“玩概念”的研討應(yīng)基于“教學(xué)環(huán)境”的開(kāi)展
——由一元一次方程定義的研討說(shuō)起

☉江蘇省泰州市姜堰區(qū)城西實(shí)驗(yàn)學(xué)校 楊根生

“玩概念”的研討應(yīng)基于“教學(xué)環(huán)境”的開(kāi)展
——由一元一次方程定義的研討說(shuō)起

☉江蘇省泰州市姜堰區(qū)城西實(shí)驗(yàn)學(xué)校 楊根生

近年來(lái)，李邦河院士的一句話“數(shù)學(xué)，根本上是玩概念的”在初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究領(lǐng)域廣泛得到認(rèn)可和教學(xué)實(shí)踐，并作為很多教學(xué)研究的重要理論依據(jù)，這種尊重并踐行數(shù)學(xué)家觀點(diǎn)的教學(xué)行為值得肯定，然而，近年來(lái)也有一些研討在“數(shù)學(xué)玩概念”定位于數(shù)學(xué)研究還是數(shù)學(xué)教學(xué)領(lǐng)域有些混淆，使得不少數(shù)學(xué)概念的教學(xué)探討出現(xiàn)分歧，忽略了蘇步青先生關(guān)于初中教材編寫時(shí)“混而不錯(cuò)”的指導(dǎo)意見(jiàn).本文就以一次群里關(guān)于一元一次方程的定義的研討為例，闡述筆者的相關(guān)思考.

一、某群里關(guān)于一元一次方程定義的研討

師1：請(qǐng)教：6x-2=6x-3是一元一次方程嗎？

師2：其實(shí)這樣的問(wèn)題沒(méi)有啥意義.

師1：我認(rèn)為不是，他們組內(nèi)有的老師說(shuō)是！

師3：出這個(gè)題目的老師沒(méi)有很好地理解數(shù)學(xué).

師4：方程的判定需要化簡(jiǎn)定型.

師5：6x-2=6x-3是一元一次方程，但它無(wú)解.對(duì)照教材上的定義，6x-2=6x-3是含有未知數(shù)的等式，所以它是方程.具體地說(shuō)，它是一元一次方程，但它的解集為空集，即無(wú)解.

師4：一般來(lái)講，方程化簡(jiǎn)，式看原型.

師5：出這樣的題確實(shí)沒(méi)多大意思.

師3：再舉個(gè)例子，一組數(shù)，3，3，3，2，2，2.問(wèn)哪個(gè)是眾數(shù).這不是扯淡嘛！

師5：3和2都是眾數(shù).出這樣的題是扯淡.諸如此類的數(shù)學(xué)題，算差題.數(shù)學(xué)學(xué)成這個(gè)樣子，就走偏了.

師5：方程的解有兩種情形，有解和無(wú)解.無(wú)解的方程也稱為矛盾方程，上面一題就是矛盾方程.可見(jiàn)它確實(shí)是方程.

師2：我覺(jué)得這個(gè)前提是先化簡(jiǎn)，再看方程有解和無(wú)解.

師5：好題差題，也是相對(duì)的.比如，初學(xué)方程時(shí)，問(wèn)：6x-2=6x-3是方程嗎？可以不算差題.但在大型考試（期中、期末、中考）出現(xiàn)這樣的題就一定算是差題了.

師2：這個(gè)課本雖然沒(méi)有說(shuō)清楚，但基本上是需要化簡(jiǎn)的，特別是一元二次方程，山教版明確告訴先要化簡(jiǎn).

師5：確實(shí)課本沒(méi)說(shuō)清楚.沒(méi)說(shuō)清楚是因?yàn)樵试S模糊，因?yàn)槿绻诖烁F究就沒(méi)有意思，學(xué)數(shù)學(xué)不能這樣學(xué).如果老師在這個(gè)沒(méi)說(shuō)清楚的內(nèi)容上面大作文章，這是教師的怪癖在起作用.

師2：我在想，一元二次方程說(shuō)的明明白白，為啥一元一次方程就沒(méi)有說(shuō)明白呢？都是整式方程，我們是不是可以類比認(rèn)識(shí)呢？再說(shuō)教材不可能把所有的問(wèn)題都說(shuō)清楚.教師的作用為何？

師2：再者，我們?nèi)绾畏智迥男┦谴_實(shí)說(shuō)不清楚的？哪些是有意說(shuō)不清楚的？哪些是無(wú)意說(shuō)不清楚的？

師6：我認(rèn)為這個(gè)問(wèn)題教材最好說(shuō)清楚，別前后不一，引起爭(zhēng)論.個(gè)人意見(jiàn)是概念要明確，不然會(huì)誤導(dǎo)，就像剛才的題，教師沒(méi)能明確一元一次方程的定義.

師7：教學(xué)中應(yīng)告訴學(xué)生，判定是否一次方程，得化簡(jiǎn)合并同類項(xiàng)，正如判定多項(xiàng)式一樣.只要學(xué)習(xí)了合并同類項(xiàng)，探討一元一次方程的概念應(yīng)該沒(méi)有問(wèn)題，因?yàn)榻庖辉淮畏匠痰倪^(guò)程本身就是在內(nèi)化概念.

師5：再看之前的發(fā)言，覺(jué)得上面我的發(fā)言偏頗了！固然出題“6x-2=6x-3是不是方程”有扯淡之嫌，但是我們把問(wèn)題討論清楚是有益的.特此更正，歡迎大家繼續(xù)議論.

師8：確實(shí)是這樣，順著“師5”的觀點(diǎn)，在一元一次方程的起始階段就探討嚴(yán)格的概念是不恰當(dāng)?shù)?，因?yàn)樯婕白冃巍⑥D(zhuǎn)化，而這些有待于后續(xù)方程解法訓(xùn)練時(shí)得到提升，所以前年我在七年級(jí)的教學(xué)實(shí)踐“一元一次方程章末小結(jié)”時(shí)，給學(xué)生增加定義一元一次方程的一般形式或標(biāo)準(zhǔn)形式，然后跟進(jìn)一些方程類型的判定，加深理解.

師5：我們是數(shù)學(xué)教師，中小學(xué)的數(shù)學(xué)教師，不是數(shù)學(xué)研究所的研究人員，不是大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)的教師，我們的職業(yè)決定了我們的討論往往離不開(kāi)教學(xué)背景，而不是純數(shù)學(xué)的討論.

二、對(duì)群里研討的初步分析

從群里的研討可以發(fā)現(xiàn)，這次研討源于一道初一的考題“6x-2=6x-3是一元一次方程嗎？”正如上面有老師的觀點(diǎn)一樣，命制這樣的考題本身就是不恰當(dāng)?shù)?，特別是，如果答案設(shè)置成唯一解答更是糟糕的.因?yàn)檫B老師們都有爭(zhēng)議，讓學(xué)生再來(lái)考試顯然是不恰當(dāng)?shù)脑囶}.

支持該題是一元一次方程的理由是教材上的定義，然而教材在七年級(jí)時(shí)并不要求學(xué)生將方程整理化簡(jiǎn)到ax+b=0（a≠0）這樣的“一般式”進(jìn)行判定，這與后來(lái)一元二次方程、二次函數(shù)、一次函數(shù)等一般式做出要求相比，表現(xiàn)出不一致的“定義”.然而，學(xué)生在剛進(jìn)入初中學(xué)習(xí)方程時(shí)，還不能熟練地進(jìn)行方程的變形與整理，這有待后續(xù)一元一次方程的解法訓(xùn)練，所以在上面研討過(guò)程中，師8的實(shí)踐表明，可以先讓學(xué)生模糊一元一次方程的定義，待化簡(jiǎn)、變形能力具備之后，即本章復(fù)習(xí)時(shí)，再對(duì)一元一次方程的一般形式進(jìn)行規(guī)定，保持與后續(xù)一次函數(shù)、一元二次方程、一元二次函數(shù)的“一般式”在定義上的一致性.

三、“玩概念”的研討應(yīng)基于“教學(xué)環(huán)境”開(kāi)展

1.初中數(shù)學(xué)概念可以“混而不錯(cuò)”

我國(guó)著名數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家蘇步青先生在指示中小學(xué)教材編寫時(shí)曾提出“混而不錯(cuò)”的觀點(diǎn)，得到很多教材編寫組的“執(zhí)行”.一方面初中階段很多數(shù)學(xué)概念由于學(xué)段的限制難以給出嚴(yán)密的定義，更多的是描述性定義（如：形如…的…稱為…），為的是讓學(xué)生基于一些數(shù)學(xué)對(duì)象的直觀感知而定義數(shù)學(xué)對(duì)象，沿著這些數(shù)學(xué)對(duì)象繼續(xù)研究它們的后續(xù)性質(zhì)或判定或應(yīng)用，如果深究在嚴(yán)謹(jǐn)定義層面，則不利于后續(xù)學(xué)習(xí)的順利開(kāi)展.再有，理解數(shù)學(xué)那完美的嚴(yán)密性，也不是所有人需要掌握的，課標(biāo)上關(guān)于很多課程目標(biāo)的確定，也大量采用了“了解”很多概念的要求，想來(lái)也有這樣的道理.

2.初中數(shù)學(xué)概念盡可能追求前后一致

從上文中的關(guān)于一元一次方程定義的研討來(lái)看，作為教材上的表述來(lái)說(shuō)，由于沒(méi)有給出一元一次方程的一般式，而在八、九年級(jí)給出了一元二次方程的一般式、一元二次函數(shù)的一般式，從數(shù)學(xué)概念需要追求前后一致來(lái)看，七年級(jí)教材確實(shí)應(yīng)該在一元一次方程的章末小結(jié)階段給出它的一般式，這樣就可使學(xué)段內(nèi)關(guān)于方程的定義保持一致性，讓教師和高層次學(xué)生感受到數(shù)學(xué)內(nèi)部的和諧與一致.事實(shí)上，初中幾何體系就會(huì)更加嚴(yán)謹(jǐn)、和諧與一致了，比如，七年級(jí)時(shí)所學(xué)的線段、射線和直線，對(duì)應(yīng)著角的定義、三角形或四邊形的邊的定義；互余、互補(bǔ)的定義對(duì)應(yīng)著后續(xù)研究特殊圖形中不同角之間的關(guān)系；對(duì)一個(gè)圖形的研究套路（平行四邊形的定義、判定、性質(zhì)、應(yīng)用）貫穿于不同年級(jí)之中.

3.有爭(zhēng)議的數(shù)學(xué)概念類考題不宜作為考試用題

作為引發(fā)上文中的教學(xué)研討的話題來(lái)看，各級(jí)考試中不宜采用有爭(zhēng)議的考題來(lái)閉卷考查學(xué)生，一方面，影響該題的內(nèi)容效度和分?jǐn)?shù)效度，另一方面，部分高層次學(xué)生如果糾結(jié)于前后數(shù)學(xué)概念的一致性時(shí)，往往會(huì)造成誤判，使得思考更深的學(xué)生反而吃虧.這里不妨提及當(dāng)前一些較低層次命題的現(xiàn)狀，常常簡(jiǎn)單的拿來(lái)主義，脫離課本選題、抄題，有些習(xí)題看是訓(xùn)練學(xué)生對(duì)概念的理解，但是卻模糊著學(xué)生對(duì)概念的理解與認(rèn)識(shí)，考后深入追問(wèn)又會(huì)陷入“兩小兒辯日”的尷尬之境.這就要求命題者在設(shè)計(jì)相關(guān)考題時(shí)要注意認(rèn)真辨析每一道考題的考查意圖，保證試題的科學(xué)性.

四、寫在最后

如上面研討過(guò)程中有老師提出的“扯談”之說(shuō)，關(guān)于無(wú)聊的一道辨析試題引發(fā)了很多老師的參與熱情，上通數(shù)學(xué)、下接課堂，研討得既有數(shù)學(xué)味，又有教學(xué)味，這也是筆者整理本文的動(dòng)力之一.事實(shí)上，類似的概念研討話題還有很多值得深入思考的，比如，分式的概念、等式的性質(zhì)、直線的概念、距離的概念等，深究下去，都會(huì)觸及數(shù)學(xué)的本質(zhì)，加深我們對(duì)數(shù)學(xué)的理解.也許，多開(kāi)展這樣的思考與思辨，我們對(duì)教材的理解、對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解及自身的專業(yè)素養(yǎng)也在無(wú)形之中得到了提升.

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