若支承為下凸圓形面，則R取負(fù)值即可.

[1] 曹春梅,張曉宏.不倒翁的力學(xué)分析[J].物理與工程, 2002，12(1):10-11.

[2] 哈爾濱工業(yè)大學(xué)理論力學(xué)教研室.理論力學(xué)(Ⅰ)[M].7版.北京:高等教育出版社，2009:271.

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DYNAMICS ANALYSIS OF DARUMA

Huang Kaizhi Chen Xiaoliang Tian Zu’an Ding Jianping

(School of Mathematics and Physics, Chongqing University of Science and Technology, Chongqing 401331)

In order to provide reference for potential engineering application and design and calculation of kid toys similar dearuma,we setablished the dynamics equation of pure rolling of daruma on a circular surface,gave the limiting conditions of its pure rolling and seing back,and analyzed its atability.The calculation fromula of main dynamics paramerters was solved when it pure rolled at horizontal plane surface,With the help of software,we concretely anayzed the motion characteristics of one daruma as an example,and draw its main dynamic parameters vurves.Our results found that its angular velocity,angular accelerationand normal force Fnincreased along wigh the increase of initial angular α0, but tangential friction force Ftdiminished along with the increase of initial angular α0, Whenα0is larger than 0.12rad, swing cycleTandα0are in nonlinear relationship, andT>1.01s. Whenα0tends to π,Ttends to infinity.

theoretical mechanics; dynamics; daruma; critical curve

2015-01-13

重慶科技學(xué)院本科生教育教學(xué)改革研究項(xiàng)目(CK2011B25)和研究生教育教學(xué)改革研究一般項(xiàng)目(YJG2014y008)資助項(xiàng)目.

黃開志，男，教授級(jí)高工，主要從事力學(xué)教學(xué)及研究.mocd361@163.com

黃開志 ，陳小亮 ，田祖安，等. 不倒翁的動(dòng)力學(xué)分析[J]. 物理與工程，2016，26(5)：85-88.