雙層位勢(shì)問(wèn)題新的基本解法公式

郭 璇，張耀明

（山東理工大學(xué)理學(xué)院，山東淄博255049）

雙層位勢(shì)問(wèn)題新的基本解法公式

郭 璇，張耀明

（山東理工大學(xué)理學(xué)院，山東淄博255049）

基于單層位勢(shì)和疊加原理的傳統(tǒng)的基本解法，在求解某些有限域問(wèn)題時(shí)，虛邊界位置的選擇會(huì)受到一定的限制，在求解某些無(wú)限域問(wèn)題時(shí)可能會(huì)無(wú)解。為此提出了基于雙層位勢(shì)和疊加原理的改進(jìn)的基本解法，避免了傳統(tǒng)基本解法的不足。該方法適合求解任何邊值問(wèn)題，其特點(diǎn)是有限域問(wèn)題和無(wú)限域問(wèn)題的基本解法公式具有不同的形式。

基本解法；雙層位勢(shì)；位勢(shì)問(wèn)題

基本解法（MFS）是由Kupradze和Aleksidze［1］在20世紀(jì)60年代提出的一種著名的邊界型數(shù)值方法?；窘夥ǖ膬?yōu)點(diǎn)是不需要?jiǎng)澐志W(wǎng)格或者單元，也不需要邊界積分，同時(shí)避免了邊界元法中的奇異性和幾乎奇異性，具有程序設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單、計(jì)算速度快、計(jì)算精度高等優(yōu)點(diǎn)，至今已被廣泛應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域，取得了很好的效果［2－8］。然而，基于單層位勢(shì)和疊加原理的傳統(tǒng)的基本解法具有一定的局限性，如在求解某些有限域問(wèn)題時(shí)，虛邊界位置的選擇會(huì)受到一定的限制，在求解某些無(wú)限域問(wèn)題時(shí)可能無(wú)解。此外，基本解法的數(shù)值解的精度與虛擬邊界的選取位置密切相關(guān)，距離太近無(wú)法避免基本解的奇異性，距離太大有時(shí)可能導(dǎo)致線性系統(tǒng)矩陣高度病態(tài)，不能求得問(wèn)題的有效解。虛、實(shí)邊界之間的“距離選擇”一直是一個(gè)未能很好解決的問(wèn)題，一般靠研究者的經(jīng)驗(yàn)和誤差實(shí)驗(yàn)進(jìn)行判斷。針對(duì)這些情況，文獻(xiàn)［9－10］分析了距離選擇與問(wèn)題解的性態(tài)之間的關(guān)系，結(jié)果表明：當(dāng)問(wèn)題的解可以解析開(kāi)拓時(shí)，虛、實(shí)邊界之間的“最大距離”不受限制。文獻(xiàn)［11］借鑒等價(jià)間接邊界積分方程的形式改進(jìn)了基于單層位勢(shì)基本解法公式，并對(duì)基本解法線性系統(tǒng)矩陣進(jìn)行了規(guī)則化，應(yīng)用于薄體結(jié)構(gòu)問(wèn)題的研究，但沒(méi)有從理論上分析方法的合理性。本文從理論和數(shù)值實(shí)驗(yàn)兩方面對(duì)傳統(tǒng)基本解法的局限性進(jìn)行了分析，并在此基礎(chǔ)上提出了基于雙層位勢(shì)的基本解法。

1 邊值問(wèn)題

本文假定Ω是R2中的一個(gè)有界域，Ωc是其開(kāi)補(bǔ)，Γ＝?Ω是它們共同的邊界。有界域Ω上的邊值問(wèn)題是［9］

無(wú)限域Ωc上的邊值問(wèn)題是

式（1）～（2）中：▽2為拉普拉斯算子；n為邊界外法線；Γu，Γq分別是u和?u／?n已知的邊界。二維位勢(shì)問(wèn)題控制方程的基本解為

式中x＝（x1，x2），y＝（y1，y2）分別為場(chǎng)點(diǎn)和源點(diǎn)，為兩點(diǎn)之間的距離。

2 傳統(tǒng)的基本解法的局限性

傳統(tǒng)基本解法的公式是

這里l＝l（y）是在點(diǎn)y處的任一方向。

筆者發(fā)現(xiàn)：傳統(tǒng)的基本解法式（4）不具有普遍適用性。對(duì)某些內(nèi)邊值問(wèn)題，虛邊界（虛源位置）的選擇受到一定的限制，對(duì)于某些外邊值問(wèn)題，基本解法失效。

考慮一個(gè)內(nèi)邊值問(wèn)題：

這里Br（0）是以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心、半徑為r＜1的圓域，?Br（0）是Br（0）的邊界。顯然問(wèn)題（5）的解析解是u（x）＝x1＋x2＋1，于是u（0）＝1?，F(xiàn)在用基本解式（4）求解問(wèn)題（5）。假設(shè)所選的虛源節(jié)點(diǎn)xj（j＝1，…，n）位于單位圓周?B1上，那么對(duì)于基本解法式（4），無(wú)論｛aj｝取何值，總有uMFS（0）＝0，因此對(duì)于任意的r＜1，相應(yīng)的邊值問(wèn)題（5）的解總不能由基本解式（4）求得，表明虛邊界的選擇受到一定的限制。

數(shù)值結(jié)果也表明了這一點(diǎn)。在應(yīng)用傳統(tǒng)基本解式（4）求解問(wèn)題（5）時(shí)，取r＝1／2，選擇44個(gè)均布的虛源點(diǎn)位于單位圓周上。表1給出了部分邊界節(jié)點(diǎn)上邊界通量?u／?n的數(shù)值結(jié)果，表2給出了內(nèi)點(diǎn)溫度的數(shù)值結(jié)果。從表1和表2可看出：無(wú)論是內(nèi)點(diǎn)計(jì)算，還是邊界點(diǎn)計(jì)算，結(jié)果都不正確，驗(yàn)證了前面的理論分析。

表1 邊界法向通量的數(shù)值結(jié)果

表2 內(nèi)點(diǎn)溫度的數(shù)值結(jié)果

現(xiàn)在考慮如下外邊值問(wèn)題

例如，考慮如下邊值問(wèn)題

這里B1（0）是中心在原點(diǎn)、半徑為1的圓域，是其邊界

在應(yīng)用傳統(tǒng)基本解式（4）求解問(wèn)題（7）時(shí)，44個(gè)虛源點(diǎn)均布在半徑為0.5的圓周上。表3給出了部分邊界節(jié)點(diǎn)上邊界通量?u／?n的數(shù)值結(jié)果，表4給出了內(nèi)點(diǎn)溫度的數(shù)值結(jié)果。從表3和表4可看出：內(nèi)點(diǎn)和邊界點(diǎn)的數(shù)值結(jié)果都不正確，驗(yàn)證了前面的理論分析。

表3 內(nèi)點(diǎn)溫度的數(shù)值結(jié)果

表4 邊界法向通量的數(shù)值結(jié)果

3 基于雙層位勢(shì)的基本解法

為了避免傳統(tǒng)基本解法的不足，本文提出基于雙層位勢(shì)的基本解法。對(duì)于內(nèi)邊值問(wèn)題（1），基本解法公式是

現(xiàn)在應(yīng)用基于雙層位勢(shì)的基本解法式（8）求解問(wèn)題（5），仍取r＝1／2。同樣地，選擇44個(gè)虛源點(diǎn)均布于單位圓周?B1（0）上。表5給出了內(nèi)點(diǎn)溫度的數(shù)值結(jié)果，表6給出了部分邊界點(diǎn)上的法向通量?u／?n的數(shù)值結(jié)果。從表5和表6可以看出：無(wú)論是內(nèi)點(diǎn)溫度的數(shù)值結(jié)果還是邊界量的數(shù)值結(jié)果都達(dá)到了很高的精度。這表明：基本解式（8）完全避免了傳統(tǒng)的基本解式（4）的弊病。

對(duì)于外邊值問(wèn)題（2），基于雙層位勢(shì)的基本解法公式是

現(xiàn)在應(yīng)用基本解法式（8）來(lái)求解問(wèn)題（3）。同樣地，選擇44個(gè)虛源點(diǎn)均布于半徑為0.5的圓周上。表7給出了內(nèi)點(diǎn)溫度的數(shù)值結(jié)果，表8給出了部分邊界點(diǎn)上的法向通量?u／?n的數(shù)值結(jié)果。從表7和表8可以看出：無(wú)論是內(nèi)點(diǎn)溫度的數(shù)值結(jié)果還是邊界量的數(shù)值結(jié)果都達(dá)到了很高的精度。這表明：基本解式（8）完全地避免了傳統(tǒng)的基本解式（4）的弊病。

表5 內(nèi)點(diǎn)溫度的數(shù)值結(jié)果

表6 邊界法向通量的數(shù)值結(jié)果

表7 內(nèi)點(diǎn)溫度的數(shù)值結(jié)果

表8 邊界法向通量的數(shù)值結(jié)果

4 結(jié)束語(yǔ)

傳統(tǒng)的基本解法基于單層位勢(shì)和疊加原理，具有一定局限性。本文從理論和數(shù)值計(jì)算兩方面進(jìn)行了分析，提出了基于雙層位勢(shì)和疊加原理的基本解法，可適合于求解任何邊值問(wèn)題。

［1］ KUPRADZE V D，ALEKSIDZE M A.The method of functiona1 equations for the approximate solution of certain boundary value prob1ems［J］.USSR Comput.Math.Math.Phys，1964（4）：82－126.

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［5］ KITAGAWA T.On the numerical stability of the method of fundamental solution applied to the Dirichlet problem［J］.Jpn JAppl Math，1988（5）：123－133.

［6］ GEORGE S A F，YOUSSEF F R.The method of fundamental solutions applied to3D elasticity problems using a continuous collocation scheme［J］.Engineering Analysis with boundary elements，2009，33：330－341.

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［9］ 孫煥純.無(wú)奇異邊界元法［M］.大連：大連理工大學(xué)出版社，1999.

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［11］王發(fā)杰，張耀明，公顏鵬.改進(jìn)的基本解法在薄體各向異性位勢(shì)Cauchy問(wèn)題中的應(yīng)用［J］.工程力學(xué)，2016，32（2）：18－24.

（責(zé)任編輯陳 艷）

A New Method of Fundamental Solution Formulation to Double Layer Potential Problems

GUO Xuan，ZHANG Yao-ming

（School of Mathematics，Shandong University of Technology，Zibo 255049，China）

The conventional method of fundamental solution（MFS），based on the single layer potential and the superposition principle，has many shortcomings，for instance，for special interior problems its fictitious boundary location may be limited and for certain exterior problems it may fail.In this paper，a new method of fundamental solution formulation，which is built on the double layer potential and the superposition principle，is developed.The method avoids some disadvantages of the traditional method of fundamental solution and thus is suitable for solving any boundary value problems.

method of fundamental solution（MFS）；double layer potential；potential problems

O241.8

A

1674－8425（2016）12－0165－06

10.3969／j.issn.1674－8425（z）.2016.12.026

2016－05－27

山東省自然科學(xué)基金重點(diǎn)資助項(xiàng)目（ZR2010AZ003）

郭璇（1992—），女，碩士研究生，主要從事科學(xué)計(jì)算與力學(xué)研究，E-mail：m18369972890＠163.com。

郭璇，張耀明.雙層位勢(shì)問(wèn)題新的基本解法公式［J］.重慶理工大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)），2016（12）：165－170.< class="emphasis_bold">Citationformat：

format：GUO Xuan，ZHANG Yao-ming.A New Method of Fundamental Solution Formulation to Double Layer Potential Problems［J］.Journal of Chongqing University of Technology（Natural Science），2016（12）：165－170.