數(shù)學教學中CPFS結(jié)構(gòu)的構(gòu)建

閆曉芳，韓聯(lián)郡

（1.永城職業(yè)學院，河南永城476600；2.上海交通大學，上海200240）

數(shù)學教學中CPFS結(jié)構(gòu)的構(gòu)建

閆曉芳1，韓聯(lián)郡2

（1.永城職業(yè)學院，河南永城476600；2.上海交通大學，上海200240）

CPFS結(jié)構(gòu)是喻平關(guān)于數(shù)學認知結(jié)構(gòu)的原創(chuàng)性成果，在數(shù)學教學中具有重要的研究價值和實踐價值。文章結(jié)合數(shù)學教學實際，初步探討了建構(gòu)學生的優(yōu)良CPFS結(jié)構(gòu)的策略和注意事項。

CPFS結(jié)構(gòu)；數(shù)學；數(shù)學教學

數(shù)學具有獨特的應(yīng)用價值、智力價值和文化價值，數(shù)學教育不僅具有傳授數(shù)學知識、進行邏輯訓練和培養(yǎng)科學精神的作用，也在發(fā)展高科技、培養(yǎng)高科技人才方面有著重要的地位和不可替代的作用。

數(shù)學學習心理學的研究表明：數(shù)學學習是一種特殊的心理活動過程，數(shù)學學習不僅包括數(shù)學知識、能力和方法的學習,而且還包括上述內(nèi)容的產(chǎn)生、形成、發(fā)展、完善和如何應(yīng)用等思維過程的學習。因此，相對其他課程，數(shù)學的學習要更為復雜和困難。當然，對待數(shù)學學習也不必過于悲觀。數(shù)學是一門邏輯性、結(jié)構(gòu)性很強的知識體系。研究表明：數(shù)學學習中，如果能形成良好的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)，將會給數(shù)學學習帶來巨大的收益。因此，找出一種有效的理論來指導學生建構(gòu)數(shù)學認知結(jié)構(gòu)顯得尤為必要。喻平結(jié)合心理學理論和數(shù)學學習特點構(gòu)建的CPFS結(jié)構(gòu)理論在這方面做出了原創(chuàng)性的探索，對數(shù)學學習與教學有著重要的指導意義。

一、CPFS結(jié)構(gòu)理論含義

CPFS結(jié)構(gòu)是由概念域、概念系、命題域、命題系形成的結(jié)構(gòu)，它是數(shù)學學習心理特有的認知結(jié)構(gòu)。數(shù)學概念C的所有等價定義構(gòu)成的圖式，叫做概念C的概念域（概念C不單指形式化定義，也包括概念的內(nèi)涵、外延和心理表象等，即概念C本身也是一個完整的圖式）。概念域的形成是對概念更深刻而又全面的理解。概念系則是指存在著數(shù)學抽象關(guān)系的一組概念形成的知識網(wǎng)絡(luò)。與此類似，與一個命題等價的所有命題構(gòu)成的圖式叫做這個命題的命題域；如果在一個命題集中，任意一個命題都至少與其他某一個命題存在“推出”關(guān)系，則稱這個命題集的圖式叫做這個命題的命題域。

CPFS結(jié)構(gòu)可以看做一個數(shù)學知識網(wǎng)絡(luò)體系，各知識點（概念、命題）在這個網(wǎng)絡(luò)中處于一定位置，知識點之間具有抽象關(guān)系，而這些抽象關(guān)系保證了知識節(jié)點之間的穩(wěn)定性和邏輯性，同時抽象關(guān)系之間又蘊含著思維方法，即CPFS結(jié)構(gòu)中各知識點之間的連結(jié)包含著數(shù)學方法系統(tǒng)。

二、CPFS結(jié)構(gòu)理論的理論價值和實踐價值

數(shù)學教學的一個主要目的就是使學生形成良好的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)，從而發(fā)展學生的數(shù)學思維能力。因此，數(shù)學認知結(jié)構(gòu)的構(gòu)建成了學界爭相研究的熱門課題。然而，縱觀已有的研究成果可以發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)有的關(guān)于數(shù)學認知結(jié)構(gòu)的研究多以思辨研究為主，而且研究大多局限于數(shù)學認知結(jié)構(gòu)的外部探討，缺乏對其內(nèi)部結(jié)構(gòu)邏輯關(guān)系的刻畫，而關(guān)于數(shù)學認知結(jié)構(gòu)模型的構(gòu)建方面的研究則更少之又少。針對已有研究的不足，喻平在對數(shù)學知識分類和數(shù)學知識的表征進行深入探討的基礎(chǔ)上，構(gòu)建了CPFS結(jié)構(gòu)理論，豐富了數(shù)學認知結(jié)構(gòu)的理論，為優(yōu)良的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)的構(gòu)建提供了有力的工具。此外，CPFS結(jié)構(gòu)還具有其他數(shù)學認知結(jié)構(gòu)模型不具備的特性：知識命題之間除了上、下位關(guān)系外，還包含“等價”關(guān)系。而“等價”正是數(shù)學語言轉(zhuǎn)譯及數(shù)學問題表征的關(guān)鍵，因此，CPFS結(jié)構(gòu)也是對數(shù)學認知結(jié)構(gòu)理論的創(chuàng)新和發(fā)展。

已有的理論研究和實證研究表明，CPFS結(jié)構(gòu)在數(shù)學的學習與教學中具有多種實踐價值：1.數(shù)學概念圖在某種意義上是CPFS結(jié)構(gòu)的一定程度的外顯化反應(yīng)，CPFS結(jié)構(gòu)是數(shù)學概念圖建構(gòu)的心理根基。2.優(yōu)良的CPFS結(jié)構(gòu)既是解決數(shù)學問題的知識基礎(chǔ)，又利于學生合理、正確地表征問題，可以提高學生的解題效果和數(shù)學成績。3.CPFS結(jié)構(gòu)兼具開放性和穩(wěn)定性，利于豐富原有的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)或形成新的、更加完善的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)；優(yōu)良的CPFS結(jié)構(gòu)能促進學習者對知識的理解，為學生提供元認知方法，積累學生的數(shù)學活動經(jīng)驗。

三、數(shù)學教學中CPFS結(jié)構(gòu)的構(gòu)建

學生數(shù)學學習的好壞，一個重要的判別標準就是是否建立了良好的認知結(jié)構(gòu)。根據(jù)筆者的調(diào)查發(fā)現(xiàn)：數(shù)學成績不良的學生往往沒有數(shù)學知識結(jié)構(gòu)的概念，其數(shù)學認知結(jié)構(gòu)也大多混亂不堪；數(shù)學成績優(yōu)秀的學生，雖然能夠認識到數(shù)學知識結(jié)構(gòu)的價值，但往往缺乏主動建構(gòu)數(shù)學知識結(jié)構(gòu)的意識，其認知結(jié)構(gòu)的表現(xiàn)形式一般也僅限于數(shù)學知識框圖等簡單、初級的認知結(jié)構(gòu)。鑒于學生數(shù)學認知結(jié)構(gòu)的現(xiàn)狀和CPFS結(jié)構(gòu)對數(shù)學學習的重要意義，因此有必要在數(shù)學教學中引導學生構(gòu)建良好的CPFS結(jié)構(gòu)。

（一）傳授CPFS結(jié)構(gòu)建構(gòu)的方法

數(shù)學認知結(jié)構(gòu)的構(gòu)建包括數(shù)學知識意義的獲得和應(yīng)用，是一種更高層次的意義獲得，無法通過直接灌輸獲得。此外，老師呈獻給學生的知識結(jié)構(gòu)也只是老師自身的認知結(jié)構(gòu)，由于種種客觀原因，老師的認知結(jié)構(gòu)不一定就優(yōu)于學生的認知結(jié)構(gòu)。因此，欲使學生獲得優(yōu)良的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)，需首先使其掌握建構(gòu)優(yōu)良數(shù)學認知結(jié)構(gòu)的方法。然而，數(shù)學認知結(jié)構(gòu)理論的傳授也不能僅限于CPFS結(jié)構(gòu)，其他的如知識框圖、圖式理論、概念圖理論、思維導圖理論各有優(yōu)點，都可以涉及，讓學生在應(yīng)用中比較、鑒別，尋找到適合自己的建構(gòu)模式。

（二）概念與命題教學中注重變式教學策略

概念與命題是CPFS結(jié)構(gòu)中起固定作用的觀念，概念域和命題域是CPFS結(jié)構(gòu)中的基礎(chǔ)組成部分，完善的概念域和命題域是構(gòu)建良好CPFS結(jié)構(gòu)的前提。變式教學是使學習者在頭腦中建構(gòu)完善概念域和命題域的一種有效策略。此處的變式教學，一方面是指在教學過程中，針對概念和命題的不同表達形式或者錯誤表達形式設(shè)計教學問題或教學情境，從多角度展示概念和命題的內(nèi)涵與外延，幫助學生更全面地理解、掌握數(shù)學概念與命題，體會蘊含其中的數(shù)學語言的轉(zhuǎn)譯方法和數(shù)學知識表征的等價轉(zhuǎn)換；另一方面是指借助已有概念和命題的變式，為新概念和命題設(shè)置教學腳手架，建立新舊知識間的意義聯(lián)系，在有層次推進教學活動的過程中拓展學生的CPFS結(jié)構(gòu)。例如在對“函數(shù)在某一點處導數(shù)”的教學中，其教學流程簡記如下（時間：2課時）：

1.從學生已知的的“平均變化率”出發(fā)，利用極限的觀點，引導出“瞬時變化率”的概念。

2.回憶物理中求瞬時速度的方法，展示問題“已知物體做變速直線運動，其運動方程為S=s（t），求物體在t0∈[0，t]的瞬時速度？”探究其數(shù)學求解過程。

3.由“圓的切線”的定義引入“曲線的切線”的定義，展示問題“已知曲線y=f（x）過點P（x0，y0），如何求曲線y= f（x）在點P（x0，y0）處的切線斜率？”

4.總結(jié)導數(shù)概念的本質(zhì)（變化率），展示問題“帶電粒子（電子、離子等）在時間段[0，t]內(nèi)通過導線橫截面的電荷為Q=Q（t），求在時刻t0處的電流強度？”交由學生探究。

5.讓學生通過觀察、比較、概括的過程獲得函數(shù)y=f（x）在點x0處的導數(shù)概念與計算。

6.探討導數(shù)公式的不同變化形式，引入導函數(shù)的概念。

7.總結(jié)導數(shù)概念的相關(guān)知識，形成導數(shù)概念的概念域。

（三）在數(shù)學的應(yīng)用中構(gòu)建CPFS結(jié)構(gòu)

數(shù)學學習重在應(yīng)用，數(shù)學應(yīng)用的過程既是數(shù)學學習的鞏固與提高，也是數(shù)學思維能力的訓練和培養(yǎng)。數(shù)學的CPFS結(jié)構(gòu)不能憑空獲取，而只能在具體的數(shù)學活動中構(gòu)建和完善。數(shù)學應(yīng)用是數(shù)學活動經(jīng)驗獲得的主要方式，也為建構(gòu)和完善CPFS結(jié)構(gòu)提供了具體的場景。

導數(shù)是高考的熱點之一，在數(shù)學問題解決中不僅簡便而且應(yīng)用比較廣泛，它已成為研究和解決函數(shù)變化率、極值、最值和單調(diào)性問題以及曲線的切線問題、不等式的證明等眾多問題的一種必不可少的重要工具。下面仍然以導數(shù)為例：

1.學習極值、最值的概念。

2.回顧前面概念教學中導數(shù)的本質(zhì)以及切線的定義，觀察極值點的一個鄰域內(nèi)切線斜率的變化特點，同時分析函數(shù)值的變化特點，得出該極值點的一個鄰域內(nèi)函數(shù)增長率的變化規(guī)律，結(jié)合切線斜率的求解方法，引導出導數(shù)求極值的方法，進而發(fā)現(xiàn)最值的導數(shù)求解方法，使學生在這個過程中充分感受到各概念之間的抽象關(guān)系，感悟數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化的思想。

3.引導學生思考不等式證明與最值求解之間的關(guān)系，感受導數(shù)法證明不等式的奇妙之處，感悟轉(zhuǎn)化和函數(shù)的思想。

4.總結(jié)、反思，借助導數(shù)各種應(yīng)用之間的抽象關(guān)系，使相互之間連接，形成有序結(jié)構(gòu)，建構(gòu)導數(shù)的概念系和命題系。

5.展示問題，在問題解決中感悟?qū)?shù)不同應(yīng)用之間的抽象關(guān)系，豐富導數(shù)概念的CPFS結(jié)構(gòu)，形成更為完整的CPFS結(jié)構(gòu)。

（四）必需、夠用為基本要求

雖然可以假定數(shù)學存在著一個完美的大一統(tǒng)的知識結(jié)構(gòu)，但要求學生的CPFS結(jié)構(gòu)盡善盡美或者保持一致都是不現(xiàn)實的。數(shù)學認知結(jié)構(gòu)是一種經(jīng)過學生主觀建構(gòu)改造的，它是數(shù)學知識與學生心理結(jié)構(gòu)融合的結(jié)果，因而受到學生心理發(fā)展現(xiàn)狀的制約，并在不同個體之間存在著顯著差異。因此，建構(gòu)適合學生個體心理特點的認知結(jié)構(gòu)，是一個首先需要解決的問題。對此，筆者的做法是緊扣教材，以必需、夠用為基本要求，以概念、命題為核心，以運算、應(yīng)用為主體，幫助學生構(gòu)建基本的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)，重在提高認知結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性、清晰性與可利用性，盡量建構(gòu)實用、精煉的CPFS結(jié)構(gòu)，以適應(yīng)不同層次的學生發(fā)展所需。

[1]喻平.數(shù)學學習心理的CPFS結(jié)構(gòu)理論與實踐[M].南寧：廣西教育出版社，2008:127-136.

[4]喻平.個體CPFS結(jié)構(gòu)與數(shù)學問題表征的相關(guān)性研究[J].數(shù)學教育學報，2003，12（3）:10-12.

[5]孫利,魏立平.構(gòu)建基于CPFS理念下的數(shù)學理解[J].泰山學院學報，2012，34（6）:129-133.

G642

A

1673-0046（2016）10-0099-02

河南省教育科學“十二五”規(guī)劃課題《CPFS結(jié)構(gòu)在高職數(shù)學學習中的應(yīng)用研究》（〔2015〕-JKGHYB-0718）