積分型中值定理的推廣及統(tǒng)一表示

陳　玉

(江西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，江西南昌330022)

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積分型中值定理的推廣及統(tǒng)一表示

陳玉

(江西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，江西南昌330022)

[摘要]通過減弱連續(xù)的條件，推廣了一類積分型中值定理，在適當(dāng)?shù)臈l件下，用一個式子將Lagrange中值定理、Cauchy微分中值定理、積分型Cauchy中值定理、積分中值定理、積分第一中值定理、Lagrange型積分中值定理、Cauchy型積分中值定理及推廣的積分第一中值定理這8個中值定理統(tǒng)一起來.

[關(guān)鍵詞]積分中值定理； 微分中值定理； 原函數(shù)

1引言

積分中值定理在微積分理論中占有十分重要的地位.近年來，人們利用微分中值定理證明積分中值定理，對積分中值定理與微分中值定理的內(nèi)在聯(lián)系及形式上的統(tǒng)一進(jìn)行了不少研究，如文獻(xiàn)[1-7].其中，文獻(xiàn)[5]探討了積分型中值定理的統(tǒng)一表示的問題，利用Rolle定理推廣了文獻(xiàn)[8-9]中的積分型Cauchy中值定理的形式，在適當(dāng)?shù)臈l件下，將Lagrange中值定理、Cauchy微分中值定理、積分型Cauchy中值定理、積分中值定理和積分第一中值定理用一個式子統(tǒng)一表示出來，得到了一類連續(xù)函數(shù)的積分型中值定理；文獻(xiàn)[6]將連續(xù)的條件減弱，利用微分中值定理得到了Lagrange型積分中值定理，Cauchy型積分中值定理，分別推廣了積分中值定理與文獻(xiàn)[8-9]中的積分型Cauchy中值定理；文獻(xiàn)[7]利用Cauchy中值定理，通過減弱被積函數(shù)乘積因子連續(xù)的條件，推廣了積分第一中值定理，得到了文獻(xiàn)[5]推論4的推廣形式.

本文將進(jìn)一步研究積分中值定理與微分中值定理形式上的統(tǒng)一問題.通過減弱文獻(xiàn)[5]中連續(xù)的條件，進(jìn)一步推廣積分型中值定理，在適當(dāng)?shù)臈l件下，不但將Lagrange中值定理、Cauchy微分中值定理、積分型Cauchy中值定理、積分中值定理、積分第一中值定理，而且將Lagrange型積分中值定理、Cauchy型積分中值定理及推廣的積分第一中值定理這8個中值定理用一個式子統(tǒng)一表示，進(jìn)一步揭示了積分中值定理與微分中值定理之間的內(nèi)在聯(lián)系，有助于人們深入地理解這些中值定理間的關(guān)系，所得結(jié)果推廣了文獻(xiàn)[5-8]的結(jié)果.

為后面討論的方便，先將有關(guān)定理敘述如下.

定理1[5]設(shè)p(x)，q(x)，r(x)在[a，b]上連續(xù)，?x∈[a，b]，q(x)，r(x)≠0，則存在ξ∈(a，b)，使得

(1)

推論1[5]在(1)式中，當(dāng)p(x)=f′(x)， q(x)， r(x)=1時，?ξ∈(a，b)，使得

f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a).

這就是Lagrange微分中值定理形式，這里要求f′(x)在[a，b]上連續(xù)，條件太強(qiáng)了，有待于改進(jìn).

推論2[5]在(1)式中，當(dāng)p(x)=f′(x)， q(x)=g′(x)， r(x)=1時，?ξ∈(a，b)，使得

這就是Cauchy微分中值定理形式，這里要求f′(x)，g′(x)在[a，b]上連續(xù)，條件較強(qiáng).

如果取p(x)=f(x)， q(x)=g(x)， r(x)=1，則(1)式為

這就是文獻(xiàn)[9]提到的積分型Cauchy微分中值定理.

推論3[5]在(1)式中，當(dāng)p(x)=f(x)， q(x)=r(x)=1時，?ξ∈(a，b)，使得

這就是積分中值定理.

推論4[5]在(1)式中，當(dāng)p(x)=f(x)， q(x)=1， r(x)=g(x)時，?ξ∈(a，b)，使得

這就是積分第一中值定理.這里要求g(x)≠0，比要求函數(shù)g(x)不變號的條件要強(qiáng)些.

定理2[6](Lagrange型積分中值定理)設(shè)f(x)在[a，b]上可積，且在[a，b]上有原函數(shù)，則存在ξ∈(a，b)，使得

定理3[6](Cauchy型積分中值定理)設(shè)f(x)，g(x)在[a，b]上可積，且在[a，b]上有原函數(shù)，g(x)≠0(a

定理4[7]設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，g(x)在[a，b]上可積且有原函數(shù)，g(x)≠0(a

2主要結(jié)論

下面給出本文的主要結(jié)論.

定理5設(shè)p(x)，q(x)，r(x)在[a，b]上可積，且在[a，b]上有原函數(shù)，q(x)，r(x)≠0(a

由于可積但不連續(xù)的函數(shù)也可以有原函數(shù)[1]，而連續(xù)函數(shù)必可積且有原函數(shù)，因此定理5的條件比定理1更弱，定理1成為定理5的一個推論，從而進(jìn)一步推廣了積分型中值定理.

定理5的證明需要以下引理.

引理2[11]設(shè)f(x)，g(x)均為定義在[a，b]上的有界函數(shù)，若僅在[a，b]中有限個點處f(x)≠g(x)，則當(dāng)f(x)在[a，b]上可積時，g(x)在[a，b]上也可積，且

證設(shè)

由f(x)在[a，b]上可積知，f(x)在[a，b]上有界.即存在M>0，對所有x∈[a，b]，有|f(x)|≤M，從而|f(x)|≤M，(x∈(a，b))，則

即F(x)在[a，b]上有界.由引理2得，F(xiàn)(x)在[a，b]上可積，且

又F(x)>0，x∈[a，b]，由引理1，有

從而

引理4[12]若f(x)在閉區(qū)間[a，b]上可積，且在[a，b]上有原函數(shù)， φ(x)在[a，b]上可積且不變號，則在(a，b)內(nèi)至少存在一點ξ，使得

下面給出定理5的證明.

證設(shè)r(x)在[a，b]上的原函數(shù)為R(x)，R′(x)=r(x).由條件r(x)≠0(a

否則，若?x1，x2∈[a，b]，x1≠x2，使得

r(x1)r(x2)<0，

即

R′(x1)R′(x2)<0，

不妨設(shè)x1

由引理4知，?ξ0∈(a，b)使得

又q(x)≠0(a

(2)

易知，p(x)-λq(x)在[a，b]上可積且在[a，b]上存在原函數(shù)，由引理4知，?ξ∈(a，b)使得

p(ξ)-λq(ξ)=0，

而q(x)≠0(a

即

推論5在定理5中，當(dāng)p(x)=f′(x)，q(x)，r(x)=1時，?ξ∈(a，b)，使得

f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a).

這就是Lagrange微分中值定理形式，這里將推論1f′(x)在[a，b]上連續(xù)的條件減弱為f′(x)在[a，b]上可積，改進(jìn)了推論1.

推論6在定理5中，當(dāng)p(x)=f′(x)， q(x)=g′(x)， r(x)=1時，?ξ∈(a，b)，使得

這就是Cauchy微分中值定理形式，這里只要求f′(x)，g′(x)在[a，b]上可積，改進(jìn)了推論2.

推論7在定理5中，當(dāng)p(x)=f(x)，q(x)=r(x)=1時，?ξ∈(a，b)，使得

這就是定理2[6](Lagrange型積分中值定理)，是推論3積分中值定理的推廣.

推論8在定理5中，當(dāng)p(x)=f(x)， q(x)=g(x)， r(x)=1時，則?ξ∈(a，b)，使得

這就是定理3[6](Cauchy型積分中值定理)，是文獻(xiàn)[8-9]積分型Cauchy微分中值定理的推廣.

在定理5中，令p(x)=f(x)， q(x)=1， r(x)=g(x)，即得

推論9設(shè)f(x)，g(x)在[a，b]上可積，且在[a，b]上有原函數(shù)，g(x)≠0(a

推論9進(jìn)一步推廣了積分第一中值定理，減弱了定理4[7]中f(x)在[a，b]上連續(xù)的條件，改進(jìn)了定理4.

定義如果對任意的x∈[a，b]，f(x)>0或?qū)θ我獾膞∈[a，b]，f(x)<0，稱函數(shù)f(x)在[a，b]上嚴(yán)格不變號.

從定理5的證明過程中可以看出以下結(jié)論成立：

推論10設(shè)f(x)在[a，b]上有原函數(shù)，且f(x)≠0(a

在推論9中，g(x)≠0(a

通過以上推論5-9以及它們與推論1-4的關(guān)系，我們看到，通過加強(qiáng)函數(shù)的某些條件，可以把微積分學(xué)中主要的中值定理及其推廣形式統(tǒng)一在定理5的一個式子中，這也揭示了它們之間的內(nèi)在聯(lián)系.

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Extension and Unified Representation of

Integral Mean Value Theorems

CHENYu

(Department of Mathematics and Informatics， Jiangxi Normal University，Nanchang 330022，China)

Abstract:This paper generalizes a class of integral mean value theorems by weakening the condition of continuity. When appropriate conditions are satisfied， this paper unifies Lagrange and Cauchy mean value theorems of differential， Cauchy mean value theorem of integral type， mean value theorem for integrals and its extension， the first mean value theorem for integrals and its extension， mean value theorem for integrals of Lagrange and Cauchy type by one equality.

Key words:mean value theorem for integrals; mean value theorems of differential; original function

[基金項目]國家自然科學(xué)基金(11201195)； 江西師范大學(xué)校級教改課題

[收稿日期]2014-10-20

[中圖分類號]O172.2

[文獻(xiàn)標(biāo)識碼]C

[文章編號]1672-1454(2015)02-0061-05