關于獨立隨機變量序列強極限定理的注記

孫飛躍，朱大英

(江蘇大學理學院, 江蘇鎮(zhèn)江212013)

?

關于獨立隨機變量序列強極限定理的注記

孫飛躍，朱大英

(江蘇大學理學院, 江蘇鎮(zhèn)江212013)

[摘要]構造出一個獨立隨機變量序列的例子,說明Shiryaev的一個關于獨立隨機變量序列強極限定理是一個新的類型的定理.

[關鍵詞]獨立隨機變量； 強極限定理； 三級數(shù)定理

1主要內容

設{Xn,n≥1}是獨立隨機變量序列,Loève證明了如下強極限定理：

定理A(Loève,見[1,p.117])設{Xn,n≥1}是獨立隨機變量序列,如果

且當1≤p≤2時,EXn=0,則

(1)

Shiryaev利用Kolmogorov三級數(shù)定理證明了如下定理：

定理B(Shiryaev,見[2,p.387])設{Xn,n≥1}是獨立隨機變量序列,且EXn=0.如果

(2)

本文構造出一個獨立隨機變量序列的例子,它滿足定理B的條件,但不滿足定理A的條件.因此定理B是一種新的類型的定理.

例1設{Xn,n≥1}是獨立隨機變量序列,且Xn具有如下分布密度函數(shù)

(3)

(4)

(5)

所以{Xn,n≥1}不滿足定理A.而

(6)

所以有

由上面的例子我們可以知道定理B是一個關于獨立隨機變量序列強極限定理的一個新定理.

[參考文獻]

[1]Teicher H , Chow Y S. Probability theory[M]. New York:Springer-Verlag,1988.

[2]Shiryaev A N. Probability[M].2nd.ed.New York:Springer-Verlag,1984.

A Note on the Strong Limit Theorem for Independent

Random Sequences

SUNFei-yue,ZHUda-ying

(Faculty of Science. Jiangsu University, Zhenjiang 212013, China)

Abstract:An example on the independent random sequences is given, which illustrates the strong limit theorem gained by Shiryaev is a new theorem.

Key words:independent random variables; strong limit theorem; Kolmogorov’s three-series theorem

[收稿日期]2014-04-23；[修改日期]2014-12-11

[中圖分類號]O211.4

[文獻標識碼]A

[文章編號]1672-1454(2015)02-0024-02