周期分段函數(shù)的不定積分求解

王何慧，尹蘭，張海

（安慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院安徽安慶246133）

周期分段函數(shù)的不定積分求解

王何慧，尹蘭，張海*

（安慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院安徽安慶246133）

本文討論了一類周期分段函數(shù)的不定積分求解，利用變上限積分和定積分的幾何意義得出該類不定積分的一般求解公式，并給出實例說明所得結(jié)果。

不定積分；周期分段函數(shù)；變上限積分

在大學(xué)數(shù)學(xué)分析中出現(xiàn)過許多分段函數(shù)求其不定積分[1]，通常方法是分段求其不定積分，然后利用不定積分的連續(xù)性求出各段參數(shù)之間的關(guān)系[2]。但對那些周期分段函數(shù)，若按該方法在一個周期內(nèi)求解，所求得的結(jié)果往往不能保證所求得的原函數(shù)在周期的端點或者分段點都連續(xù)，如華東師范大學(xué)《數(shù)學(xué)分析》（第四版）教材出現(xiàn)這樣的一道習(xí)題：求│sin x│d x[3]。眾多參考文獻所給的答案大同小異[4-5]，其主要過程均為

由于│sin x│在(-∞,+∞)上連續(xù)，故其原函數(shù)在(-∞,+∞)上連續(xù)可微。因此，此過程給出的結(jié)果雖然在x=（2k+1）π，k∈Z處滿足連續(xù)可微，但在x=2kπ，k∈Z處間斷。

不妨取C=0，由（1）式，可知：

為│sin x│d x的一個原函數(shù)。但

故F(x)不連續(xù)，因此該題的求解是值得商榷的。

那么，對于該題或這類問題應(yīng)該怎么求解呢？本文將這類不定積分的求解先把不定積分轉(zhuǎn)化為變上限定積分，再結(jié)合定積分的幾何意義進行求解。

例如上例中的│sin x│d x可采用如下方法進行求解：

由微積分學(xué)基本定理[3]得

由定積分的幾何意義知，定積分為積分函數(shù)

下面給出一個具體的例子。

例求f（x）d x，其中f（x）是x到最近整數(shù)的距離[6]。

解在[-2,2]區(qū)間繪制函數(shù)f（x）的圖像如圖3所示。

圖3

令F（x）=f（x）d x，下面類比上述方法，求F（x）。

（1）當(dāng)x≥0時，

這與利用本文命題所得結(jié)果一致。

[1]馬保國,王延軍.分段函數(shù)、函數(shù)的可積性與原函數(shù)存在性[J].大學(xué)數(shù)學(xué),2009,25(2):200-203.

[2]黃錫年.在被積函數(shù)連續(xù)的區(qū)間上計算不定積分[J].重慶工商大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2003,20(2):96-97.

[3]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析(上)[M].4版.北京:高等教育出版社,2010.

[4]郭政,高理峰.考拉進階大學(xué)教材全解數(shù)學(xué)分析[M].延吉:延邊大學(xué)出版社,2013.

[5]陳建莉,柳衛(wèi)東.分段函數(shù)不定積分求法探討[J].高等數(shù)學(xué)研究,2008,11(6):40-43.

[6]復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析(上)[M].2版.北京:高等教育出版社,2004.

Solving the Indefinite Integralof Periodic Piecewise Functions

WANG He-hui，YIN Lan，ZHANG Hai
（School ofMathematicsand Computation Science，Anqing Normal University，Anqing，Anhui246133，China）

This article discusses a class of periodic piecewise indefinite integral.The general solving formula of indefinite integral is obtained by using variable upper limit integration and the geometricmeaning of the definite integral,and an example is given to illustrate the result.

indefinite integral；periodic piecewise functions；variable upper limit integration

O172

A

1007-4260(2016)04-0005-03

時間：2017-1-3 17:19

http://www.cnki.net/kcms/detail/34.1150.N.20170103.1719.002.html

2016-04-20

王何慧，男，安徽界首人，安慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院學(xué)生，研究方向為數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)。E-mail:2723763641@qq.com

張海，男，安徽桐城人，博士，安慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院教授，研究方向為分?jǐn)?shù)階微分方程。E-mail:zhanghai0121@163.com

10.13757/j.cnki.cn34-1150/n.2016.04.002