走進高中新課程
——數(shù)形結(jié)合教學(xué)策略研究

?強少華

走進高中新課程
——數(shù)形結(jié)合教學(xué)策略研究

?強少華

推行素質(zhì)教育，培養(yǎng)面向新世紀的合格人才，使學(xué)生具有創(chuàng)新意識，在創(chuàng)造中學(xué)會學(xué)習(xí)，教育應(yīng)更多的關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)方法和策略。數(shù)學(xué)家喬治·波利亞曾說：“完善的思想方法猶如北極星，許多人通過它而找到正確的道路。”數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)知識，對解決問題具有指導(dǎo)作用，有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，完善學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)。而數(shù)形結(jié)合思想是眾多數(shù)學(xué)思想方法中最典型，也是最能體現(xiàn)數(shù)學(xué)美的一種方法。本文指出了數(shù)形結(jié)合思想的內(nèi)涵，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用以及作為教師應(yīng)該具備的教學(xué)策略。

數(shù)形結(jié)合；高中數(shù)學(xué)教學(xué)策略。

一、數(shù)形結(jié)合的思想內(nèi)涵

數(shù)學(xué)中兩個最基本也最古老的研究對象是“數(shù)”與“形”，它們在一定條件下可以互相轉(zhuǎn)化。以數(shù)學(xué)問題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系為依據(jù)，在分析其代數(shù)意義的同時揭示其幾何直觀的解決數(shù)學(xué)問題的方法。從而使數(shù)量間的空間形式的直觀形象與代數(shù)數(shù)據(jù)的精確和諧并巧妙的相結(jié)合。同時，充分利用這種結(jié)合尋找解題思路，化繁為簡，為難為易，從而解決數(shù)學(xué)中的相關(guān)問題。

簡而言之，數(shù)形結(jié)合就是指將直觀的幾何位置、圖形關(guān)系與抽象的數(shù)量關(guān)系、數(shù)學(xué)語言相結(jié)合，同時通過“以數(shù)解形”、“以形助數(shù)”的方式使抽象問題具體化，復(fù)雜問題簡單化，從而優(yōu)化解題方法。所以說，究其本質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是一個包含“以數(shù)輔形”、“以形助數(shù)”的數(shù)學(xué)思想方法。

1.從數(shù)到形，以形助數(shù)，借助形的幾何直觀性來闡明數(shù)之間的某種關(guān)系 例：設(shè)方程|3x-1|=k，試討論k取不同范圍的值時其不同解的個數(shù)的情況。

當(dāng)k<0時，直線y=k與函數(shù)y=|3x-1|圖象無交點

∴方程無解。

當(dāng)k=0或k≥1時，直線y=k與函數(shù) y=|3x-1|圖象有一個交點

∴方程有一解。

當(dāng)0

∴方程有兩解。

(A)λ<0 (B)λ=0 (C)0<λ<1 (D)λ≥1

3.數(shù)形結(jié)合，互相轉(zhuǎn)化，互相補充，將抽象的數(shù)學(xué)語言同直觀的圖形相結(jié)合解決問題 一般來說，在解決問題的陳述上，往往會用代數(shù)法，而在分析尋找思路時往往借助于幾何直觀。

分析與思考：函數(shù)結(jié)構(gòu)復(fù)雜，無法用常規(guī)方法求解，設(shè)法將其簡單化。由根式我們會聯(lián)想到距離，問題的關(guān)鍵是能否將兩個根式內(nèi)的被開方式化成平方和的形式。通過拆湊，發(fā)現(xiàn)可以，即：

二、數(shù)形結(jié)合思想在高中新課程中的教學(xué)策略

掌握數(shù)學(xué)“雙基”，培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)最重要的目的，而“培養(yǎng)思維品質(zhì)是發(fā)展智力與能力的突破口”，“學(xué)生數(shù)學(xué)能力的差異，通過數(shù)學(xué)思維的深刻性、靈活性、獨創(chuàng)性、批判性和敏捷性等思維品質(zhì)來體現(xiàn)”，“思維的深刻性是一切思維品質(zhì)的基礎(chǔ)”。數(shù)形結(jié)合有利于提高思維的深刻性。因此，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合不應(yīng)僅僅作為一種解題方法，而應(yīng)作為一種基本的、重要的數(shù)學(xué)思想，作為數(shù)學(xué)知識的精髓，作為將知識轉(zhuǎn)化為能力的“橋”來學(xué)習(xí)研究和掌握運用。教師要從“形”和“數(shù)”的結(jié)合上做好教材分析，揭示數(shù)學(xué)問題的實質(zhì)。

那么，具體作為教師，具體應(yīng)該怎么做呢？

1.運用數(shù)形結(jié)合進行函數(shù)教學(xué) 函數(shù)是體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合方法的良好載體，在工程技術(shù)和社會科學(xué)中，只要有可能，工程技術(shù)人員和社會科學(xué)研究人員不僅需要知道函數(shù)的解析式、圖表，更希望能畫出有關(guān)的函數(shù)圖像，從而幫助他們研究和決策，另外，在直角坐標系中，函數(shù)圖像把變量x和y聯(lián)系起來，直觀、形象地看到函數(shù)變化的特點、性質(zhì)和變化趨勢，這對于學(xué)生的理解和學(xué)習(xí)是十分有益的，無論是對于函數(shù)概念還是函數(shù)性質(zhì)的學(xué)習(xí)，數(shù)形結(jié)合方法為函數(shù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)提供了有力的工具。

所以在教學(xué)中教師應(yīng)該把握好以下幾點：

(1)對函數(shù)的學(xué)習(xí)一定不能停留在抽象的、形式化的描述上，應(yīng)該幫助學(xué)生建立起幾個重要的具體的實際模型，并連同它們的圖像留在腦海里。比如分段函數(shù)，幾個具體的冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等。結(jié)合這些基本的初等函數(shù)，不斷加深對于函數(shù)的定義、性質(zhì)，以及函數(shù)研究方法的理解。

(2) 函數(shù)的教學(xué)一定要突出函數(shù)圖像的地位，通過函數(shù)圖像，直觀地、形象地、整體地認識和理解函數(shù)概念和性質(zhì)。無論是用解析式、圖表法還是圖像法去刻畫一個具體的函數(shù)時，都要幫助學(xué)生在腦子里留下函數(shù)的圖像。

(3)在教學(xué)中，教師要有意識地在教學(xué)設(shè)計中，使學(xué)生在獲得數(shù)學(xué)知識的同時，感受到數(shù)形結(jié)合在整個學(xué)習(xí)過程中的力量和作用，以教科書為載體，設(shè)計成不同的臺階，提出不同層次的要求，有意識的進行培養(yǎng)，幫助學(xué)生逐漸掌握數(shù)形結(jié)合這一重要方法。下面舉例說明：

在數(shù)學(xué)1中，對于函數(shù)的概念和性質(zhì)，除正面講清用數(shù)量關(guān)系給出的定義外，還要借助圖形直觀揭示形的一面，用不同的語言(數(shù)的語言，形的語言)、從不同的角度、以不同的形式來認識函數(shù)問題的本質(zhì)。函數(shù)概念一開始就介紹集合——可用Veen圖表示集合間的關(guān)系；定義域、值域概念及其表示——通過不等式(組)的解，引用區(qū)間、線段，用數(shù)軸描寫實數(shù)集，用數(shù)軸的全體或部分來表示定義域值域，也是幾何形象；函數(shù)關(guān)系與圖像——用平面點集來描寫、揭示函數(shù)關(guān)系，而且用這個平面點集組成的曲線來描寫函數(shù)的性質(zhì)：奇偶性——關(guān)于點或坐標軸的對稱性，單調(diào)性——圖像的走勢、升降，最大值——最高點，最小值——最低點，周期性——圖像能否有規(guī)律的重復(fù)出現(xiàn)或疊合；互為反函數(shù)的圖像——關(guān)于直線y=x對稱的圖像，等等。在數(shù)學(xué)4《三角函數(shù)》這一章，教師要特別強調(diào)單位圓的直觀作用，借助單位圓直觀地認識任意角、任意角的三角函數(shù)，理解三角函數(shù)的周期性、誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)關(guān)系式，以及三角函數(shù)的圖像，借助三角函數(shù)的圖像理解三角函數(shù)在一個周期上的單調(diào)性、最大和最小值、圖像與x軸的交點等性質(zhì)。

2.運用數(shù)形結(jié)合進行平面向量教學(xué) 向量作為一種帶有方向的線段，集“數(shù)”與“形”于一身，即向量可以類似數(shù)那樣進行運算，其本身又是一個圖形。所以向量是體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合方法的良好載體。在這一章中，教師要在教學(xué)中強調(diào)向量概念的幾何背景，強調(diào)理解向量運算(加、減、數(shù)乘、數(shù)量積)及其性質(zhì)的幾何意義。具體來說應(yīng)把握好以下幾點：(1)注重物理背景和物理應(yīng)用；(2)一有機會就要聯(lián)系，充分起到溝通的橋梁作用和數(shù)形結(jié)合的典范作用；(3)在向量運算的教學(xué)中，特別要重視向量的數(shù)乘運算和數(shù)量積運算；(4)關(guān)注向量在物理、數(shù)學(xué)、現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)中的應(yīng)用。

3.運用數(shù)形結(jié)合進行解析幾何教學(xué) 我們知道，解析幾何的本質(zhì)是用代數(shù)方法研究圖形的幾何性質(zhì)，它溝通了代數(shù)和幾何之間的聯(lián)系，是數(shù)與形結(jié)合的典范。高中數(shù)學(xué)新課程強調(diào)幫助學(xué)生經(jīng)歷將幾何問題代數(shù)化、解決幾何問題的過程，使學(xué)生在學(xué)習(xí)知識的同時，不斷地體會數(shù)形結(jié)合的思想方法：用代數(shù)語言描述幾何要素及其關(guān)系，進而將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題——處理代數(shù)問題——分析代數(shù)結(jié)果的幾何意義，最終解決幾何問題。

因此，教師在教學(xué)中，要把握以下幾點：

(1)強調(diào)解析法的靈魂是數(shù)形結(jié)合。要在結(jié)合上下功夫，既要強調(diào)確定直線和圓的幾何要素如何用代數(shù)表示，又要強調(diào)認識代數(shù)運算過程中代數(shù)關(guān)系的幾何意義，能畫圖的一定要畫圖，使學(xué)生在頭腦中有圖形的直觀形象，培養(yǎng)學(xué)生的畫圖意識，養(yǎng)成畫圖的習(xí)慣。

(2)突出解析法解決幾何問題的程序性和普適性。把握好解析法解決幾何問題的“三步曲”。

(3)加強知識之間的聯(lián)系性。要認識到平面直角坐標系是溝通平面幾何、函數(shù)與解析幾何的橋梁，并適時的進行一定的聯(lián)系。

[1] 錢珮玲，數(shù)學(xué)思想方法與中學(xué)教學(xué)， 北京師范大學(xué)出版社，2008年

[2] 葉立軍，數(shù)學(xué)方法論，浙江大學(xué)出版社，2008年

[3] 王，倩，感悟數(shù)形結(jié)合思想。學(xué)苑教育，2011年第二期

[4] 袁桂珍，關(guān)于數(shù)形結(jié)合的若干基本觀點， 廣西師范大學(xué)學(xué)報，1998年第3期

[5] 錢海梅，數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透， 理論創(chuàng)新

[6] 王彬彬，例談數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用，考試·高考數(shù)學(xué)

[7]游宇，數(shù)學(xué)思想在高中數(shù)學(xué)解題過程中的應(yīng)用，新課程研究，2010年5月第187期

新疆實驗中學(xué) 830049)