常系數(shù)線性齊次矩陣列及函數(shù)列遞歸關(guān)系的解法

張 慶，王朝霞

（唐山師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系，河北 唐山 063000）

常系數(shù)線性齊次矩陣列及函數(shù)列遞歸關(guān)系的解法

張 慶，王朝霞

（唐山師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系，河北 唐山 063000）

常系數(shù)線性齊次數(shù)列遞歸關(guān)系有求通項(xiàng)的一般方法，對于常系數(shù)線性齊次矩陣列遞歸關(guān)系及函數(shù)列遞歸關(guān)系目前還沒有這方面的研究。本文把這一方法推廣到常系數(shù)線性齊次矩陣遞歸關(guān)系及函數(shù)列遞歸關(guān)系上，給出了這兩類遞歸關(guān)系的通項(xiàng)公式。

遞歸關(guān)系；特征根；矩陣列；函數(shù)列

1 預(yù)備知識

定義1[1]若數(shù)列｛un｝n≥0滿足遞歸關(guān)系

其中k,a1,a2,Λ,ak是與n無關(guān)的常數(shù)，且ak≠0，（1）稱為常系數(shù)線性齊次遞歸關(guān)系；

使得上述遞歸關(guān)系成立的un的通項(xiàng)公式，稱為遞歸關(guān)系的解。稱

為(1)的特征方程，特征方程的k個根q1,q2,Λ,qk稱為(1)的特征根。

特征根可以是復(fù)數(shù)，也不一定互異。但因ak≠0，故所有特征根都非零。

引理1[1]若遞歸關(guān)系(1)的特征方程(2)有k個不同的根q1,q2,q3,Λqk則

是遞歸關(guān)系（1）的通解，其中c1,c2,Λ,ck為任意常數(shù)。

引理2[1]若遞歸關(guān)系(1)的特征方程(2)共有t個不同的根q1,q2,Λ,qt，它們的重?cái)?shù)分別為m1,m2,Λ,mt，則遞歸關(guān)系(1)的通解為：

為任意常數(shù)。

上述定義及引理中數(shù)列的項(xiàng)un是數(shù)，下面要把上述結(jié)果推廣到矩陣列和函數(shù)列。

2 主要結(jié)果

2.1 常系數(shù)線性齊次矩陣列遞歸關(guān)系的解法

定義2若s×t矩陣列｛An｝n≥0滿足遞歸關(guān)系

雖然非齊次數(shù)列的遞歸關(guān)系沒有一般的解法，但某些非齊次數(shù)列的遞歸關(guān)系可以利用常系數(shù)線性齊次遞歸關(guān)系來解[2]。同樣，某些非齊次矩陣遞歸關(guān)系、函數(shù)列遞歸關(guān)系也可以利用常系數(shù)線性齊次矩陣遞歸關(guān)系、函數(shù)列遞歸關(guān)系來解，只舉一例。

例5已知定義域?yàn)镮的實(shí)函數(shù)列｛fn（t ）｝滿足遞歸關(guān)系：

并且對任意的t∈I，f0（t）＞0，f1（t）＞0，求函數(shù)列fn（t）的通項(xiàng)。

這是一個常系數(shù)線性齊次函數(shù)列遞歸關(guān)系。特征方程為：

實(shí)際上，如果定義域?yàn)镮的實(shí)函數(shù)列｛fn（t）｝，滿足形如

的遞歸關(guān)系，n≥2，并且對任意的t∈I，f0（t）＞0，f1（t）＞0，都可以按例5的方法求出fn（t）通項(xiàng)。

[1] 陳景林.閻滿富.組合數(shù)學(xué)與圖論[M].北京:中國鐵道出版社, 2000:60-66.

[2] 盧開澄,盧華明.組合數(shù)學(xué)(第4版)[M].北京:清華大學(xué)出版社,2006:61-67.

（責(zé)任編輯、校對：趙光峰）

The Solution of Constant Coefficient Linear Homogeneous Sequence of Matrix & Sequence of Function Recursive Relation

ZHANG Qing, WANG Zhao-xia
(Department of Mathematics and Information Science, Tangshan Normal College, Tangshan 063000, China)

There is a method of finding a general form for solution of recursive relation of constant coefficient linear homogeneous series, however, there is no research on area of constant coefficient linear homogeneous Sequence of Matrix & Sequence of Function recursive relation. This paper will extend the method for the constant coefficient linear homogeneous series to constant coefficient linear homogeneous Sequence of Matrix & Sequence of Function recursive relation and two sets of general form formula was given for above recursive relation.

recursive relation; characteristic root; sequence of matrix; sequence of function column

O157

A

1009-9115(2016)02-0020-04

10.3969/j.issn.1009-9115.2016.02.006

唐山師范學(xué)院教學(xué)改革項(xiàng)目（JJ2014009）

2015-11-01

張慶（1960-），男，上海松江人，教授，研究方向?yàn)楹瘮?shù)論。