多維超幾何分布的概率計(jì)算問(wèn)題研究

李玉萍, 張金諾

(1.鄭州師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,鄭州 450044; 2.中國(guó)地質(zhì)大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院,武漢 430074)

多維超幾何分布的概率計(jì)算問(wèn)題研究

李玉萍1, 張金諾2

(1.鄭州師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,鄭州 450044; 2.中國(guó)地質(zhì)大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院,武漢 430074)

把超幾何分布進(jìn)行了推廣，引出多維超幾何分布的定義,給出了多維超幾何分布最可能成功數(shù).并在此基礎(chǔ)上,探討了多維超幾何分布、多項(xiàng)分布和多維Poission分布之間的極限分布,從而可以解決超幾何分布的概率計(jì)算問(wèn)題.

超幾何分布;最可能成功數(shù);多項(xiàng)分布;多維Poission分布

超幾何分布是產(chǎn)品計(jì)數(shù)抽樣檢驗(yàn)和可靠性問(wèn)題中經(jīng)常遇到的一類重要的概率模型.但是在實(shí)際的抽樣調(diào)查中，還經(jīng)常遇到定性的問(wèn)題，例如總體的N個(gè)個(gè)體中，總體包含A1,A2,…,Ar共r類屬性.此時(shí)被研究的對(duì)象就推廣為3種或3種以上，于是我們就需要對(duì)超幾何分布進(jìn)一步推廣，引申出多維超幾何分布.文獻(xiàn)[1]用概率母函數(shù)求出了超幾何分布的期望和方差，文獻(xiàn)[2]給出了超幾何分布概率的遞推算法，文獻(xiàn)[3]給出了超幾何分布數(shù)字特征的定義求法，文獻(xiàn)[4]給出了超幾何分布高階矩的簡(jiǎn)便求法，文獻(xiàn)[5]對(duì)超幾何分布的概率計(jì)算進(jìn)行了探討，文獻(xiàn)[6]對(duì)超幾何分布的定義進(jìn)行了推廣，文獻(xiàn)[7]對(duì)多維超幾何分布的協(xié)方差矩陣進(jìn)行了簡(jiǎn)單求解，文獻(xiàn)[8]把多維超幾何分布的最可能成功數(shù)推廣到三維，文獻(xiàn)[9]給出了3種分布之間的極限關(guān)系.本文把多維超幾何分布的最可能成功數(shù)推廣到多維并且進(jìn)一步探討了多維超幾何分布、多項(xiàng)分布和多維Poisson分布的極限分布關(guān)系，從而可以有效地解決多維超幾何分布的概率計(jì)算問(wèn)題.

1 超幾何分布的推廣

設(shè)隨機(jī)變量X的分布率為

(k=b,b+1,…,d.其中b=max(0,n+M-N),d=min(n,M))

于是稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布X～H(n,N,M).參數(shù)為n,N,M.

作為超幾何分布的引申推廣，我們?nèi)绻麑⒀芯繉?duì)象由兩種情況推廣為3種或3種以上，就得到了多維超幾何分布.

其中(0≤ni≤Ni(i=1,2,…,m),0≤ni≤N).

此時(shí)，稱隨機(jī)向量(X1,X2,…,Xn)服從m維超幾何分布H(k1,k2,…,km).

特殊地，若隨機(jī)向量的聯(lián)合分布為

其中0≤h≤N1,0≤i≤N,0≤n≤N，,這時(shí)稱隨機(jī)向量服從三維超幾何分布.那么它可以表述為：袋中有產(chǎn)品N個(gè)，其中一等品和二等品分別為N1，N2個(gè)，其他為次品，從中不放回地任取n個(gè)，X1與X2表示一等品和二等品的件數(shù).

2 超幾何分布最可能成功數(shù)的推廣

(1)當(dāng)x=m=[(M+1)(n+1)/(N+2)]≠(M+1)(n+1)/(N+2)時(shí)，m為P(x=m)的最可能成功數(shù).

(2)當(dāng)x=m=[(M+1)(n+1)/(N+2)]=(M+1)(n+1)/(N+2)時(shí)，m，m-1都為P(x=m)的最可能成功數(shù).

當(dāng)m1=[(N1+1)(n+1)/(N+2)]且m2=[(N2+1)(n+1)/(N+2)]時(shí)，H(m1,m2,m3)取得最大值，同時(shí)：

(1)當(dāng)m1=[(N1+1)(n+1)/(N+2)]≠(N1+1)(n+1)/(N+2)，m2=[(N2+1)(n+1)/(N+2)]=(N2+1)(n+1)/(N+2)，m3=(N3+1)(n+1)/(N+2)-1時(shí)，H(m1,m2,m3)與H(m1,m2-1,m3+1)都取得最大值.

(2)當(dāng)m1=[(N1+1)(n+1)/(N+2)]=(N1+1)(n+1)/(N+2)，m2=[(N2+1)(n+1)/(N+2)]≠(N2+1)(n+1)/(N+2)，m3=(N3+1)(n+1)/(N+2)-1時(shí)，H(m1,m2,m3)與H(m1,m2-1,m3+1)均為最大.

(3)當(dāng)m1=[(N1+1)(n+1)/(N+2)]=(N1+1)(n+1)/(N+2)，m2=[(N2+1)(n+1)/(N+2)]=(N2+1)(n+1)/(N+2)，m3=(N3+1)(n+1)/(N+2)-1時(shí)，H(m1,m2,m3)，H(m1-1,m2,m3+1)，H(m1,m2-1,m3+1)均取得最大值.

于是可以推廣得到

(1)當(dāng)mi=[(Ni+1)(n+1)/(N+2)]≠(Ni+1)(n+1)/(N+2)時(shí)，xi=mi(i=1,2,…,r-1)使得H(m1,m2,m3)取得最大值.

(2)當(dāng)mi=[(Ni+1)(n+1)/(N+2)]=(Ni+1)(n+1)/(N+2)時(shí)，且mr=(Nr+1)(n+1)/(N+2)-1時(shí)，H(m1或m1-1,m2,…,mr-1-1,mr+1),H(m1,m2或m2-1,…,mr-1,mr+1),…,H(m1,m3,…,mr-1或mr-1-1,mr+1)都是最大值.

(3)當(dāng)xi(i=1,2,…,r-1)中有b個(gè)xi對(duì)于[(Ni+1)(n+1)/(N+2)]≠(Ni+1)(n+1)/(N+2)成立，而另外d個(gè)xi對(duì)于[(Ni+1)(n+1)/(N+2)]=(Ni+1)(n+1)/(N+2)成立，b+d=r-1，且mr=(Nr+1)(n+1)/(N+2)-1時(shí)，

上述b個(gè)xi相應(yīng)地取值為xi=mi，d個(gè)xi取值為xi=mi或者xi=mi-1,同時(shí)當(dāng)mr=(Nr+1)(n+1)/(N+2)-1時(shí)，得H(x1,x2,x3)達(dá)到最大值.

3 多維超幾何分布的極限分布及概率計(jì)算

3.1 r維超幾何分布趨向于r項(xiàng)分布

服從(n,p1,p2,…,pr)的r項(xiàng)分布表述了這樣的一種概率模型：在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中(注：放回有序抽樣)，試驗(yàn)結(jié)果具有特征(A1,A2,…,Ar)，個(gè)數(shù)分別為(m1,m2,…,mr)，這里P(Ai)=pi,i=1,2,…,r.

同時(shí)r維超幾何分布與r項(xiàng)分布之間聯(lián)系密切.多維超幾何分布源于不放回抽樣，多項(xiàng)分布源于放回抽樣.所以當(dāng)總體中元素的數(shù)量N很大，抽樣的次數(shù)n相對(duì)很小時(shí)，不放回抽樣可以近似等同放回抽樣.因此,可以認(rèn)為r維超幾何分布的極限分布是r項(xiàng)分布.即有：

定理2假定r維超幾何分布中參數(shù)Ni滿足條件

則r維超幾何分布的極限分布可認(rèn)為是r項(xiàng)分布.對(duì)于任意自然數(shù)n和給定的滿足mi=0,1,…,n,m1+m2+…+mr=n的m1,m2,…,mr,有

當(dāng)N→∞時(shí)，也有Ni→∞,i=1,2,…,r,那么在上式中令N→∞時(shí)，定理中的結(jié)論得以證明.

3.2 r項(xiàng)分布近似于r-1維的Poisson分布

定義2假定λ1,λ2,…,λr是r個(gè)正實(shí)數(shù)，如果r維隨機(jī)向量(X1,X2,…,Xr)取值(m1,m2,…,mr)的概率為

r維Poisson分布描述了這樣的一種分布，隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果具有特征(A1,A2,…,Ar)，個(gè)數(shù)為(m1,m2,…,mr)，而其中每一個(gè)特征Ai出現(xiàn)的個(gè)數(shù)，有可能為一切非負(fù)的整數(shù).

定理3在r項(xiàng)分布中，如果以pn,i代替pi(n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，試驗(yàn)結(jié)果具有特征Ai的概率為：P(Ai)=pn,i)，假定pn,i滿足

必有r項(xiàng)分布的極限服從于r-1維的Poisson分布，即對(duì)于給定的

mi=0,1,2,…；i=1,2,…,r-1(mr=n-(m1+m2+…+mr-1))，都有

證明若記λn,j=npn,j,則有

同時(shí)，n→∞時(shí)，對(duì)于任意的定值m1，m2，…，mr-1，

而且

定理3得證.

[1] 馬松林.超幾何分布的數(shù)學(xué)期望和方差的一種新求法[J].巢湖學(xué)院學(xué)報(bào)，2006,8(3)：139-140.

[2] 唐守憲.超幾何分布的遞推算法[J].遼寧師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2004,2(3):13-14.

[3] 匡能輝.超幾何分布的數(shù)學(xué)期望和方差的定義求法[J].高等數(shù)學(xué)研究，2010,4(3):15-16.

[4] 李金秋，田秋菊.超幾何分布高階矩的一種簡(jiǎn)便算法[J].科學(xué)技術(shù)與工程，2010,32(3):39-40.

[5] 李玉萍，劉心馨.超幾何分布的數(shù)字特征和概率計(jì)算的探討[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2015,31(3):102-105.

[6] 燕建梁.超幾何分布及其推廣[J].太原師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2013,12(1):21-23.

[7] 呂宏嘯.多維超幾何分布協(xié)方差矩陣的簡(jiǎn)單求法[J].佳木斯大學(xué)學(xué)報(bào)，2012,30(6):944-945.

[8] 孟雪，宋立新.多維超幾何分布的最可能成功數(shù)[J].佳木斯大學(xué)學(xué)報(bào)，2010,28(4):590-592.

[9] 戴朝壽，姚承軒.多維超幾何分布、多項(xiàng)分布與多維Poisson分布之間的關(guān)系[J].徐州師范學(xué)院學(xué)報(bào)，1994,12(2):12-15.

[責(zé)任編輯 王新奇]

Study on the Problem of Probability Calculation ofMultidimensional Hyper Geometric Distribution

LI Yu-ping1, ZHANG Jin-nuo2

(1. School of Mathematics and Statistics, Zhengzhou Normal University, Zhengzhou 450044, China;2. School of Economics and Management, China University of Geosciences, Wuhan 430074, China)

In this paper, the hyper geometric distribution is generalized, and the definition of multidimensional hyper geometric distribution is drawn out, and the most probable success number of multidimensional hyper geometric distribution is given. And on the basis of this, the limit distribution of multidimensional hyper geometric distribution, multinomial distribution and multidimensional Poission distribution are discussed, which can solve the problem of the probability calculation of the hyper geometric distribution.

hyper geometric distribution; the most probable success number; multinomial distribution; multidimensional Poission distribution

1008-5564(2016)05-0012-04

2016-03-16

河南省教育廳重點(diǎn)項(xiàng)目(2016-JSJYZD-072)；河南省科技廳軟科學(xué)計(jì)劃項(xiàng)目(132400410697)

李玉萍(1971—),女，河南鄭州人，鄭州師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院副教授，碩士，主要從事概率分布論研究.

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