考慮結(jié)構(gòu)高階振型信息的AMD低維控制器設(shè)計①

滕 軍, 陳朝駿, 幸厚冰, 盧 偉

(1.哈爾濱工業(yè)大學(xué)深圳研究生院，廣東 深圳 518055; 2.福建工程學(xué)院土木工程學(xué)院，福建 福州 350118；3.中國建筑第四工程局有限公司華南公司，廣東 廣州 510660)

考慮結(jié)構(gòu)高階振型信息的AMD低維控制器設(shè)計①

滕 軍1,2, 陳朝駿1, 幸厚冰3, 盧 偉1

(1.哈爾濱工業(yè)大學(xué)深圳研究生院，廣東 深圳 518055; 2.福建工程學(xué)院土木工程學(xué)院，福建 福州 350118；3.中國建筑第四工程局有限公司華南公司，廣東 廣州 510660)

為減小AMD控制系統(tǒng)的時滯影響，一般需對被控結(jié)構(gòu)模型作減維處理，但是在減維過程中系統(tǒng)較小特征值對應(yīng)相關(guān)的結(jié)構(gòu)信息被直接舍棄，將使得低維結(jié)構(gòu)缺少原結(jié)構(gòu)高階振型等信息，導(dǎo)致低維模型精度降低，影響控制器的設(shè)計準(zhǔn)確性。在基于均衡截斷法和極點配置算法的低維控制器設(shè)計中，重新考慮舍棄的結(jié)構(gòu)高階信息，該信息包括原結(jié)構(gòu)的高階自振頻率、高階阻尼比以及高階振型模態(tài)信息等，并在進行極點配置之前，先考慮該部分信息對系統(tǒng)極點位置的影響，在控制系統(tǒng)的設(shè)計階段消除了低維模型精度低的不利影響。以10層結(jié)構(gòu)為例，基于改進的低維控制器，以系統(tǒng)控制效果、AMD控制力及行程峰值為指標(biāo)，分析了低維模型對AMD控制系統(tǒng)性能的影響；并以4層框架實驗?zāi)Ｐ偷腁MD控制系統(tǒng)為實例，驗證上述數(shù)值分析結(jié)論的正確性。

振動控制； AMD； 均衡截斷； 極點配置； 維數(shù)

引 言

主動質(zhì)量阻尼器(Active Mass Damper, AMD)具有控制效果好、控制頻帶寬及性價比高的優(yōu)點[1]。目前，有關(guān)AMD控制系統(tǒng)的理論研究較多，但實際工程應(yīng)用并不多見[2-3]。主要原因是AMD控制系統(tǒng)從理論到實際運用仍存在時滯較大等問題，限制了AMD控制系統(tǒng)的性能。

由于高層建筑結(jié)構(gòu)的自由度數(shù)目過多，采用原結(jié)構(gòu)模型設(shè)計的控制器維數(shù)較大，計算速度慢，致使系統(tǒng)的時滯較大，不易達到實時控制的要求，需降低控制器維數(shù)，壓縮計算量及縮短計算時間，減小控制系統(tǒng)的時滯[4]。Zuqing Qu等采用動力縮聚法進行結(jié)構(gòu)減維，并以此設(shè)計ATMD低維控制器[5]；李惠、彭君義等運用均衡截斷法對AMD控制器進行降階處理[6]；李雪峰、王建國等人對混凝土箱梁高架橋模型進行減維及仿真分析[7]；Haiping Du等采用動態(tài)降階獲得20層實驗框架結(jié)構(gòu)的低維模型[8]。

研究表明，低維方法對振動控制意義重大，但以往的研究較少提及低維模型對控制系統(tǒng)的影響，也沒有考慮結(jié)構(gòu)減維后高階振型信息被舍棄導(dǎo)致減維模型的精度降低問題對控制系統(tǒng)的影響。

首先，本文考慮舍棄的結(jié)構(gòu)信息，提出基于均衡截斷法以及極點配置算法的修正控制器設(shè)計方法；其次，本文從系統(tǒng)傳遞函數(shù)、減維維數(shù)出發(fā)，驗證該低維控制器具有良好的性能。通過10層框架結(jié)構(gòu)的AMD控制系統(tǒng)進行數(shù)值模擬，分析低維模型對AMD控制系統(tǒng)性能的影響，并通過實際4層鋼框架結(jié)構(gòu)AMD控制試驗系統(tǒng)驗證數(shù)值分析所得結(jié)論的正確性。

1 AMD控制系統(tǒng)設(shè)計

假設(shè)結(jié)構(gòu)在外激勵作用下，其AMD控制系統(tǒng)為線性定常系統(tǒng)，并且將控制力與外激勵分開考慮，其狀態(tài)方程和觀測方程為

(1)

均衡截斷法[9]可按照結(jié)構(gòu)系統(tǒng)特征值的大小對結(jié)構(gòu)模型的狀態(tài)變量重新排序進而略去可控、可觀測性能較差的系統(tǒng)狀態(tài)變量，形成結(jié)構(gòu)的減維模型。對于穩(wěn)定系統(tǒng)，總存在對原系統(tǒng)狀態(tài)空間方程進行變換，可得特性不變的平衡系統(tǒng)[10]，令

(2)

將式(2)代入式(1)得

(3)

式中Ab=T-1AT，Bb=T-1B，Cb=CT，Db=D以及Eb=T-1E，F(xiàn)b=F，下標(biāo)b為均衡實現(xiàn)系統(tǒng)的對應(yīng)矩陣。

將系統(tǒng)特征值σi降序排列，若σr+1?σr，則σr+1～σn相對應(yīng)的狀態(tài)向量Zr+1～Zn具有較低的可控性與可觀測性，對系統(tǒng)的動力特性反應(yīng)貢獻不大，將該向量舍去，若只保留Z1～Zr的減維系統(tǒng)，r為減維系統(tǒng)的保留維數(shù)，則式(3)可轉(zhuǎn)換為

(4)

式中Abr為Ab的前r階矩陣，Bbr為Bb的前r行矩陣，Cbr為Cb的前r列矩陣，Ebr為Eb的前r列矩陣，Dbr=Db，F(xiàn)br=Fb。

將式(4)所示的原平衡系統(tǒng)寫成分塊矩陣的形式

(5)

將式(2)以分塊矩陣形式表示可得

(6)

將式(6)代入式(5)得控制系統(tǒng)的狀態(tài)方程和觀測方程

(7)

(8)

基于均衡截斷法獲得的低維模型保留了原結(jié)構(gòu)連續(xù)的、具有較大振型質(zhì)量參與系數(shù)的前幾階振型模態(tài)，結(jié)構(gòu)振型質(zhì)量參與系數(shù)是表征結(jié)構(gòu)振型對結(jié)構(gòu)響應(yīng)貢獻度的一個指標(biāo)。在外激勵作用下，柔性結(jié)構(gòu)低階模態(tài)的振型質(zhì)量參與系數(shù)接近于1，而高階的振型質(zhì)量參數(shù)系數(shù)相比較小，因此在滿足工程精度的要求(如保留振型的振型參與系數(shù)之和為0.9)下，可忽略了高階振型對結(jié)構(gòu)速度、加速度響應(yīng)的貢獻，則

(9)

則有

(10)

將式(10)代入式(8)可得到新的低維系統(tǒng)

(11)

基于極點配置算法[11]，先對被控結(jié)構(gòu)原模型進行減維，再基于此低維模型設(shè)計控制器[12]，有研究表明該控制器具有更好的穩(wěn)定性[6]，采用極點配置算法進行反饋控制，則其控制律如下

(12)

將式(12)代入式(1)可得控制系統(tǒng)狀態(tài)方程

(13)

若基于均衡截斷法，可得低維系統(tǒng)的控制律如下

(14)

式中Gbr為低維控制器的反饋增益，將式(14)代入式(11)可寫成

(15)

定義上述減維過程的截斷誤差為

(16)

由式(16)所示的截斷誤差可得系統(tǒng)減維的準(zhǔn)確率為

(17)

式中ηmin為最小減維準(zhǔn)確率，在實際工程中應(yīng)分析確定。

由式(17)可得系統(tǒng)的減維準(zhǔn)確率，一定的準(zhǔn)確率即對應(yīng)考慮的結(jié)構(gòu)高階振型數(shù)。新的低維系統(tǒng)保留了原本舍去的原結(jié)構(gòu)的高階信息，因此可更準(zhǔn)確地反映原結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的動力特性。以下的內(nèi)容是關(guān)于該低維系統(tǒng)設(shè)計AMD控制器，并進行數(shù)值模擬以及試驗驗證。

2 低維模型影響分析

2.1 低維模型傳遞函數(shù)影響分析

在MATLAB軟件Simulink仿真工具箱[13]的環(huán)境下，根據(jù)式(15)，進行低維控制器設(shè)計。

本文建立了10層框架結(jié)構(gòu)模型進行數(shù)值分析，其樓層質(zhì)量為87.5 t，采用集中質(zhì)量法建立該結(jié)構(gòu)所對應(yīng)的質(zhì)量矩陣，而結(jié)構(gòu)的剛度矩陣則由柔度法計算得到。

該結(jié)構(gòu)AMD控制系統(tǒng)安裝在結(jié)構(gòu)的第8層，并僅控制結(jié)構(gòu)的弱軸向水平振動。通過計算，10層框架結(jié)構(gòu)前3階振型質(zhì)量參與系數(shù)之和為0.934。框架結(jié)構(gòu)弱軸向前10階的自振頻率范圍為0.9854～35.5193 Hz，本文采用改進的均衡截斷法對其進行模型減維，分析結(jié)果與未改進的均衡截斷法結(jié)果進行了對比?？紤]結(jié)構(gòu)的頻率范圍，不同維數(shù)對應(yīng)的框架結(jié)構(gòu)頂層的位移、加速度響應(yīng)傳遞函數(shù)如圖1，2所示，輸入層及輸出層均為結(jié)構(gòu)頂層，圖中ORM表示結(jié)構(gòu)保留全維維數(shù)，而r=4，8，12，16表示不同工況下結(jié)構(gòu)減維后保留的維數(shù)。

從圖1，2可以看出：(1)隨著維數(shù)的增大，改進均衡截斷的低維模型與原模型之間的差異逐漸減??；(2)改進的低維模型的位移、加速度傳遞函數(shù)與原結(jié)構(gòu)模型基本吻合，即該低維模型保留了原結(jié)構(gòu)的動力特性；(3)從圖1(b)，(d)與圖2(b)，(d)的對比可得，結(jié)構(gòu)的加速度響應(yīng)主要受高階振型的影響，直接均衡截斷的低維模型的加速度傳遞函數(shù)與原結(jié)構(gòu)并不吻合，而本文改進的減維方法考慮了結(jié)構(gòu)的高階振型信息，使得低維模型的加速度傳遞函數(shù)與原結(jié)構(gòu)基本吻合，即該經(jīng)過修正的低維模型能較好反映原結(jié)構(gòu)的動力特性。

圖1 均衡截斷低維模型的響應(yīng)傳遞函數(shù)曲線Fig.1 Response transfer functions of reduced models based on the balanced truncation method

圖2 改進均衡截斷低維模型的響應(yīng)傳遞函數(shù)曲線Fig.2 Response transfer functions of reduced models based on the improved balanced truncation method

2.2 低維模型維數(shù)影響分析

10層框架結(jié)構(gòu)的弱軸向第8層控制效果、AMD控制力以及行程如表1所示。

表1 不同維數(shù)下AMD控制系統(tǒng)的性能對比Tab.1 The comparison of AMD control system′s performance under different dimensions

從表1可看出：(1)根據(jù)式(15)的低維控制器設(shè)計方法重新考慮了進行模型減維時原本舍去的結(jié)構(gòu)信息，當(dāng)結(jié)構(gòu)保留維數(shù)超過6維后，維數(shù)對其位移和加速度控制效果的影響并不大，即系統(tǒng)的控制效果、AMD控制力以及行程會相對穩(wěn)定，并不會隨著保留維數(shù)的增加而產(chǎn)生大的波動，上述所得結(jié)論也是本文進行該低維控制器設(shè)計的目的，即在保證AMD系統(tǒng)控制性能的前提下，對實施振動控制的被控結(jié)構(gòu)進行最大程度上的減維處理，盡可能地縮短系統(tǒng)時滯以及計算量；(2)根據(jù)式(9)所述，假定結(jié)構(gòu)高階振型對應(yīng)的速度、加速度響應(yīng)均為零，但當(dāng)結(jié)構(gòu)保留維數(shù)為4時，即只考慮結(jié)構(gòu)的前兩階模態(tài)時，其他模態(tài)振型對結(jié)構(gòu)的速度、加速度響應(yīng)的貢獻不可忽略，假定不成立，因此系統(tǒng)的控制效果有所下降。

針對上述10層框架結(jié)構(gòu)，建議保留的維數(shù)為6維，為研究低維系統(tǒng)能否有效地節(jié)約計算時間，本文給出不同維數(shù)下低維系統(tǒng)的控制力計算時間對比如表2所示，并以6維的控制力計算時間為比較對象，表中也包含了不同維數(shù)下的控制力計算時間的加速比率。

表2 不同維數(shù)下系統(tǒng)的控制力計算時間對比Tab.2 The comparison of the computing time of the system′s control force under different dimensions

由表2可看出：(1)上述10層結(jié)構(gòu)的全維維數(shù)為20，此時計算一次控制力的耗時為3.39×10-6s；(2)若低維模型的維數(shù)僅剩6維時，此時計算一次控制力的耗時為2.61×10-6s，全維模型的控制力計算耗時與6維模型相比，加速比率為23.01%，證明該低維控制器不僅能保證系統(tǒng)的性能(如表1所示)，還能有效地縮短計算時間。

3 實驗驗證

本實驗系統(tǒng)由一棟單跨4層鋼框架結(jié)構(gòu)及其AMD控制系統(tǒng)組成，如圖3所示。

3.1 實驗系統(tǒng)簡介

該鋼框架的動力特性介紹如表3所示，表中包含了結(jié)構(gòu)各階模態(tài)的自振頻率以及振型質(zhì)量參與系數(shù)。

圖3 4層鋼框架實物圖Fig.3 The picture of four-layer steel frame

表3 自振頻率與振型質(zhì)量參與系數(shù)Tab.3 Natural frequencies and vibration modes participating coefficient

由表3可得，結(jié)構(gòu)前兩階的振型對結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)起主要貢獻，因前兩階的振型質(zhì)量參與系數(shù)為0.946，接近于1。

結(jié)構(gòu)質(zhì)量矩陣?yán)眉匈|(zhì)量法求得，即對被控結(jié)構(gòu)的幾何尺寸、密度等參數(shù)以及設(shè)備的相關(guān)參數(shù)進行計算可得的結(jié)構(gòu)各個樓層質(zhì)量，最后組合而成；結(jié)構(gòu)剛度矩陣則由建立的結(jié)構(gòu)有限元模型計算得到；系統(tǒng)的阻尼矩陣可由測試得到的各樓層阻尼比平均值通過文獻[14]的式(2.3.28)建立。

AMD控制系統(tǒng)位于實驗?zāi)Ｐ偷?層，該結(jié)構(gòu)第一階振型質(zhì)量參與系數(shù)為最大值(0.856)，故第一階振型起主導(dǎo)作用，而第一階振型時頂部響應(yīng)最大，故在實驗系統(tǒng)中將AMD控制器放置于頂層，使控制器起到更良好的控制效果。該系統(tǒng)主要由伺服驅(qū)動器、控制電機、板卡型號DS1103的dSPACE、EtherCAT總線以及微型計算機組成。其中，控制電機為廣東省深圳市大族激光公司生產(chǎn)的LMCF210201直線控制電機，EtherCAT總線系統(tǒng)為德國BECKHOFF公司生產(chǎn)的EL3008輸入端子、EL4034輸出端子、EK1100耦合端子、AX5000伺服驅(qū)動器組合而成。加載系統(tǒng)由旋轉(zhuǎn)電機、變頻調(diào)速器以及配重組成。測量系統(tǒng)包括對結(jié)構(gòu)弱軸向的位移以及加速度水平振動響應(yīng)進行測量，系統(tǒng)采用的加速度傳感器為GT02型力平衡加速度傳感器，該系統(tǒng)采用的位移傳感器為MICRO-EPSILON系列激光位移傳感器，用dSPACE系統(tǒng)作為測量系統(tǒng)的采集儀，力平衡式加速度傳感器放置于各層樓板與鋼柱的交點，激光位移傳感器放置于與被控結(jié)構(gòu)分離的固定支座上且測點定位在各層樓板與鋼柱的交點。其中，將框架第2，4層的弱軸向水平加速度信號作為系統(tǒng)反饋信號，用以計算實時控制力，而將第2，3，4層的弱軸向水平位移響應(yīng)的測量值以及第3層的弱軸向水平加速度響應(yīng)的測量值用于系統(tǒng)控制效果的檢驗與對比分析。

3.2 實驗結(jié)果分析

被控模型及AMD控制系統(tǒng)總維數(shù)為10，令低維模型的維數(shù)分別為4，6及8。加載系統(tǒng)的加載頻率為1 Hz、激勵力峰值為45.89 N時，AMD控制力、行程及系統(tǒng)控制效果如表4所示。被控模型第4層在無控、低維和全維控制器控制時的位移、加速度時程曲線如圖4，5所示，加速度頻域曲線如圖6所示。在全維控制時，系統(tǒng)對應(yīng)的AMD控制力、行程的時程曲線如圖7所示。實驗時間為300 s，而各圖中僅給出穩(wěn)態(tài)30 s的結(jié)果。

表4 結(jié)構(gòu)響應(yīng)的控制效果

圖4 實驗系統(tǒng)第4層位移響應(yīng)時程曲線Fig.4 The time history curve of experimental system′s 4th floor displacement response

圖5 實驗系統(tǒng)第4層加速度響應(yīng)時程曲線Fig.5 The time history curve of experimental system′s 4th floor acceleration response

圖6 實驗系統(tǒng)第4層加速度響應(yīng)頻域曲線Fig.6 The frequency curve of experimental system′s 4th floor acceleration response

圖7 AMD系統(tǒng)參數(shù)時程曲線Fig.7 The time history curve of AMD system′s parameters

結(jié)合表4和圖4～7可看出：(1)因為AMD系統(tǒng)與結(jié)構(gòu)的相互作用以及結(jié)構(gòu)水平向與豎直向振動的耦合，當(dāng)外荷載為正弦激勵時，結(jié)構(gòu)響應(yīng)并不完全服從正弦變化規(guī)律；(2)AMD主動控制裝置對結(jié)構(gòu)模型提供了額外的阻尼，并且改變了結(jié)構(gòu)的名義剛度，因此結(jié)構(gòu)的位移以及加速度兩者之間的周期不一致，這體現(xiàn)在圖6中在有控時結(jié)構(gòu)第4層加速度響應(yīng)的一階頻率較無控系統(tǒng)而言明顯減小了；(3)由于控制加速度響應(yīng)需要較高頻率的控制力，但是該控制力將激發(fā)結(jié)構(gòu)高階振型，與控制器所在的第4層高階振型相位相反的第3層加速度控制效果相對較差，其控制效果明顯低于第2，4層；(4)由于結(jié)構(gòu)樓層水平向和豎向振動耦合作用、傳感器的精度問題、環(huán)境因素(包括溫度場、磁場等外界因素)、支撐軌道不平滑以及動子與定子間磁場不均勻等因素影響下，8維控制效果略低于6維甚至4維。但總體而言，本文設(shè)計的低維控制器與全維控制器的性能吻合較好，結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)控制效果及AMD控制力、行程均保持穩(wěn)定。

4 結(jié) 論

針對均衡截斷法減維過程中將較小特征值對應(yīng)的部分結(jié)構(gòu)信息舍去所造成的減維模型精度低的問題，本文基于均衡截斷法以及極點配置方法，對該減維過程進行修正，提出了新的低維控制器設(shè)計方法；并基于10層框架結(jié)構(gòu)，分析了結(jié)構(gòu)維數(shù)對AMD控制系統(tǒng)的影響，最后以4層鋼框架的AMD實驗?zāi)Ｐ瓦M行了驗證。

主要結(jié)論如下：(1)因修正之后的低維控制器設(shè)計方法重新考慮了被控模型原本舍去的結(jié)構(gòu)信息，故減維維數(shù)對系統(tǒng)的控制效果影響并不大，且AMD控制力以及行程相對穩(wěn)定，因此適當(dāng)對需實施控制的結(jié)構(gòu)進行減維處理，既可保證控制系統(tǒng)的效果，也減小時滯、縮短計算量以及時間；(2)通過實驗表明：因為AMD系統(tǒng)與結(jié)構(gòu)的相互作用以及結(jié)構(gòu)水平向與豎直向振動的耦合，當(dāng)外荷載為正弦激勵時，結(jié)構(gòu)響應(yīng)并不完全服從正弦變化規(guī)律；安裝在結(jié)構(gòu)AMD主動控制裝置對結(jié)構(gòu)模型提供了額外的阻尼改變了結(jié)構(gòu)的名義剛度，故結(jié)構(gòu)的位移以及加速度兩者之間的周期不一致；當(dāng)控制力的頻率較高時，系統(tǒng)便可有效地控制結(jié)構(gòu)的加速度響應(yīng)，但是高頻控制力有可能激發(fā)高階振型，故與控制器所在的樓層高階振型相位相反的其他層加速度控制效果會相對較差。

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AMD low-dimensional controller design considering structural
high modes information

TENGJun1,2,CHENChao-jun1,XINGHou-bing3,LUWei1

(1.Shenzhen Graduate School， Harbin Institute of Technology， Shenzhen 518055， China；
2.School of Civil Engineering， Fujian University of Technology， Fuzhou 350118， China；
3.China Construction Fourth Division Engineering Corp., Ltd. South China Branch， Guangzhou 510660， China)

To reduce the influence of AMD control system′s time delay, the dimensionality of controlled structure model is needed to reduce. However, structural information which is corresponded to system′s small characteristic values is directly abandoned in the process of dimensionality reduction, and the low-dimensional structure will lack high modes and other information of original structure. That is to say, the process becomes inaccurate and thus the design of the controller will be influenced. Based on the balanced truncation method and pole assignment algorithm, the low-dimensional controller is designed and the discarded structural information which includes the natural frequencies, damping ratios and modes information of the original structure is reconsidered. In addition, in order to reduce the effect of the inaccuracy at the design stage, part of information which will affect the pole position of the system is considered before performing the pole. The ten-story structure is taken as an example, in which the system control effect, the peak force and peak schedule of AMD are used as the control indexes to analyzes the effects on dimensionality of reduced structural model to the improved low-dimensional controller. Furthermore, the four-layer experimental frame′s AMD control system is taken as an example to test the conclusions.

vibration control; AMD; balanced truncation; pole assignment; dimensionality

2015-06-09；

2016-04-11

國家重點研發(fā)計劃重點專項(2016YFC0701102)；國家自然科學(xué)基金重點項目(51538003)；國家自然科學(xué)基金重大國際(中美)合作研究項目(51261120374)；國家自然科學(xué)基金面上項目(51378007)；福建省自然科學(xué)基金資助項目(2014J01171)；深圳市科技計劃技術(shù)攻關(guān)項目(JSGG20150330103937411)

TU352； TU973.1

1004-4523(2016)06-1048-09

10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2016.06.014

滕軍(1962—),男,教授，博士生導(dǎo)師。電話:(0755)26033806;E-mail:tengj@hit.edu.cn