基于比例odds模型最小次序統(tǒng)計(jì)量的隨機(jī)比較

張藝馨（天水師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，甘肅 天水 741001）

基于比例odds模型最小次序統(tǒng)計(jì)量的隨機(jī)比較

張藝馨
（天水師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，甘肅 天水 741001）

在比例odds模型的框架下，對(duì)它的最小次序統(tǒng)計(jì)量作了隨機(jī)比較，包括似然比序，失效率序和隨機(jī)序.

隨機(jī)序；反失效率序；似然比序；比例odds模型

1　研究背景和預(yù)備知識(shí)

近年來(lái)，次序統(tǒng)計(jì)量倍受國(guó)內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注，它在統(tǒng)計(jì)推斷、擬合優(yōu)度檢驗(yàn)、可靠性理論及經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域都有重要應(yīng)用.若有一組隨機(jī)變量X1，X2，…，Xn，可能服從相同的或不同的分布，則用Xi：n表示第i個(gè)次序統(tǒng)計(jì)量.很多文章對(duì)獨(dú)立同分布的情形做了研究，【1-3】由于非獨(dú)立同分布樣本的次序統(tǒng)計(jì)量比較復(fù)雜，所以僅有有限的文章討論了此種情形.［4-7］

Marshall&Olkin［8］通過(guò)生成一個(gè)參數(shù)擴(kuò)展了生存函數(shù)為（x）的分布族，并且定義這族生存函數(shù)為

若獨(dú)立隨機(jī)變量組X1，X2，…，Xn滿足

則稱這組隨機(jī)變量屬于比例odds模型.這里就比例odds模型最小次序統(tǒng)計(jì)量的隨機(jī)性質(zhì)進(jìn)行研究.

定義1設(shè)兩個(gè)隨機(jī)變量X和Y分別具有密度函數(shù) f和g以及分布函數(shù)F和G.令

為相應(yīng)的生存函數(shù)，則

（1）若g（x）f（x）關(guān)于x單調(diào)遞增，則稱X以似然比序小于Y，記作X≤lrY；

定義1中的隨機(jī)序有以下包含關(guān)系：

定義2給定兩個(gè)向量x=（x1，…，xn）∈?n和

（3）若向量x與y的每一個(gè)分量都嚴(yán)格大于零，且

定義2中的序有如下關(guān)系：

引理1［10］令I(lǐng)??是一個(gè)開(kāi)區(qū)間，并令φ：In→?連續(xù)可導(dǎo).則稱φ在In上是Schur-凸［Schur-凹］當(dāng)且僅當(dāng)φ在In上對(duì)稱并對(duì)所有i≠j，

引理2［11］函數(shù)滿足

當(dāng)且僅當(dāng)

2　結(jié)果及其證明

定理1設(shè)有兩組獨(dú)立非負(fù)隨機(jī)變量X1，…，Xn和Y1，…，Yn，分 別 滿 足 Xi～G（x；αi）且Yi～G（x；βi），i=1，…，n，這里αi＞0，βi＞0，i=1，…，n.如果

那么，X1：n≤stY1：n.

證明 X1：n的生存函數(shù)為

要證明X1：n≤stY1：n.，只需證明

這里ai=logαi，i=1，…，n.此時(shí)對(duì)任意k，l∈1，…，n，

定理2設(shè)有兩組獨(dú)立非負(fù)隨機(jī)變量X1，…，Xn和 Y1，…，Yn，并且滿足 Xi～G（x；αi）且 Yi～G（x；βi），i=1，…，n，這里αi＞0，βi＞0，i=1，…，n.如果

那么，X1：n≤hrY1：n.

證明 X1：n的概率密度函數(shù)為

它的失效率函數(shù)為

對(duì)h（α）求導(dǎo)可得

再次求導(dǎo)有

定理3設(shè)有兩組獨(dú)立非負(fù)隨機(jī)變量X1，…，Xn和Y1，…，Yn，并且滿足 Xi～G（x；αi）且 Yi～G（x；βi），i=1，…，n，這里αi＞0，βi＞0，i=1，…，n.如果

那么，X1：n≤lrY1：n.

證明 X1：n與Y1：n的概率密度函數(shù)之比為

對(duì)h（x）求導(dǎo)有

其中

由引理2，可得h1（x）≥h2（x）.所以h（x）關(guān)于x遞增，結(jié)論成立.

3　總　結(jié)

通過(guò)本論文的研究，對(duì)比例odds模型最小次序統(tǒng)計(jì)量有了相對(duì)完整的隨機(jī)序比較結(jié)果，以后可以對(duì)比例odds模型最大次序統(tǒng)計(jì)量的隨機(jī)序進(jìn)行研究，也可以對(duì)基于指數(shù)分布的比例odds模型的次序統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行研究。

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〔責(zé)任編輯 高忠社〕

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A

1671-1351（2016）02-0016-03

2016-01-12

張藝馨（1989-），女，甘肅平?jīng)鋈?，天水師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院教師。