實驗室水槽內(nèi)基于二階理論的波浪模擬

田曉煥，柳淑學(xué)，李金宣，陽志文

（1.大連理工大學(xué)海岸與近海工程國家重點實驗室，大連116024；2.交通運輸部天津水運工程科學(xué)研究所，天津300456）

實驗室水槽內(nèi)基于二階理論的波浪模擬

田曉煥1，柳淑學(xué)1，李金宣1，陽志文2

（1.大連理工大學(xué)海岸與近海工程國家重點實驗室，大連116024；2.交通運輸部天津水運工程科學(xué)研究所，天津300456）

實驗室常用的一階造波理論中的小振幅假設(shè)會在造波時生成附加的自由偽諧波，該波浪會影響造波的質(zhì)量，而二階造波方法可以通過附加造波板運動消除該自由偽諧波。文章基于Sch?ffer建立的二階造波理論，建立了實驗室水槽造波軟件，針對規(guī)則波和不規(guī)則波，分別采用一階和二階理論進行推板造波實驗，驗證了二階造波方法的有效性，二階造波方法可有效抑制自由偽諧波，得到更精確的波形，并對采用二階造波理論產(chǎn)生波浪時的問題進行了討論。

二階造波；約束諧波；自由諧波

對波浪相關(guān)問題的研究方法中，物理模擬方法以其能夠真實、直觀反映波浪特性的優(yōu)點成為學(xué)者長久以來研究的重要手段［1］，其中，如何精確地生成波浪是關(guān)鍵的問題。目前實驗室內(nèi)最常用的造波理論是線性波浪理論，其最基本的假定是造波板做小振幅簡諧運動。然而，實際的造波板運動幅值是有限的，這導(dǎo)致產(chǎn)生的波浪傳播中出現(xiàn)了額外的、不期望的波浪非線性。在實驗室中能夠精確模擬波浪的這種非線性，對于需要產(chǎn)生對應(yīng)于高階精確波浪理論的波形，驗證新的解析理論或者建立理論和更復(fù)雜自然現(xiàn)象的對應(yīng)關(guān)系非常重要，因此需要進行二階造波來修正。

二階造波理論的發(fā)展可追溯到Stokes以波陡作小參量對規(guī)則波作攝動展開，發(fā)現(xiàn)了和頻項。Fontanet［2］及Hudspeth和Sulisz［3］推導(dǎo)了規(guī)則波的二階波理論；Moubayed和Williams［4］推廣到雙色波的造波板運動。不規(guī)則波相關(guān)研究中，Longuet?Higgins和Stewart［5-6］的推導(dǎo)包括了全部和頻作用和窄頻帶限制下的差頻作用；忽略一階解中的衰減模態(tài)并做窄頻帶假設(shè)，F(xiàn)lick和Guza［7］給出一階雙色造波控制信號生成偽長波的近似理論；無窄頻帶假設(shè)下，Sand［8］計算了推板造波的二階差頻信號。Sand和Mansard［9-10］推導(dǎo)了對推板式和搖板式均適用的超諧波造波理論。Suh和Dalrymple［11］建立了用一階造波控制信號產(chǎn)生二階偽超諧和次諧波的部分理論?；谝陨侠碚摶A(chǔ)，Sch?ffer［12］推導(dǎo)出了目前較完整而有效的二階造波理論，表達式簡明緊湊，不假設(shè)窄頻帶，考慮了和頻和差頻作用，兼顧波浪的傳播和衰減模態(tài)，同時適用于推板式、搖板式造波機。Sch?ffer［12］方法最主要的成果是以二階傳遞函數(shù)的形式將一階波浪和二階造波板運動控制信號聯(lián)系起來，獲得精確到二階的空間均勻波浪場所需的造波板運動，本文基于Sch?ffer［12］方法，建立了水槽的二階造波軟件，驗證了二階造波理論的有效性，并對采用二階造波時的相關(guān)問題進行了分析和討論。

1 二階造波理論簡介［12］

假設(shè)流體為無旋、無粘性、均勻和不可壓縮的理想流體，則速度勢滿足經(jīng)典波浪理論的控制方程，即滿足Laplace方程、水底邊界條件、運動學(xué)和動力學(xué)自由表面條件以及造波板邊界條件等。圖1為造波機產(chǎn)生波浪的坐標(biāo)定義。圖1中h、t、l分別為水深、時間和鉸接中心到底部距離。

造波板的位置X=X(z,t)表示為

圖1 坐標(biāo)系定義圖Fig.1Definition sketch of coordinate system

式中：X0(t)為造波機靜水面處的位移；f(z)為造波機形狀函數(shù)，表示為

式中：z=-（h+l）給出旋轉(zhuǎn)中心；d為鉸接中心高于底部的距離，即當(dāng)鉸高于底部時，d=-l＞0，鉸低于或位于底部時，l≥0, d=0。這保證了在造波機類型不同時只需考慮連續(xù)的形狀函數(shù)f(z)。對于推板式造波機，l=∞, d=0。

假定?=?(x,z,t)、η=η(x,t)為速度勢和波面，以波陡ε作攝動展開，對控制方程進行求解。上角標(biāo)（1）、（2）分別代表一階、二階成分。求解一階問題時，假設(shè)構(gòu)成一階譜的每個波浪成分的造波板位置表示為

式中：Xa為靜水位處一階造波板的復(fù)幅值；c.c.為前項的共軛復(fù)數(shù)；ω為圓頻率；則可得一階傳遞函數(shù)cj

式中：k為波數(shù)；下角標(biāo)0代表波傳播模態(tài)，j=1,2,...代表衰減模態(tài)；k0和kj(j=1,2,...)分別為色散方程ω2=gktanhkh的一個實數(shù)解和無窮個純虛數(shù)解。

求解二階問題時，將二階速度勢分為三部分，即

每一部分代表的邊界值問題仍滿足控制方程的一般形式。其中，?(21)表示一階波浪成分相互作用產(chǎn)生的約束波；?(22)表示由于造波板離開平均位置以及?(21)在造波機處不匹配邊界條件產(chǎn)生的自由波；?(23)表示由二階造波板運動產(chǎn)生的自由波。若造波板信號只是基于一階理論，該問題的解是?(2)=?(21)+?(22)，?(22)產(chǎn)生的偽諧波不能消除。Sch?ffer［12］二階理論就是確定對應(yīng)的造波機運動的二階分量X(2)0(t)，產(chǎn)生二階波面用于消除偽諧波即或

兩個不同頻率波的相互作用構(gòu)成二階譜的基礎(chǔ)，相互作用項以超諧波（和頻）和次諧波（差頻）形式出現(xiàn)。假定二階造波板位移為

?±表示二階傳遞函數(shù)，是該理論最重要的成果，表達式為

式中:A為波浪振幅；n和m代表不同的波成分；j和l是對應(yīng)于頻率ωn和ωm的累加項角標(biāo)；“+”和“-”分別代表和頻、差頻是方程的解；-:?代表對復(fù)數(shù)，和頻項不變，差頻項取共軛；lmjn表示對前項交換j和l、n和m；其他表達式參見Sch?ffer［12］。

2 應(yīng)用范圍分析

二階Stokes波理論在淺水中失效，它對應(yīng)的極限條件是超諧波幅值為波高的1/4。對于規(guī)則波，Sch?ffer［12］的二階理論中引進了非線性參數(shù)S，表示為S=2H||G+，極限情況對應(yīng)S=1。對于不規(guī)則波，將H作為特征波高，S仍可衡量非線性大小，即對應(yīng)頻率為(fp,fp)。

針對規(guī)則波，在滿足S≤1條件下，為了直觀了解造波產(chǎn)生的無因次約束超諧波波高（Hb/H）和無因次自由超諧波波高（Hf/H）的大小，圖2給出了Hb/H、Hf/H隨H/L和kh的變化?？梢钥闯觯琸h一定時，隨H/L增大，Hb/H和Hf/H呈線性增大；Hb/H隨kh增大，先快速減小，在kh=4.5之后趨于常值，且H/L越大，趨于的常值越大；而Hf/H隨kh增大，先快速減小，后緩慢增大，在kh=2.3附近取得最小值，且H/L越大，這個最小值也越大；此外，當(dāng)H/L與kh相同時，Hb/H總是大于Hf/H。

圖2 Hb/H、Hf/H隨H/L、kh的變化Fig.2Hb/H and Hf/H vs H/L and kh

3 實驗結(jié)果

3.1實驗布置及波浪參數(shù)

實驗在大連理工大學(xué)海岸和近海工程國家重點實驗室大波流水槽進行，該水槽長69 m，寬2 m，深1.8 m，一端配有推板式造波機，另一端有斜坡式消浪裝置。實驗布置如圖3，實驗水深為0.7 m。為研究傳播過程中波形的變化，沿程布置一系列浪高儀，浪高儀距造波板依次為5.5 m、11.5 m、19 m、26 m、33 m。

圖3 實驗布置圖Fig.3Experimental arrangement

表1和表2為規(guī)則波浪、不規(guī)則波浪實驗參數(shù)及觀測波浪統(tǒng)計結(jié)果，分別以“R”和“IR”作為標(biāo)識，每個組次都進行一階和二階造波實驗。表1中除周期T、波高H之外，還給出表征波浪特性的其他參量，相對水深h/L表明實驗組次包含了有限水深波和深水波，參數(shù)S表征非線性大小，并給出對應(yīng)每個組次理論計算的復(fù)傳遞函數(shù)。表2中給出了譜峰頻率fp、有效波高Hs、無因次水深kph和非線性參數(shù)S+。

表1 規(guī)則波實驗組次及觀測波浪統(tǒng)計結(jié)果（h=0.7 m）Tab.1Regular wave parameters and statistical results（h=0.7 m）

表2 不規(guī)則波實驗組次（h=0.7 m）Tab.2Irregular wave parameters（h=0.7 m）

圖4 一階造波和二階造波理論產(chǎn)生的沿程波形疊加圖Fig.4Superimposed figures of time series of elevation measured at different position in the flume using first?order and second?order control signal

3.2規(guī)則波實驗結(jié)果分析

前述表1中同時列出了采用一階和二階造波理論產(chǎn)生波浪各測點實測波浪的平均波高，可以看出，多數(shù)情況下實測波高比理論波高略小，可能是因為未考慮造波系統(tǒng)除水力傳遞函數(shù)外的其他傳遞函數(shù)及能量損失等因素。

圖4為對應(yīng)R1組次水槽中分別采用一階造波理論和二階造波理論時沿程4個浪高儀處實測的波形經(jīng)相位調(diào)整后的疊加圖?？梢钥闯?，采用一階造波理論時，波浪在傳播過程中，波形發(fā)生了較大變化，而采用二階造波理論時，波形更加穩(wěn)定，這是因為一階造波除了自然產(chǎn)生的約束超諧波，還會產(chǎn)生自由超諧波，兩個波傳播速度不同，互相干擾，致使波形在傳播過程中發(fā)生變化，而二階造波會一定程度地修正這個問題。理論上二階造波得到的波形沿程應(yīng)一致，實驗中得到的波形沿程仍具有一定的差別，可能是由于水槽末端消能器對于長波有一定的反射以及沿程能量損耗等原因引起。

為了進一步分析二階造波理論的有效性，對于各測點實測波浪進行了諧波分析，圖5為分析一階和二階造波生成的波浪所得超諧波波高和理論值的比較。從圖5中可以看出，一階造波實測波浪的超諧波波高值基本都分布于兩條理論計算曲線之間，二階造波實測的超諧波波高值基本都分布于兩條理論計算直線之間，說明二階造波比一階造波實測的超諧波波高更接近常量，所以二階造波能給出更為穩(wěn)定的波形。此外，對照圖2的分析結(jié)果，Hf/H隨kh增大，在kh=2.3附近取得最小值，之后緩慢增大，故實驗波浪R6（kh=2.02）中自由超諧波成分較小，一階和二階造波實驗結(jié)果相近。

注：曲線和直線為對應(yīng)于表1中理論波高和實測值均值的一階理論和二階理論計算結(jié)果，圖中x為距造波板距離。圖5 一、二階造波生成波浪中分離超諧波波高的與理論值的比較Fig.5Comparison of wave heights of isolated superharmonic in first?order and second?order wave generation and theoretical value

圖6給出了一階造波和二階造波生成波浪與理論計算波浪的無因次頻譜比較。為便于觀察，圖6中縱坐標(biāo)采用對數(shù)坐標(biāo)，EH代表平均波高?？梢钥闯?，從基頻到二倍頻，二階造波生成波譜與理論波譜基本一致，而一階造波生成波譜與理論波譜相差較大，故從能量分布角度，二階造波亦更優(yōu)。

圖6 實測波浪頻譜與理論計算波浪頻譜的比較Fig.6Comparison of the measured wave spectra and the theoretical spectra

圖7 造波板位移時間序列Fig.7Time series of wave board displacement

3.3不規(guī)則波實驗結(jié)果分析

作為示例，圖7給出了IR1組次實驗波浪的造波板位移時間序列，圖中X、X（1）、X（2）+及X（2）-分別代表造波板總位移、位移一階成分、位移二階和頻及差頻成分?？梢钥闯?，相比于一階成分，二階和頻成分量級非常小，但二階差頻成分量級較大，使得在很多時刻總位移X明顯增大。所以，實現(xiàn)偽長波的修正要增加造波板沖程，這減小了特定設(shè)備能夠生成的最大有效波高范圍，是二階造波應(yīng)用的一個限制，針對這種情況，考慮到深水波需要對偽長波的修正較少，可在相對深的水中生成波浪，然后讓其在水槽中變淺獲得需要的波浪，來減少附加的造波板沖程。

由圖7的位移計算可知，對于不規(guī)則波，二階造波對于差頻部分的修正尤為重要。為了更清晰地說明二階造波對于差頻部分的修正效果，圖8給出一階造波、二階造波實測波列及理論計算波列以0.5倍峰頻進行低通濾波所得低頻長波的比較?？梢钥闯?，二階造波結(jié)果與理論結(jié)果更接近，但兩者并非完全吻合，可能是由不可避免的消能器對長波的反射等原因?qū)е?。?dāng)用一階造波時，實測波列與理論波列也具有相似性，這是因為無論是一階還是二階造波，都會生成相同的約束長波，兩種方法的差異只在于一階造波生成了額外的自由偽諧波。

圖8 實驗波列與理論波列低通濾波后無因次波高比較Fig.8Sample comparison of dimensional wave height of low?pass filtered measured and theoretical surface elevation

除了低頻長波的比較，考慮到不規(guī)則波的群性特征，圖9將實測波列及其濾波后的低頻長波進行實時比較，可以看出二階造波時會出現(xiàn)更明顯、較準(zhǔn)確的set?down長波隨波高的周期性而變化的群性，波高較大處下沉較大，波高較小處下沉較小。

圖9 實測波列與其低通濾波后波列比較Fig.9Sample comparison of measured and low?pass filtered surface elevation

圖10為一階造波和二階造波，生成波浪與理論計算波浪的無因次頻譜比較。圖10中，左側(cè)圖是實測波列和理論波列的頻譜比較，為便于觀察，縱坐標(biāo)取對數(shù)坐標(biāo)；右側(cè)圖是實測波列和理論波列低通濾波后波列的頻譜比較；因重點關(guān)注低頻部分，圖中省略了高頻部分的頻譜?？梢钥闯觯玫搅伺c規(guī)則波頻譜分析相似的結(jié)論，盡管三者頻譜峰值分布相似，但二階造波結(jié)果與理論結(jié)果更接近，這也從能量分布角度再一次證明了二階方法的優(yōu)越性。

圖10 實測波浪頻譜與理論計算波浪頻譜的比較Fig.10Comparison of the measured wave spectra and the theoretical spectra

4 結(jié)論與討論

本文基于Sch?ffer［12］方法，建立了水槽的二階造波軟件，采用規(guī)則波和不規(guī)則波，基于水槽波浪試驗，驗證了二階造波理論的有效性，二階造波方法在波浪推板造波實驗中，可有效抑制自由偽諧波，得到更接近于理論的波形，并且可用于在一階造波時預(yù)測自由偽諧波成分的大小。另外，針對規(guī)則波，約束超諧波和自由超諧波無因次波高隨波陡和無因次水深變化的理論分析，可以為造波實驗的參數(shù)選取提供參考。

需要說明的是，雖然采用二階造波方法可以有效地抑制自由偽諧波的產(chǎn)生，但是在接近陡坡時，約束長波易發(fā)生反射及二次反射，此時它已不再是約束長波，而是以自由長波形式存在，會使實驗受到干擾，實驗波浪與理論結(jié)果仍會產(chǎn)生一定的差別，因此在實際應(yīng)用時應(yīng)注意水槽內(nèi)消能器對于長波的反射問題；實驗中有些來源于造波機自身系統(tǒng)的誤差難以避免，如造波機低頻運動時，造波板與水槽壁之間的縫隙可能會造成側(cè)漏，高頻運動時，造波板可能難以及時響應(yīng)，且在本實驗中，只考慮了水力傳遞函數(shù)而忽略了造波機械系統(tǒng)以及控制系統(tǒng)傳遞函數(shù)，也產(chǎn)生了一定的誤差，這些誤差可以采用實時修正的方法來避免；對于特定寬度的水槽，受造波板前橫向波浪的干擾，特定周期波浪會引起水槽橫向水體的共振，進而會增加偽諧波發(fā)展的可能，應(yīng)用時應(yīng)予以注意。

［1］俞聿修.隨機波浪及其工程應(yīng)用［M］.大連：大連理工大學(xué)出版社，1997：1-2.

［2］Fontanet P.Théorie de la génération de la home cylindrique par un batter plan［J］.LaHuille Blanche，1961，16：3-31，174-196.

［3］Hudspeth R T，Sulisz W.Stokes drift in two?dimensional wave flumes［J］.Journal of Fluid Mechanies，1991，230：209-229.

［4］Moubaved W I，Williams A N.Second?order bichromatic waves vroduced by a generic planar wavemaker in a two?dimensional wave flume［J］.Journal of Fluids and Structures，1994，8：73-92.

［5］Longuet?Higgins M S，Stewart R W.Radiation stress and mass transport in gravity waves with Application to“surf beats”［J］.Jour?nal of Fluid Mechanics，1962，13：481-504.

［6］Longuet?Higgins M S，Stewart R W.Radiation stresses in water waves：a physical discussion with applications［J］.Deep Sea Re?search，1964，11：529-562.

［7］Flick R E，Guza R T.Paddle generated waves in laboratory channels［J］.Journal of Waterway，Port，Coastal and Ocean Engineering Engineering，1980，106（WWI）：79-97.

［8］Sand S E.Long wave problems in laboratory models［J］.Journal of Waterway，Port，Coastal and Ocean Engineering Engineering，1982，105（WW4）：492-503.

［9］Sand S E，Mansard E P D.Description and reproduction of higher harmonic waves［R］.Canada：National Research Council of Cana?da，Hydraulics Laboratory Tech.Rep.，1986，TR-HY-012.

［10］Sand S E，Mansard E P D.Reproduction of higher harmonics in irregular waves［J］.Ocean Engineering，1986，13：57-83.

［11］Suh K，Dalrymple R A.Directional wavemaker theory：a spectral approach［C］//IAHR.Proc.IAHR Seminar Wave Analysis and Generation in Laboratory Basins，Lausanne，Switzerland，1987：389-395.

［12］Sch?ffer H A.Second?order wavemaker theory for irregular waves［J］.Ocean Engineering，1996，23（1）：47-88.

Wave generation based on second?order theory in laboratory flume

TIAN Xiao?huan1,LIU Shu?xue1,LI Jin?xuan1,YANG Zhi?wen2
（1.State Key Laboratory of Coastal and Offshore Engineering,Dalian University of Technology,Dalian 116024, China;2.Tianjin Research Institute for Water Transport Engineering,M.O.T.,Tianjin 300456,China）

The small?amplitude assumption of first?order wavemaker theory in laboratory will generate addi?tional spurious free?wave which will affect the quality of the wave,while second?order wave generation is able to eliminate the spurious free?wave by attaching wave board movement.In this paper,wave generation software in labo?ratory flume was established based on the second?order wavemaker theory built by Sch?ffer.Using a piston?type wavemaker,a number of laboratory wave experiments for regular and irregular waves with first?order and second?or?der theory were conducted.The results verify the effectiveness of the second?order wave generation that it can sup?press spurious free?wave effectively and get a more accurate waveform.In addition,the problems in second?order wavemaker theory were discussed.

second?order wave generation;bound harmonic waves;free harmonic waves

TV 139.2

A

1005-8443（2016）02-0109-06

2015-09-15；

2015-11-18

國家自然科學(xué)基金（51579038，51490672）；國家重點基礎(chǔ)研究發(fā)展（973）計劃資助項目（2013CB036101，2011CB013703）

田曉煥(1990-)，女，黑龍江省慶安縣人，碩士研究生，主要從事港口、海岸和近海工程研究。

Biography：TIAN Xiao?huan（1990-），female，master student.