分形理論及其在票據(jù)防偽中的應(yīng)用

雷宇+李偉+宮鴻敏+王雅娣+邊輯

隨著市場經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展，印刷企業(yè)對產(chǎn)品的防偽技術(shù)和附加值要求越來越高。票據(jù)防偽技術(shù)一直是票據(jù)印刷行業(yè)研究的熱點，我公司經(jīng)研發(fā)將分形圖應(yīng)用于票據(jù)防偽中，取得了很好的應(yīng)用效果。

分形理論

分形，原意具有“不規(guī)則、分散、支離破碎”等意義，用于刻畫傳統(tǒng)的歐式幾何無法描述的不規(guī)則幾何形態(tài)，如河川、海岸線、山形、巖石、森林等。曼德勃羅在20世紀(jì)70年代創(chuàng)立了分形幾何，分形幾何以非規(guī)則幾何形態(tài)為研究對象，對自然界出現(xiàn)的一些看似不規(guī)則的幾何體進(jìn)行了數(shù)學(xué)描述，因此分形幾何又稱為描述大自然的幾何學(xué)。

分形圖是通過對其自身進(jìn)行成比例的縮小復(fù)制而構(gòu)成的，局部與整體自相似。此外，分形對象還具有標(biāo)度不變性，即無論放大還是縮小多少倍，其形狀、復(fù)雜程度以及不規(guī)則性等特性都不會發(fā)生變化。所以自相似性和標(biāo)度不變性是分形圖的最重要特征。

所謂自相似性，是指系統(tǒng)整體和局部之間、局部與局部之間具有的某種程度的相似性，將局部放大后與原圖是相似的，只不過存在一些比例上的放大、縮小或圖形旋轉(zhuǎn)、平移等變化，也就是說，局部是整體的一個小復(fù)制品。當(dāng)然，這種自相似性不一定是嚴(yán)格的，也可能是近似的。標(biāo)度不變性也叫無限細(xì)分性，是指分形圖具有任意尺度下的比例細(xì)節(jié)，或者說有無限精細(xì)架構(gòu)，如果對分形圖的某一區(qū)域進(jìn)行不斷放大的話，可以發(fā)現(xiàn)里面的結(jié)構(gòu)越來越清晰，而且具有跟整體相似的特征。

分形圖有如下特點：①具有精細(xì)的機構(gòu)，即在任意小的尺度下，它都可以有更小的細(xì)節(jié)；②不規(guī)則，即無論從局部還是整體看，它都無法用微積分或者傳統(tǒng)的幾何語言來描述；③本身結(jié)構(gòu)通常在大小尺度上有著某種自相似的特性；④分形維數(shù)大于它的拓?fù)湮粩?shù)；⑤在許多情況下可以由迭代方法產(chǎn)生；⑥通常具有自然的外貌。

基于MATLAB的分形系統(tǒng)的生成

目前常見的分形圖都是由計算機程序生成的，由于生成方法不同，不同的分形圖在圖案、形狀等方面還存在較大的差異。本系統(tǒng)是基于MATLAB環(huán)境語言開發(fā)的分形圖生成系統(tǒng)。根據(jù)分形圖對參數(shù)的敏感性，通過控制其參數(shù)變化，按照分形圖規(guī)則算法的分類來生成分形圖。

1.L-系統(tǒng)

L-系統(tǒng)的分形圖方法是一套用以描述植物樹木的方法，開始時只是著重于植物的拓?fù)渚S數(shù)，后來才把幾何解釋加進(jìn)描述過程。該系統(tǒng)的高度簡潔性和多級結(jié)構(gòu)，為描述自然景物的生長和繁殖過程的形態(tài)和結(jié)構(gòu)特征，提供了有效的理論基礎(chǔ)。

L-系統(tǒng)是基于符號的重寫系統(tǒng)，字符串替換是其核心思想，其通過不同的改寫規(guī)則產(chǎn)生一系列字符串來生成各種分形圖。圖形的邊界放大，出現(xiàn)更精細(xì)的結(jié)構(gòu)，這些結(jié)構(gòu)與原來的圖形相似。整個“邊界”可以從其自身任意取定的“小片”生成，這種局部暗含整體的性質(zhì)便是自相似性。這里的邊界并非通常想象中的涇渭分明的曲線，而是極其復(fù)雜的結(jié)構(gòu)。這些無限嵌套的精細(xì)內(nèi)容，用簡單的邏輯思考是難以預(yù)料的，而計算機的分形系統(tǒng)可以生成。圖1為筆者使用MATLAB設(shè)計的L-系統(tǒng)，圖2為該系統(tǒng)生成的L-系統(tǒng)生成的分形圖。

2.IFS分形系統(tǒng)

基于IFS迭代函數(shù)系統(tǒng)的分形圖是分形圖中最具生命力和廣闊應(yīng)用前景的，也被稱作仿射變換集。IFS的基本思想是分形具有局部與整體的自相似性，也就是說局部是整體的一個小復(fù)制品，只是在大小、位置和方向上有所不同，數(shù)學(xué)中的放射變化是一種線性變化，正好具有把圖像放大、縮小、旋轉(zhuǎn)和平移的性質(zhì)。因此，產(chǎn)生一個復(fù)制品的過程就相當(dāng)于對圖形做一次壓縮仿射變化。從原則上說，任何圖形都可以用一組仿射變換來描述或生成。

IFS分形系統(tǒng)結(jié)合了計算機分形圖形技術(shù)，可以通過定義組成圖像的最小單元，設(shè)計仿射規(guī)則變化，形成相應(yīng)的圖形。由于分形圖像的維數(shù)集是分?jǐn)?shù)形式的，因此任何細(xì)小的維數(shù)差別，甚至是千分之一的差別，最終構(gòu)造的圖形圖像都將大相徑庭。另外，控制圖形圖像生成的可變因素很多，在編制的專用電腦程序上輸入有關(guān)的數(shù)據(jù)，通過某種算法就可產(chǎn)生千變?nèi)f化的圖形圖像效果。

圖3為筆者使用MATLAB設(shè)計的IFS分形系統(tǒng)，圖4為該系統(tǒng)生成的分形圖。

分形圖在票據(jù)防偽中的應(yīng)用

一般的自然圖像采集、存儲、傳輸和管理比較繁瑣，實時性差，最主要的是安全性沒有保障。此次開發(fā)的系統(tǒng)是基于分形的隱藏圖形，其依賴于算法生成實現(xiàn)，參數(shù)可調(diào)整，圖形復(fù)雜多樣，大大提高了圖形的安全性，即使參數(shù)稍微有所變化，由于分形圖對參數(shù)的敏感也會立刻被察覺。分形理論在票據(jù)防偽中的應(yīng)用形式主要有以下兩種。

1.將分形圖像直接設(shè)計成票據(jù)圖案

票據(jù)上一般應(yīng)用的圖案比較簡單，將分形圖像直接作為主體圖案，相同或相類似的分形圖案由于分形圖無窮精細(xì)的細(xì)節(jié)特性，不能通過照相、復(fù)印或電腦掃描等手段來得到與原稿一模一樣的圖像。

2.將分形圖用作隱藏圖像

現(xiàn)在票據(jù)中應(yīng)用的防偽技術(shù)手段比較多，其中信息隱藏也是常用的技術(shù)手段。例如，以前票據(jù)中隱藏較為簡單的數(shù)字水印圖像。本課題開發(fā)的防偽圖像可以作為隱藏信息，增加了造假者的難度，提高了防偽技術(shù)水平。圖5為筆者將分形圖像應(yīng)用于票據(jù)防偽中的案例。分形圖像用作隱藏圖像時，針對給定的分形圖，分析圖像的特點，確定加載位置，采用網(wǎng)點位置變換的信息嵌入算法，將圖片隱藏到印刷品中；提取隱藏圖像時，只需將參數(shù)匹配的顯隱工具疊放于印刷品上方，旋轉(zhuǎn)至正確的角度，隱藏的分形圖像即可清晰顯現(xiàn)。

票據(jù)作為有價證券的一種，本身圖案簡單，防偽技術(shù)要求很高，根據(jù)分形圖像的特點可以將其應(yīng)用于票據(jù)的防偽印刷中，取得較好的防偽效果。