非色散非線性Schr?dinger方程的暗孤子解

丁國華， 蘇　婷，方建印，王　輝

(1.河南工程學院 圖書館，河南 鄭州 451191; 2.河南工程學院 理學院，河南 鄭州 451191)

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非色散非線性Schr?dinger方程的暗孤子解

丁國華1， 蘇婷2，方建印2，王輝2

(1.河南工程學院 圖書館，河南 鄭州 451191; 2.河南工程學院 理學院，河南 鄭州 451191)

摘要：非色散非線性Schr?dinger方程和它的Lax對被顯示給出.借助于譜問題之間的規(guī)范變換，孤子解的達布變換得以構(gòu)造，作為應(yīng)用給了出非色散非線性Schr?dinger方程的顯示解.

關(guān)鍵詞：達布變換；暗孤子解；非線性Schr?dinger方程

對孤子方程求顯示解是物理學和數(shù)學領(lǐng)域都很感興趣的話題.近年來已經(jīng)有許多求解的方法，如反散射方法[1-2]、雙線性(Hirota)方法[3]、達布變換法[4-6]、代數(shù)幾何方法[7]、穿衣方法[8]等，這些方法各有特點，其中達布變換方法是從平凡解出發(fā)得到孤子方程的精確解.本研究利用達布變換方法求非色散非線性Schr?dinger方程的單孤子解和二孤子解.

iqt+qxx-2|q|2q=0

(1)

許多學者對方程(1)都有深入的研究，Andrew在文獻[9]中借助Crum Transformation給出了方程(1)的有理解.Ruiyu等在文獻[10]中給出了方程(1)的顯示解.

1非色散非線性Schr?dinger方程的達布變換給出方程(1)保譜問題

φx=Uφ, U=iλσ3+Q，

(2)

(3)

由相容條件Ut-Vx+[U,V]=0可以得到非色散非線性Schr?dinger方程(1).

首先，引入譜問題(2)和(3)的規(guī)范變換

(4)

其中，T由以下兩式?jīng)Q定：

(5)

(6)

更進一步，式(2)和式(3)轉(zhuǎn)化為

(7)

(8)

設(shè)φ(λj)=(φ1(λj),φ2(λj))T和ψ(λj)=(ψ1(λj),ψ2(ψj))T是式(2)和式(3)的兩個基本解.由式(4)可知存在常數(shù)rj滿足

(Aφ1(λj)+Bφ2(λj))-rj(Aψ1(λj)+Bψ2(λj))=0，(Cφ1(λj)+Dφ2(λj))-rj(Cψ1(λj)+Dψ2(λj))=0.

(9)

式(9)也可以寫成線性系統(tǒng)

A+σjB=0,C+σjD=0,

即

(10)

其中,

(11)

從式(9)可知，detT(λ)是λ的2N-1次多項式,且detT(λj)=α2[A(λj)D(λj)-B(λj)C(λj)].另一方面，由式(10)可知

A(λj)=-σjB(λj),C(λj)=-σjD(λj),

(12)

(13)

這表明λj(1≤j≤2N-1)是detT的根.

下列變換

(14)

2多孤子解

利用前面的達布變換可以得到孤子方程(1)的一系列的精確解.取平凡解q=0，代入Lax對(2)和(3)中，得到其基本解.選取兩個基本解為

由等式(11)可知,

(15)

利用線性系統(tǒng)(10)和條件(14)，借助克萊姆法則求解，得到

(16)

(17)

由式(15)可知，只需取λj(j=1,2,3)不同的值，即可以得到非色散非線性Schr?dinger方程的解.

參考文獻：

[1]ABLOWITZMJ，SEGURH.SolitonsandtheInverseScatteringTransform[M].Philadelphia:SIAM,1981.

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[5]GENGXG,TAMHW.DarbouxtransformationandsolutionsforgeneralizednonlinearSchr?dingerequations[J].JouralofMathematicalPhysics,1999(40)：3948-3955.

[6]FANEG.Darbouxtransformationandsoliton-likesolutionfortheGerdjikov-Ivanovequation[J].JournalofPhysicsA:MathematicalandGeneral,2000(33)：6925-6933.

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[8]DAIHH,JEFFREYA.Theinversescatteringtransformsforcertaintypesofvariable-coefficientKdvequations[J].PhysicsLettersA,1989(139)：369-372.

[9]ANDREWNW.Scale-space:anewapproachtomulti-scaledescription[J].JournalofPhysicsA:MathematicalandGeneral,1997(30)：7473-7483.

[10]RUIYUH.AnewapproachtoexactsolitonsolutionsandsolitoninteractionforthenonlinearSchr?dingerequationwithvariable-coefficient[J].OpticsCommunications,2004(236)：79-86.

The dark soliton solution of the nondispersive nonlinear Schr?dinger equation

DING Guohua1, SU Ting2，F(xiàn)ANG Jianyin2，WANG Hui2

(1.Library,HenanInstituteofEngineering,Zhengzhou451191,China;

2.CollegeofSciences,HenanInstituteofEngineering,Zhengzhou451191,China)

Abstract:The nondispersive nonlinear Schr?dinger equation and its Lax pair are given explicitly. With the help of gauge transformation between spectrum problems, the Darboux transformation of soliton solution is constructed. As an application, the explicit solutions of the nondispersive nonlinear Schr?dinger equation are derived.

Key words:Darboux transformation；dark soliton solution；nonlinear Schr?dinger equation

作者簡介：丁國華(1977-)，男，河南周口人，助教，主要從事孤立子與可積系統(tǒng)研究.

基金項目：國家自然科學基金項目(11301149)；河南省基礎(chǔ)前沿項目(132300410310，102300410212)

收稿日期：2015-08-03

中圖分類號：O322

文獻標志碼：A

文章編號：1674-330X(2015)04-0077-04