反常積分的阿貝爾和迪利克雷判別法的教學初探

王偉芳

（唐山師范學院 數(shù)學與信息科學系，河北 唐山 063000）

反常積分的阿貝爾和迪利克雷判別法的教學初探

王偉芳

（唐山師范學院 數(shù)學與信息科學系，河北 唐山 063000）

阿貝爾和迪利克雷判別法是學生學習的一個難點，本文以反常積分為例，指導學生如何牢固準確地掌握定理的諸多條件并熟練應用。

反常積分；阿貝爾；迪利克雷

在數(shù)學分析的教材[1-5]中，一般都是直接給出判別反常積分收斂的阿貝爾和迪利克雷判別法，然后進行證明。這讓學生在學習的過程中對定理的印象不深刻，應用有困難。事實上，反常積分以及含參量反常積分的阿貝爾和迪利克雷判別法的得出都是根據(jù)柯西準則和積分第二中值定理。利用倒推法，從結(jié)論出發(fā)分析條件，能夠使學生更加清楚定理的得出過程，從而準確掌握定理的內(nèi)容。

定理1[1]（積分第二中值定理）設函數(shù)f在[a,b]上可積。若g為單調(diào)函數(shù)，則存在ξ∈[a,b]，使得

1 反常積分

反常積分的阿貝爾和迪利克雷判別法是要得到形如

的反常積分的收斂性結(jié)論。根據(jù)柯西收斂準則，要使

收斂，需證明

而要把f(x)和g(x)分開，需要用積分第二中值定理。積分第二中值定理要求其中一個函數(shù)單調(diào)，假設g(x)單調(diào)。從而，?ξ∈[u1,u2]，使得

成立，只需

成立，而要使上式成立，有兩種方法：（1）使

要實現(xiàn)（1），只要

收斂，g(x)在［a,+∞）上有界即可，再加上運用積分第二中值定理時要求g(x)單調(diào)，就得到了阿貝爾判別法的條件。

要實現(xiàn)（2），只要

在［a,+∞）有界，g(x)在［a,+∞）上當x→+∞時趨于0即可，再加上運用積分第二中值定理時要求g(x)單調(diào)，就得到了迪利克雷判別法的條件。

定理2[1]（阿貝爾判別法）若

收斂，g(x)在［a,+∞）上單調(diào)有界，則

定理3[1]（迪利克雷判別法）若

例1 證明反常積分

故此反常積分僅是無窮積分。根據(jù)無窮積分的區(qū)間可加性，只需證明

收斂。對于一般無窮積分，考慮阿貝爾和迪利克雷判別法，關(guān)鍵選取f(x)和g(x)，使得

要么收斂，要么其變上限定積分在［1,+∞）上有界。注意到

故選取f(x)=sinx。

證明由于對任意的u≥1，有

且1/x在［1,+∞）上當x→+∞時單調(diào)遞減趨于0，由迪利克雷判別法，反常積分

2 含參量反常積分

含參量反常積分的阿貝爾和迪利克雷判別法是要得到形如

的含參量反常積分的一致收斂性結(jié)論。根據(jù)柯西收斂準則，要使

而要把f(x,y)和g(x,y)分開，需要用積分第二中值定理。積分第二中值定理要求其中一個函數(shù)單調(diào)，假設g(x,y)關(guān)于積分變量y單調(diào)。從而，?ξ∈[u1,u2]，使得

成立，而要使上式成立，有兩種方法：

（1）使

要實現(xiàn)（1），只要

在I上一致收斂，g(x,y)在關(guān)于x在I上一致有界即可，再加上運用積分第二中值定理時要求g(x,y)關(guān)于積分變量y單調(diào)，就得到了阿貝爾判別法的條件。

要實現(xiàn)（2），只要

對參量x在I一致有界，g(x,y)當y→+∞時對參量x一致收斂于0即可，再加上運用積分第二中值定理時要求g(x,y)關(guān)于積分變量y單調(diào)，就得到了迪利克雷判別法的條件。

定理4[1]（阿貝爾判別法）若

在I上一致收斂，對每個x∈I，g(x,y)關(guān)于積分變量y單調(diào)，且g(x,y)在關(guān)于x在I上一致有界，則

收斂。

定理5[1]（迪利克雷判別法）若

對參量x在I一致有界，對每個x∈I，g(x,y)關(guān)于積分變量y單調(diào)，且當y→+∞時g(x,y)對參量x一致收斂于0，則

收斂。

例2 證明含參量反常積分

在［0,+∞）上一致收斂。

分析要利用阿貝爾或迪利克雷判別法判別含參量反常積分的一致收斂性，關(guān)鍵是選取f(x,y)和g(x,y)，使得

要么在［0,+∞）上一致收斂，要么其變上限定積分對參量y在［0,+∞）上一致有界。注意到

不含參量，從而反常積分

的收斂為一致收斂，故取

證明由于反常積分

的收斂，從而關(guān)于參量y在［0,+∞）上一致收斂，函數(shù)g(x,y)=e-xy對?y∈[0,+∞)單調(diào)，且對?y∈[0,+∞)，?x∈[0,+∞)，有

故由阿貝爾判別法，

在［0,+∞）上一致收斂。

對于數(shù)項級數(shù)以及函數(shù)項級數(shù)，阿貝爾和迪利克雷判別法的得出都是根據(jù)柯西準則和阿貝爾引理。類似前面的討論，我們易得出無窮級數(shù)阿貝爾和狄利克雷判別法的條件。這樣，數(shù)學分析中四次出現(xiàn)的阿貝爾和狄利克雷判別法也就很容易掌握了。

[1] 華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析(上冊)[M].北京:高等教育出版社,2010:271-282.

[2] 華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析(下冊)[M].北京:高等教育出版社,2010:192-196.

[3] 劉玉璉,傅沛仁.數(shù)學分析講義(下冊)[M].北京:高等教育出版社,2008:249-308.

[4] 歐陽光中,姚允龍.數(shù)學分析(下冊)[M].上海:復旦大學出版社,1983:734-738.

[5] 張筑生.數(shù)學分析新講(第二冊)[M].北京:北京大學出版社, 1990:133-144.

（責任編輯、校對：田敬軍）

The Teaching Exploration of Abel and Dirichlet Discriminance on Improper Integral

WANG Wei-fang
(Department of Mathematics and Information Science, Tangshan Normal University, Tangshan 063000, China)

Most students have difficulty in studying Abel and Dirichlet discriminance. This paper takes the abnormal integral as an example to guide students how to grasp the conditions of the theorems and their application.

improper integral; Abel; Dirichlet

O172.2

A

1009-9115(2016)02-0027-03

10.3969/j.issn.1009-9115.2016.02.008

唐山師范學院科學研究基金項目（2016C12）

2015-10-12

王偉芳（1984-），女，河北定州人，碩士，講師，研究方向為小波分析。