兒童數(shù)學(xué)教育視角下“模型思想”的教學(xué)探索與實踐

□韓玉娟

兒童數(shù)學(xué)教育視角下“模型思想”的教學(xué)探索與實踐

□韓玉娟

“模型思想”是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中提出的十個核心概念之一，這也引起了一線教師的關(guān)注與討論，并進行了大量的實踐與探索。因此，對于模型思想的內(nèi)涵及其具體體現(xiàn)的梳理分析就顯得很有必要。并在此基礎(chǔ)提出相應(yīng)的教學(xué)策略和實施建議可以為教師提供一定的參考。

兒童數(shù)學(xué) 模型思想 概念解讀 教材梳理

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《課標(biāo)》）總目標(biāo)中明確指出：“通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能獲得社會生活和進一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想和基本活動經(jīng)驗?！被緮?shù)學(xué)思想是指普適性的、一般性的、數(shù)學(xué)學(xué)科特有或者比較突出的思想，東北師范大學(xué)校長史寧中教授將基本數(shù)學(xué)思想界定為抽象思想、推理思想和模型思想，這三個基本數(shù)學(xué)思想也是“讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界、用數(shù)學(xué)的思維分析世界、用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界”的基礎(chǔ)和具體體現(xiàn)，教師也越來越關(guān)注基本數(shù)學(xué)思想的滲透與培養(yǎng)。在小學(xué)階段四大領(lǐng)域的教學(xué)中所涉及的“模型思想”內(nèi)容十分豐富，本文將通過對“模型思想”教學(xué)的探索和實踐，并在此基礎(chǔ)上提出相應(yīng)的概念解讀、教材梳理、實踐策略、教學(xué)建議與大家交流。

一、“模型思想”的內(nèi)涵

（一）數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)模型是用數(shù)學(xué)語言概括地或近似地描述現(xiàn)實世界事物的特征、數(shù)量關(guān)系和空間形式的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，在社會生活的方方面面有著廣泛的應(yīng)用。史寧中教授認(rèn)為：“通俗地說，數(shù)學(xué)模型是借用數(shù)學(xué)的語言講述現(xiàn)實世界的故事。”

廣義地說，一切數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)理論體系、數(shù)學(xué)公式、數(shù)學(xué)方程以及由它們構(gòu)成的算法系統(tǒng)都可以稱為數(shù)學(xué)模型，主要的表現(xiàn)形式是數(shù)學(xué)符號表達(dá)式、圖形和圖表。從狹義上講，數(shù)學(xué)模型就是只指那些反映了特定問題或特定的具體事物系統(tǒng)的數(shù)學(xué)關(guān)系結(jié)構(gòu)，像“雞兔同籠、植樹問題”等一些典型的實際問題是對一類問題的刻畫和表達(dá)，都是重要的狹義上的數(shù)學(xué)模型。曹培英教授認(rèn)為：“廣義、狹義的數(shù)學(xué)模型，都是人類進化、社會發(fā)展的產(chǎn)物?！?/p>

（二）模型思想

數(shù)學(xué)的模型思想是一般化的思想方法，就是針對要解決的問題，構(gòu)造相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，通過對數(shù)學(xué)模型的研究來解決實際問題的一種數(shù)學(xué)思想方法?？梢?，模型思想體現(xiàn)在建立模型和模型應(yīng)用兩個方面。

《課標(biāo)》明確指出，“模型思想的建立是學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑”。并從實際出發(fā)，將建立和求解模型具體化為這樣的三個過程：

《課標(biāo)》這樣的要求，不僅表明了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，同時明確了建立模型是數(shù)學(xué)應(yīng)用和解決問題的核心，也是解決實際問題的關(guān)鍵，是解決實際問題的一種強有力的工具。從這個意義上講，數(shù)學(xué)教學(xué)實際上就是引導(dǎo)學(xué)生理解和探索前人構(gòu)建的一個個數(shù)學(xué)模型，逐步形成模型思想的過程，是用數(shù)學(xué)語言來描述現(xiàn)實現(xiàn)象的過程，是實際問題“數(shù)學(xué)化”的過程，而求解模型則是問題解決的過程，是模型應(yīng)用的過程。

二、小學(xué)數(shù)學(xué)教材中模型思想的具體體現(xiàn)

有專家將小學(xué)階段四大領(lǐng)域中所涉及的數(shù)學(xué)模型劃分為公式模型、方程模型、集合模型、函數(shù)模型（正、反比例）四種重要的模型。人教社小學(xué)數(shù)學(xué)編輯室主任王永春老師在《小學(xué)數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)思想方法》一書中指出，在小學(xué)階段，一般的數(shù)量關(guān)系式、公式、按規(guī)律排列的一組數(shù)、算式或圖形等都可以看成是數(shù)學(xué)模型。學(xué)習(xí)和參考王永春老師對小學(xué)數(shù)學(xué)模型的梳理結(jié)果，筆者在此基礎(chǔ)上稍稍進行了調(diào)整和補充，具體見下表：

知識領(lǐng)域數(shù)與代數(shù)知識點 用應(yīng)舉列數(shù)的表示 自然數(shù)列：0，1，2，…用數(shù)軸表示數(shù)用數(shù)字和圖形表示排列規(guī)律a+b=c；c-a=b，c-b＝a；a×b＝c（a≠0,b≠0）；c÷a=b，c÷b＝a數(shù)的運算運算定律加法交換律：a+b=b+a加法結(jié)合律：a+b+c=a+（b+c）乘法交換律：ab=ba乘法結(jié)合律：（ab）c=a（bc）乘法分配律：a（b+c）=ab+ac方程 ax+b=c數(shù)量關(guān)系時間、速度和路程：s=vt數(shù)量、單價和總價：a=np正比例關(guān)系：y x =k，y=kx反比例關(guān)系：xy=k，y=k x用表格表示數(shù)量間的關(guān)系用圖象表示數(shù)量間的關(guān)系周長公式 長方形周長：C=2（a+b） 正方形周長：C=4a圓周長：C=πd或C=2πr面積公式長方形面積：S=ab 正方形面積:S=4a三角形面積:S=12圖形與幾何用字母表示公式ah 平行四邊形面積:S=ah梯形面積:S=12（a+b）h 圓面積:S=πr2體積公式長方體體積:V=abc正方體體積:V=a3圓柱體積:V=Sh 圓錐體積:V=13Sh空間形式 用圖形表示空間和平面結(jié)構(gòu)統(tǒng)計量 平均數(shù)統(tǒng)計與概率統(tǒng)計統(tǒng)計圖和統(tǒng)計表 用統(tǒng)計圖表描述和分析各種信息概率 用分?jǐn)?shù)表示可能性的大小

三、滲透模型思想的教學(xué)實踐策略

我們來了解一下建立和求解模型的過程，可以用下面這樣一幅圖來表示：

在這一過程中，發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問題是建立模型的基礎(chǔ)和起點，通過觀察分析、抽象概括、選擇判斷等活動完成模式抽象，得到模型是最重要環(huán)節(jié)。可以說，數(shù)學(xué)模型是靜態(tài)的形式化結(jié)構(gòu)，數(shù)學(xué)建模就是動態(tài)的數(shù)學(xué)化的過程。

策略一：以生活原型為基礎(chǔ)，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型

生活原型是構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)，教師應(yīng)該將生活中源源不斷的、豐富多彩的具體事例引入課堂，通過現(xiàn)實的生活原型引導(dǎo)學(xué)生提出數(shù)學(xué)問題，為發(fā)現(xiàn)和理解數(shù)學(xué)模型做好準(zhǔn)備。這樣做，一方面，可以消除學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的恐懼，感受生活中熟悉的內(nèi)容；另一方面，教師也在悄然滲透模型思想。

最經(jīng)典的莫過于“哥尼斯堡七橋問題”：18世紀(jì)東普魯士的哥尼斯堡，有一條河穿過，河上有兩個小島，有七座橋把兩個島與河岸聯(lián)系起來。一個步行者怎樣才能不重復(fù)、不遺漏地一次走完七座橋，最后回到出發(fā)點呢？從這樣一個生活原型中，數(shù)學(xué)家歐拉根據(jù)陸地、橋和人的關(guān)系，巧妙地把小島、河岸抽象成“點”，把橋抽象成“線”，將能否一次無重復(fù)地走過七座橋的問題轉(zhuǎn)化為能否“一筆畫出”這個幾何模型的問題，用數(shù)學(xué)的方法證明不能一筆畫出，從而得出人也不能一次無重復(fù)地走過這七座橋的結(jié)論。

在教學(xué)“植樹問題”時，教師會為學(xué)生提供真實的生活原型：學(xué)校要召開運動會，從校門口到教學(xué)樓之間50米的甬道兩側(cè)每隔5米要插上一面彩旗，一共需要多少面彩旗呢？在解決問題的過程中體會和建構(gòu)“點數(shù)與段數(shù)”之間關(guān)系的數(shù)學(xué)模型。在教學(xué)正比例關(guān)系時，老師為學(xué)生提供多種商品的銷售記錄，學(xué)生在觀察、討論、計算的過程中，逐漸發(fā)現(xiàn)和理解這兩種量中相對應(yīng)的兩個數(shù)的比值一定，從而建構(gòu)“正比例關(guān)系”的數(shù)學(xué)模型。

策略二：以生活情境為載體，經(jīng)歷建模過程

1.經(jīng)歷從一個到一類的過程

模型的建立不是一蹴而就的，從一個情境或現(xiàn)象中建構(gòu)的數(shù)學(xué)模型，得到的數(shù)學(xué)結(jié)果和數(shù)學(xué)規(guī)律，需要通過檢驗，需要以生活情境為載體，從不同情境中多次感悟，經(jīng)歷從“境”到“?！钡倪^程，要多舉一些實例。比如對于加法這個數(shù)學(xué)運算模型，要通過大量的生活情境，反復(fù)感受把兩部分合并成一個部分用加法計算，經(jīng)歷多次的長時間的感悟，學(xué)生才能夠逐漸理解加法的意義，形成加法模型。

例如全國著名特級教師吳正憲執(zhí)教的“乘法分配律”一課，為了讓學(xué)生順利構(gòu)建“a（b+c）=ab+ac”這個數(shù)學(xué)模型，吳老師給學(xué)生提供了三個不同的素材：

①左邊的花壇中每行有12朵花，共有8行。右邊的花壇中每行有8朵花，共有8行。一共有多少朵花？

②兩個花壇一共有多大的面積？

③廚房要鋪瓷磚，一共需要鋪多大的面積？

在解決問題、交流匯報的過程中，多個生活原型幫助學(xué)生似乎找到了一些“感覺”，他們體會到雖然情境不一樣，但是問題的本質(zhì)是一樣的，解決問題都有兩種方法，這兩種方法結(jié)果是一樣的，而且這兩種方法在計算過程中存在某種聯(lián)系……為了讓這種“感覺”更清晰一些，吳老師又安排讓學(xué)生自己創(chuàng)造幾個符合“這種感覺”的算式。

這一類素材的呈現(xiàn)和問題的解決，使得學(xué)生對于這個模型經(jīng)歷了一個循序漸進、從模糊到清晰的領(lǐng)悟過程。

2.經(jīng)歷從具體到抽象的過程

數(shù)學(xué)模型源于生活原型，是對生活原型的高度凝練、簡化與提升而形成的，數(shù)學(xué)模型是用數(shù)學(xué)符號、數(shù)學(xué)公式、程序、圖、表等刻畫客觀事物本質(zhì)屬性與內(nèi)在聯(lián)系的理想化表述，因此，數(shù)學(xué)的抽象與概括是建立模型的重要過程。要讓學(xué)生經(jīng)歷從具體感知到抽象概括的過程，用數(shù)學(xué)的語言和方式進行表達(dá)。

在吳老師的“乘法分配律”一課教學(xué)中，學(xué)生通過上述一類問題感受到有規(guī)律存在，找到一點“感覺”，教師適時安排了抽象概括的環(huán)節(jié)：這一類問題有什么規(guī)律？你能把這個共同的規(guī)律用自己的語言寫出來嗎？

生：我發(fā)現(xiàn)結(jié)果是一樣的，而且寫不完。

生：兩個物體的長加在一起再乘寬就等于面積。

生：這一類問題，兩組數(shù)可以分開算，也可以一起算，而且結(jié)果一樣，寫不完。兩個算式有一個數(shù)一樣。

生：（爸+媽）×我=爸×我+媽×我

生：（○+△）×☆=○×☆ +△×☆

生：（a+b）×c=a×c+b×c

……

學(xué)生的表達(dá)反映出學(xué)生對于乘法分配律這個模型已經(jīng)有了充分的感知，同時也反映出學(xué)生的抽象水平和概括水平存在差異，有的學(xué)生還只是停留在“悟?！钡碾A段，不能進行完整的歸納概括，有的學(xué)生抽象水平高，已經(jīng)“成?！?，對于模型的概括就比較好。在建立模型的過程中，經(jīng)歷從具體到抽象的過程是非常重要的，是必不可少的，這是對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解與抽象。

與此同時，模型的建立還要能夠借助具體事件和情境解讀抽象的表達(dá)式，這也是對模型內(nèi)化的過程。在教學(xué)“乘法初步認(rèn)識”時，學(xué)生已經(jīng)從多個生活現(xiàn)象中經(jīng)歷了圖形表征、語言表征、符號表征的過程，抽象出“求幾個相同加數(shù)和的簡便運算”這一乘法模型，能否用你喜歡的方式表達(dá)5×4的含義呢？5×4作為一個抽象的算式模型，學(xué)生理解嗎？只需看看學(xué)生的作品就清楚了。

還有的學(xué)生用語言描述：餐廳里每桌有5位客人，4桌是多少人？有的學(xué)生畫出一個花瓶中有4枝花，5個花瓶有幾枝花？……不同的形式都表達(dá)著同一個算式的意思?？梢?，乘法模型已經(jīng)在學(xué)生頭腦中建立起來。從具體解釋抽象，用生活中的故事解讀數(shù)學(xué)模型，是檢驗學(xué)生是否理解數(shù)學(xué)模型、理解知識本質(zhì)的有效途徑。

3.經(jīng)歷從猜想到驗證的過程

“提出猜想—驗證猜想”是一種科學(xué)精神，由于小學(xué)生年齡小，生活經(jīng)驗、認(rèn)知水平和探究能力都是有限的，在小學(xué)階段建模最有效、最直接的方法就是讓學(xué)生經(jīng)歷“提出猜想—驗證猜想”的過程。小學(xué)數(shù)學(xué)中很多模型都可以通過這樣的方式來建立。

在“平行四邊形的面積”一課教學(xué)中，教師通過談話引發(fā)學(xué)生猜想：同學(xué)們，我們學(xué)過長方形的面積=長×寬，正方形的面積=邊長×邊長，猜一猜，這個平行四邊形停車位的面積該怎樣計算呢？

受到原有知識經(jīng)驗的影響，學(xué)生當(dāng)中出現(xiàn)了三種方法：4×5，4×6，5×6。當(dāng)然，這些都只是猜想，到底哪一個是正確的呢？用原有的方法驗證一下吧。

學(xué)生通過數(shù)方格或?qū)⑵叫兴倪呅无D(zhuǎn)化成長方形，發(fā)現(xiàn)平行四邊形的面積應(yīng)該是4×6，所以平行四邊形的面積=底×高。

所有的平行四邊形都能用底×高來計算嗎？教師為學(xué)生提供不同的平行四邊形來進行再次驗證。最終無一例外都驗證這一結(jié)論的正確性，從而建立了平行四邊形的面積計算模型。

“提出猜想—驗證猜想”也是數(shù)學(xué)建模的重要途徑，根據(jù)數(shù)學(xué)問題提出一種猜想，也許這個猜想是錯的，但只要是學(xué)生基于經(jīng)驗認(rèn)真思考的都應(yīng)該給予積極的正面回應(yīng)，經(jīng)過檢驗的正確猜想就成為一個數(shù)學(xué)結(jié)果，進而會成為一個數(shù)學(xué)模型。

策略三：以解決問題為目標(biāo)，自覺應(yīng)用模型

形成模型思想，就要讓學(xué)生在“建?！敝蟆坝媚！保龑?dǎo)他們運用數(shù)學(xué)模型解決實際生活中的問題，內(nèi)化模型，并體會模型的價值和作用。

在學(xué)生建立了“正比例關(guān)系”這一數(shù)學(xué)模型之后，教師巧妙地運用了著名數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾設(shè)計的經(jīng)典數(shù)學(xué)問題“巨人的手印”：夜晚，巨人訪問我們的校園，在黑板上留下巨大的手印，你能根據(jù)他的手印為他設(shè)計書籍、桌子和椅子的尺寸嗎？在這一問題的引領(lǐng)下，學(xué)生積極想辦法，主動嘗試，用自己的手和巨人的手相比，得到一個比值，同時量出自己的書籍、桌椅的尺寸，并通過這個固定的比值來推算巨人的這些物品的大小。在解決這一問題的過程中，學(xué)生通過測量、觀察、計算，進一步理解正比例關(guān)系模型的內(nèi)涵。

經(jīng)典的“雞兔同籠”問題大家都很熟悉，“雞和兔子共8個頭26條腿，雞兔各幾只？”在學(xué)生利用畫表、畫圖、假設(shè)等方法解決問題并建立數(shù)學(xué)模型之后，可以進行適當(dāng)?shù)淖兪骄毩?xí)：同學(xué)們?nèi)澊?，大船可以?人，小船可以坐4人，有120名同學(xué)，25只船，大小船各有幾只呢？解決問題時，關(guān)鍵是能否找到對應(yīng)關(guān)系，120人相當(dāng)于雞和兔的總腿數(shù)，25只船相當(dāng)于雞和兔的總只數(shù)。只要找到對應(yīng)關(guān)系就能利用“雞兔同籠”的數(shù)學(xué)模型解決租船問題了。

利用已有模型解決問題是小學(xué)階段的一個主要內(nèi)容，有利于學(xué)生理解和掌握相關(guān)的知識技能，感悟數(shù)學(xué)思想和方法，積累解決問題的經(jīng)驗，形成數(shù)學(xué)的思維方式。

四、滲透模型思想的教學(xué)建議

（一）情境和活動設(shè)計符合兒童年齡特征和思維特點

數(shù)學(xué)模型是很抽象的。6～12歲的兒童由于其身體和心理發(fā)育都還不成熟，思維上以形象思維為主，逐漸向抽象思維過渡，因此在建立數(shù)學(xué)模型的過程中，要考慮到兒童的年齡特點、認(rèn)知規(guī)律、生活經(jīng)驗等，應(yīng)該選擇學(xué)生熟悉的、感興趣的素材和生活情境為依托，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)模型再創(chuàng)造的過程。

（二）充分經(jīng)歷建模過程，尊重兒童的獨特理解與個性表達(dá)

建立數(shù)學(xué)模型是一個比較復(fù)雜并且具有挑戰(zhàn)性的過程，教師要讓學(xué)生充分經(jīng)歷建立數(shù)學(xué)模型的過程，并且根據(jù)學(xué)生的起點、基礎(chǔ)、思維水平的不同，要求學(xué)生用說一說、畫一畫、寫一寫等不同方式表達(dá)對模型的感悟和理解，要關(guān)注抽象概括能力的培養(yǎng)。

（三）模型思想的滲透要選擇合適的知識載體并循序漸進

模型思想的形成需要經(jīng)歷一個長期的過程，日常教學(xué)中，要增強對模型思想的認(rèn)識，精心篩選教學(xué)內(nèi)容和知識載體，選擇合適的契機潛移默化并循序漸進地進行滲透。

[1]王永春.小學(xué)數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)思想方法[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2014（10）.

[2]王光明，范文貴，主編.新版課程標(biāo)準(zhǔn)解析與教學(xué)指導(dǎo)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012（7）.

（北京第一師范學(xué)校附屬小學(xué) 100075）