積分因子法在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用

馬宗立，岳素芳

（安慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院，安徽安慶246133）

積分因子法在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用

馬宗立，岳素芳

（安慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院，安徽安慶246133）

在方程兩邊同乘某一個積分因子來求解微分方程，往往可以起到事半功倍的效果，而這種思想對一些證明問題同樣有效。結(jié)合一些具體的例子，本文討論了積分因子法在數(shù)學(xué)分析中的一些應(yīng)用。

積分因子；洛必達(dá)法則；熱方程；Gronwall不等式

1 積分因子法在極限理論中的應(yīng)用

分析：此例考查的是f(x)的極限與f(x)+f′(x)極限的關(guān)系，而f（x）+f′（x）可利用積分因子將其視為某一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，所以問題就是某一函數(shù)極限及其導(dǎo)數(shù)極限的關(guān)系，可以利用洛必達(dá)法則，也可以利用牛頓-萊布尼茨公式來證明。

證明（1）應(yīng)用推廣的羅比達(dá)法則證明。

注1上述證明雖然簡單明了，但是要求大家對推廣的洛必達(dá)法則要熟練，而關(guān)于推廣的洛必達(dá)法則的證明也不是一目了然的事情。下面給出一種新的證明方法。

（2）利用牛頓-萊布尼茨公式證明。

2 積分因子法在微分學(xué)中的應(yīng)用

積分因子法的求解思想主要是當(dāng)目標(biāo)函數(shù)或方程中同時出現(xiàn)某一函數(shù)的一次項及其導(dǎo)數(shù)項的時候，可以構(gòu)造積分因子，將其整體視為某一函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

例2設(shè)f（x）在[0,1]上可導(dǎo)，且f（0）=f（1）=0，求證：存在ζ∈（0,1），使得f′（ζ）+f（ζ）=0。

分析:此例中所要證明的結(jié)論中含有目標(biāo)函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)，通過積分因子，構(gòu)造一個函數(shù)，使左端整體上恰為某一函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，這樣就可以利用洛爾定理來證明。

證明令F（x）=exf（x），則F（x）在[0,1]連續(xù)。又因為f(0)=f(1)=0，所以，由洛爾定理知存在ζ∈（0,1），使得f′（ζ）=0，即eζf（ζ）+eζf′（ζ）=0，又eζ＞0，所以f′（ζ）+f（ζ）=0。

注2如果所證結(jié)論改為f′（ζ）-f（ζ）=0，則只需令F（x）=e-xf（x）即可。

對二階變系數(shù)方程的求解一般都是很困難的，但是如果能夠求出其積分因子，可以將二階方程化為一階方程來求解。

分析：利用積分因子法對二階微分方程求解，一般可以先確定方程中的低階部分的積分因子，然后選取合適的一個使其也是高階部分的積分因子。

在某些偏微分方程中，利用積分因子法也可起到事半功倍的效果?？紤]如下熱方程:

例4求解

其中p(t)，φ(x)為給定的連續(xù)函數(shù)。

則原方程化為

利用傅里葉變換可解得

于是由（2）式即可得到原方程的解。

注3若直接利用傅里葉變換對原方程進(jìn)行求解，將十分困難，利用積分因子先將原方程化簡再進(jìn)行求解，則問題迎刃而解。

3 積分因子法在積分學(xué)中的應(yīng)用

除了在等式或極限式中可以應(yīng)用積分因子法之外，在某些不等式中也可以考慮利用積分因子法。下面的例子是著名的Gronwall不等式。

例5設(shè)K是非負(fù)常數(shù)，f(t)，g(t)為在區(qū)間[a, b]上的非負(fù)連續(xù)函數(shù)，且滿足不等式

分析：本例中雖然沒有明顯的出現(xiàn)某一函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的和或差，但是知道連續(xù)函數(shù)必有原函數(shù)，也就是它的積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)就是其本身，因此也可以利用積分因子法。

4 結(jié)束語

本文從一階線性常微分方程的求解思想出發(fā)，總結(jié)了數(shù)學(xué)分析中一些常見的利用積分因子法的例子，這些例子不僅涉及微分中值定理、微積分基本定理等重要的知識點，還涉及一些重要的不等式。在涉及上述問題時，如果能考慮利用積分因子法來證明將會使問題迎刃而解。

[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系．?dāng)?shù)學(xué)分析（下冊）[M].北京：高等教育出版社，2001.

[2]陳紀(jì)修，於崇華，金路.數(shù)學(xué)分析（下冊）[M].北京：高等教育出版社，2000．

[3]裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法[M].2版.北京：高等教育出版社，2006.

[4]EVANSL C.Partialdifferentialequations[M].Providence：American MathematicalSociety，1997.

Applicationsof the Integral Factor Method in MathematicalAnalysis

MA Zong-li，YUE Su-fang
(School of Mathematics and Computing Science，Anqing Normal University，Anqing,Anhui246133，China)

Multip lying by the integral factor in both sides of the equation often have twice the result with half effortwhen we solve some equations.This idea is also effective for some proofs.Combiningwith some concrete examples，we discuss some app lications of the integral factormethod in themathematical analysis.

integral factor；L’hospita’s rule；heat equation；Gronwall’s inequality

O171

A

1007-4260(2016)04-0128-02

時間：2017-1-3 17:19

http://www.cnki.net/kcms/detail/34.1150.N.20170103.1719.032.html

2016-01-10

安徽省教育廳一般研究項目（AQKJ2014B011）。

馬宗立，男，山東臨沂人，碩士，安慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院講師，研究方向為偏微分方程及數(shù)學(xué)教育。

E-mail:sdmzl@126.com

10.13757/j.cnki.cn34-1150/n.2016.04.032