利用函數(shù)恒成立思想解決數(shù)列不等式的證明問題

唐友建，鄒桂蘭

（肇慶中學(xué)，廣東 肇慶 526060）

數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，數(shù)列不等式的放縮主要會(huì)用到數(shù)列本身的特性，比如將數(shù)列放縮成等比數(shù)列、等差數(shù)列、等差比數(shù)列，或者裂項(xiàng)等能求和的數(shù)列通項(xiàng)形式，放縮的形式主要是通過觀察，缺乏應(yīng)有的理論依據(jù)。本文中，筆者提供一種利用函數(shù)恒成立的觀點(diǎn)解決數(shù)列不等式的證明方法。

一、利用函數(shù)恒成立思想放縮數(shù)列通項(xiàng)

方法2

恒成立，

點(diǎn)評(píng)：本題的關(guān)鍵是將數(shù)列通項(xiàng)放縮成等比數(shù)列或裂項(xiàng)形式的通項(xiàng)，求和后再放縮，得到我們需要的結(jié)果。用類似方法還可以證明。進(jìn)一步地，我們還可以將上面不等式改成另一個(gè)不等式。

點(diǎn)評(píng)：這3道例題都是先將數(shù)列通項(xiàng)放縮為等比數(shù)列或者裂項(xiàng)形式數(shù)列求和，再進(jìn)行放縮，得到目標(biāo)結(jié)果。關(guān)鍵點(diǎn)在于如何將數(shù)列通項(xiàng)放縮為等比數(shù)列形式，其核心點(diǎn)即是函數(shù)恒成立思想。

二、利用函數(shù)恒成立思想對(duì)數(shù)列求和延后放縮

利用函數(shù)恒成立方法放縮的誤差有時(shí)候很大，得不到我們需要的結(jié)論，此時(shí)可以嘗試前面1項(xiàng)或幾項(xiàng)不放縮，而是從第2項(xiàng)、第3項(xiàng)甚至第4項(xiàng)才開始放縮，從而得到準(zhǔn)確的結(jié)論。

例4 已知數(shù)列{an}滿足n∈N)。

（1）求{an}的通項(xiàng)公式an。

（2）設(shè)cn=,數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Tn,求證：

下面證明（2）。

點(diǎn)評(píng)：本題第（2）問的解題思路是將數(shù)列通項(xiàng)放縮成等比數(shù)列或裂項(xiàng)形式進(jìn)行求和，再進(jìn)行放縮；如還不能得到目標(biāo)結(jié)果，可適當(dāng)對(duì)數(shù)列通項(xiàng)延后放縮，減少誤差。類似的，我們也可以使前面的問題得到更精確的答案，如將例1中的證明,進(jìn)一步改成放縮延后到第2項(xiàng)、第3項(xiàng)，分別得到結(jié)論：,,等等。

數(shù)列不等式是一類綜合性較強(qiáng)的問題，可以利用函數(shù)恒成立思想對(duì)數(shù)列不等式進(jìn)行放縮、求解。在解題過程中要充分挖掘題設(shè)條件信息，將條件進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化、加強(qiáng)、放縮，同時(shí)結(jié)合問題的結(jié)構(gòu)、形式等特征，使條件與結(jié)論建立聯(lián)系，從而使解題思路順暢。其中合理、恰當(dāng)?shù)姆趴s或者延后放縮是能否順利解題的關(guān)鍵。

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