一類半線性橢圓型偏微分方程組邊值問題的可解性研究

吳樂，鐘金標(biāo)

（安慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院，安徽安慶246133）

一類半線性橢圓型偏微分方程組邊值問題的可解性研究

吳樂，鐘金標(biāo)*

（安慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院，安徽安慶246133）

利用不動點定理研究了橢圓型方程組邊值問題的可解性，針對非線性項關(guān)于在無窮遠處和零點處為次線性與超線性情形，討論了一類半線性橢圓型方程組解的存在性。

不動點定理；緊正算子；Green函數(shù)

近幾十年來，非線性偏微分方程（組）是現(xiàn)代微分方程研究的重中之重，在解決物理學(xué)、生態(tài)學(xué)、氣動力學(xué)等領(lǐng)域問題中起著重要的作用。但是非線性偏微分方程求解難度很大，一直以來數(shù)學(xué)工作者們都致力于研究解決非線性偏微分方程（組）的行之有效的方法[1-4]，其中，鐘金標(biāo)[1]運用變分原理深入研究了以下邊值問題

的解的存在性。受此啟發(fā)，本文主要利用不動點定理研究問題

解的可解性，其中a（x），b（x），c（x），d（x）∈C0（Ω，R），Ω?RN(N≥2)是一個有界光滑區(qū)域。本文研究的問題（2）中非線性項b（x）與c（x）不要求相等，因而比問題（1）更具有一般性。對問題（2）中f（x，s，t），g（x，s，t）關(guān)于s，t在∞處和零點處為次線性和超線性兩種情形，利用不動點理論分別證明其解的存在性。

給定條件：

這里記‖wn‖=max｛‖un‖,‖vn‖｝，其中-△算子在有界光滑區(qū)域Ω中0-Dirichlet邊值問題的第一特征值記為λ1，則λ1＞0，與其對應(yīng)的特征函數(shù)φ1在Ω中是正函數(shù)。記

則（2）式可表示為向量方程邊值問題

解的存在性。

引進范數(shù):

參考文獻:

[1]SILVA E D D.Multiplicity for gradient systems with strong resonanceathighereigenvalues[J].Nonlinear Analysis,2010，72：3918-3928.

[2]ZHONG Jinbiao，CHEN Zuchi.Existence and uniqueness of positive solutions to a class of semilinear elliptic systems[J].Acta Mathematica Scientia，2002，22(4)：451-458.

[3]鐘金標(biāo)，陳祖墀.一類擬線性方程組的可解性[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報,2003,26(3):420-426.

[4]ZHONG Jinbiao，CHEN Zuchi.Existence and nonexistence of positive radialsolutions for a classof semilinear elliptic systems[J]. SystemsScienceand Complexity，2004，17（3）:325-331.

[5]DELIMLINGK.Nonlinear foundationalanalysis[M].Berlin:springer, 1985.

[6]GILBARG D,TRUDINGER N S.Elliptic Partial Differential Equationsofsecond Order[M].2nd ed.Berlin:Springer,1983.

Solvability for Boundary Value Problemsof a Classof Semilinear Elliptic Equation System

WU Le，ZHONG Jin-biao
(School ofMathematics and Computational Science,Anqing Normal University,Anqing,Anhui246133,China)

In this paper,the Boundary value problems of semilinear elliptic system is discussed.According to nonlinear terms with sub-linear and super-linear in the infinity and zero point,the existence of solutions for two kinds of semi-linear elliptic systems have been proved by using the fixed point theorem.

fixed point theorem；compact and positive operator；Green function

O175.25

A

1007-4260(2016)04-0001-04

時間：2017-1-3 17:19

http://www.cnki.net/kcms/detail/34.1150.N.20170103.1719.001.html

2016-03-26

吳樂，女，安徽桐城人，安慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院碩士研究生，研究方向為偏微分方程。E-mail：1223343647@qq.com

鐘金標(biāo)，男，安徽安慶人，博士，安慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院教授，碩士生導(dǎo)師，研究方向為偏微分方程。

E-mail：zjb@aqnu.edu.cn.

10.13757/j.cnki.cn34-1150/n.2016.04.001