談化歸與轉(zhuǎn)化思想在解析幾何中的應用

?余豐

談化歸與轉(zhuǎn)化思想在解析幾何中的應用

?余豐

轉(zhuǎn)化思想與化歸思想解答問題的重要思想方法，尤其在求解解析幾何問題中。一般來說，數(shù)學教學中各種問題都會涉及到轉(zhuǎn)化思想以及化歸思想。例如，數(shù)形結(jié)合反映出數(shù)與形之間的相互轉(zhuǎn)化;函數(shù)與方程則反映出函數(shù)、不等式以及方程之間的相互轉(zhuǎn)化;分類討論則反映出局部以及整體之間的相互轉(zhuǎn)化。由此可見，轉(zhuǎn)化思想以及化歸思想是數(shù)學解題中常用的手段。因此，本文將轉(zhuǎn)化思想以及化歸思想作為立足點，根據(jù)數(shù)學實例來探討轉(zhuǎn)化思想以及化歸思想在數(shù)學解析幾何中的實際應用，旨在為數(shù)學學習提供參考。

轉(zhuǎn)化思想；化歸思想；解析幾何

數(shù)學在高中各科中屬于較難的課程，而解析幾何則是高中諸多數(shù)學知識中難度較大的內(nèi)容。如何真正理解解析幾何知識，并熟練掌握解析幾何的解題方法，是每個高中學生必須面對的重要問題。根據(jù)老師的指導和本人的解題實踐發(fā)現(xiàn)，靈活運用轉(zhuǎn)化與化歸思想分析解析幾何問題，往往能使問題簡明而直觀，從而提高解題的速度和準確率。

一、轉(zhuǎn)化思想以及化歸思想的基本概念

轉(zhuǎn)化思想以及化歸思想其實質(zhì)就是不斷地觀察、分類以及聯(lián)想且運用正確的數(shù)學方法進行有效變換，使某一題目的原問題轉(zhuǎn)化為新問題，再通過對新問題進行有效求解來達到解答原問題的一種數(shù)學思想方法在解析幾何的解題過程中，如果學生能夠有效運用轉(zhuǎn)化思想以及化歸思想，便能事半功倍地完成解答。

二、轉(zhuǎn)化思想以及化歸思想在解析幾何當中的實際應用

1.動點以及定點之間的相互轉(zhuǎn)化 一般來講，動點以及定點的存在都是相對而言。對于同一個解題對象，根據(jù)實際要求可靈活變換其動點以及定點。例如，在解答多個動點的題目時，可依照題意將多個動點中的某一動點視為定點，然后根據(jù)相關結(jié)論或規(guī)律，尋找動點與定點之間的相互聯(lián)系解答問題。

例 已知點P是直線y=x上的任一動點，點M是圓O1:x2+(y-1)2=0.25上的任一個動點，點N是圓O2:(x-2)2+y2=0.25上的任一個動點，求|PN|-|PM|的最大值。

本題是一道典型的解析幾何動點求最值問題，題中涉及三個動點之間的距離，學生解題有較大的難度。所以可以考慮運用數(shù)學轉(zhuǎn)化及化歸思想來進行解答。分析題目的圖形，我們可借助幾何性質(zhì)將使本題中動點之間的距離轉(zhuǎn)化為定點之間的距離來求解。為了降低難度，可以任取一個點P，先將其視為一個定點，當點N為PO2延長線與圓O2的交點時，|PN|取到最大值；當M取PO1和圓O1的交點時，PM就能夠取得最小值。再讓點P動起來，從而求|PN|-|PM|的最大值，就轉(zhuǎn)化為求|PO2|-|PO1|+2的最大值。經(jīng)過這樣的轉(zhuǎn)化，三個動點之間的距離轉(zhuǎn)化為動點P到兩個定點O1和O2的距離問題，接下來根據(jù)圖形對稱性不難得出所求最值。

2.數(shù)與形之間的相互轉(zhuǎn)化 眾所周知，解析幾何的根本核心就是通過代數(shù)方法來完成幾何問題的解答，其基本理念就是數(shù)形結(jié)合，以數(shù)代形的方式使得幾何條件能夠代數(shù)化，再將代數(shù)運算過程進行幾何化，進而優(yōu)化幾何題目的解題過程。

①若點B坐標為(0,-0.25)，滿足|BE|=|BF|，求直線l的斜率；

②若A是橢圓的右頂點，并且∠EAF的角平分線為x軸，試求直線l的斜率。

本題的求解，首先應抓住幾何條件的基本特征進行考慮，再通過有效的代數(shù)形式進行表示。題①，可由|BE|=|BF|結(jié)合等腰三角形三線合一等條件，化為等腰三角形底邊上的中線與底邊垂直，得到BE與BF的斜率乘積為-1從而求解；題②，可抓住∠EAF的角平分線是x軸，從而由AE與AF關于x軸對稱，進而轉(zhuǎn)化為直線AE和AF斜率之和為0，以下再進一步轉(zhuǎn)化為方程求解即可。

3.定點定值以及恒等式之間的轉(zhuǎn)化 在解答二次曲線問題中，將定點定值靈活轉(zhuǎn)化為恒等式，可有效解答出實際值。

①求圓C的方程；

轉(zhuǎn)化思想以及化歸思想是一種通過有效方法使復雜的原問題轉(zhuǎn)化為簡單的新問題

，再通過對新問題進行有效求解來達到解答原問題目的的一種解題思想。數(shù)形結(jié)合反映出數(shù)與形之間的相互轉(zhuǎn)化，函數(shù)與方程則反映出函數(shù)、不等式以及數(shù)學方程之間的相互轉(zhuǎn)化，分類討論則反映出局部以及整體之間的相互轉(zhuǎn)化。因此，若能有效運用轉(zhuǎn)化思想以及化歸思想，就能更好地解答解析幾何問題。

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浙江省臺州中學 317000)