一類彈性梁方程多個正解的存在性

張　銳,盧整智

(蘭州城市學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院,甘肅 蘭州 730070)

一類彈性梁方程多個正解的存在性

張銳,盧整智

(蘭州城市學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院,甘肅 蘭州 730070)

摘要：文章運(yùn)用不動點(diǎn)指數(shù)理論和上下解方法，研究了一類四階兩點(diǎn)邊值問題

得到了其多個正解的存在性定理，并且指出了正解和對應(yīng)線性問題第一特征值之間的關(guān)系.

關(guān)鍵詞：正解；上下解；第一特征值；不動點(diǎn)指數(shù)

收稿日期：2015-01-03

基金項目：國家自然科學(xué)基金項目(11201336).

通信作者：張銳(1966—)，男，教授，碩士，主要從事常微分方程研究. E-mail:2829758387@qq.com

doi:10.3969/j.issn.1674-232X.2015.05.013

中圖分類號:O175.8MSC2010: 34B18

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

文章編號:1674-232X(2015)05-0522-05

0引言

在材料力學(xué)中,桿件的穩(wěn)定性研究是重要課題之一,而在工程中，兩端固定的梁的設(shè)計計算，則是穩(wěn)定性的直接運(yùn)用，此類梁可用邊值問題

(1)

來描述.因而，對四階兩點(diǎn)邊值問題(1)也就有了諸多的研究并且有了許多深刻的結(jié)果[1-8].本文運(yùn)用不動點(diǎn)指數(shù)原理和上下解方法得到了(1)的多個正解的存在性定理并且建立了和第一特征值之間的關(guān)系.

1一些記號和引理

則K是Banach空間中的一個閉凸錐.

引理1[1]Green函數(shù)G(t,s)有以下性質(zhì)：

記

當(dāng)f:[0,1]×[0,∞)→[0,∞)時，由Arzela-Ascoli定理知，T是全連續(xù)算子.

(H1)f0>λ1,f∞>λ1.其中λ1是(1)的第一特征值.

(H2)f0<λ1,f∞<λ1.

引理2[6]設(shè)K:E→E是一個線性算子，KP?P,如果存在u0∈P{0}使得對任意φ∈P{0}存在自然數(shù)n和實(shí)數(shù)α0>0,β0>0,滿足α0u0≤Knφ≤β0u0，那么K叫做u0-界算子.

引理3[6]設(shè)K是一全連續(xù)的u0-界算子，λ1>0是K的第一特征值，那么必須有一個正的特征函數(shù)屬于P{0}，而且此特征函數(shù)只對應(yīng)λ1.

那么若(1),(2)成立，則i(A,Ω(P),P)=0,若(3)成立，則i(A,Ω(P),P)=1.

引理5[9]函數(shù)Ψ(t)叫做(1)的一個下解，如果滿足以下條件：

(1)Ψ(t)∈C([0,1],[0,∞))∩C4((0,1),[0,∞)),

而Ψ(t)叫做邊值問題(1)的上解，如果以上不等式中所有符號相反.

引理6[5]對任給的r>0，都存在Mr>0，當(dāng)0≤u1≤u2時，f(t,u2)-f(t,u1)≥-Mr(u2-u1)成立，如果φ1,Φ1是(1)的嚴(yán)格上下解，且Φ1<φ1，則(1)有一個解u，滿足Φ1

引理7[9]假設(shè)存在M>0，使得當(dāng)0≤t≤1,0≤u1≤u2時，f(t,u2)-f(t,u1)≥-M(u2-u1)成立，如果φ1,Φ1是(1)的嚴(yán)格上下解，且Φ1φ1，φ1>0，則(1)有一個解u，滿足Φ1uφ1.

2主要結(jié)果和證明

定理1如果(H1),(H3)成立，則邊值問題(1)有兩個正解u1,u2,且滿足

證明因為(H3)成立，假設(shè)存在μ，當(dāng)0<μ<1時，有一u0∈?Kp，使得μTu0=u0，

即有

i(T,KP,K)=1.

(2)

另一方面，由f∞>λ1知，存在ε>0,K>0，使得u≥K時，

有

f(t,u)≥(λ1+ε)u,t∈[0,1].

(3)

f(t,u)≥(λ1+ε)u-m,t∈[0,1],u≥0.

從而

(4)

假設(shè)存在u1∈?KR,μ≥1，使μTu1=u1，使得當(dāng)R0>p,R>R0時

(5)

即

成立，由引理3知,q(t)G(τ(s),s)≤G(t,s)≤G(τ(s),s),0≤t,s≤1, 容易驗證T是u0-界算子．

在(5)兩邊同時乘以λ1和其對應(yīng)的特征函數(shù)Φ1(t)，

即有

上式兩邊從0到1積分，左邊連續(xù)四次分部積分，則有

即有

所以

i(T,KP,K)=0.

(6)

又因為f0>λ1，所以存在ε>0,r0>0，使得

f(t,u)≥(λ1+ε)u,?t∈[0,1],0≤u≤r0，

假設(shè)存在u3∈?Kr1,μ≥1，使得ηTu3=u3，則下面式子成立：

(7)

所以由引理5可推知

i(T,Kr1,K)=0.

(8)

由不動點(diǎn)指數(shù)的可加性，有i(T,KRKP,P)=i(T,KR,K)-i(T,KP,K)=-1,

i(T,KpKr1,P)=i(T,Kp,K)-i(T,Kr1,K)=1.

(9)

且

證明假設(shè)存在u3∈?Pp,μ≥1，使得μTu3=u3，

即有

i(T,Kp,K)=0.

(10)

又因為f0<λ1，所以存在ε>0,0

所以，

u4(t)=μTu4≤μλ1Tu4,

即有

所以

i(T,Kr0,K)=1.

(11)

即有

所以

i(T,KR0,K)=1.

(12)

綜上，由不動點(diǎn)指數(shù)的可加性，有i(T,KpKr0,K)=-1,i(T,KR0Kp,K)=1.

證明因為f∞>0，所以?ε>0,?δ>0，使得當(dāng)0

f(t,u)>λ1u.

(13)

即

0<δ

所以，v1(t)是(1)的一個上解.

由文獻(xiàn)[10]知，λ1=1,Φ1(t)=(ch1-cos1)(sht-sint)-(sh1-sin1)(cht-cost).

由引理7知，v1(t)和u1(t)分別是邊值問題(1)的上解和下解，所以，邊值問題(1)有一個解u(t)，使

u1(t)

以下尋找一個下解u2，使u2v1. 為此取Γ=min{δ,p}，那么當(dāng)0

設(shè)

則

v2(t)v1(t)，

所以，由引理7知，(1)存在一個解u′，滿足u2u′v1

綜上，邊值問題(1)至少有兩個正解u,u′.

參考文獻(xiàn):

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[10] E.卡姆克.常微分方程手冊[M].張鴻林,譯.北京：科學(xué)出版社，1997：25-28.

Existence of Multiple Positive Solutions for a Kind of Elastic Beam Equation

ZHANG Rui, LU Zhengzhi

(College of Mathematics, Lanzhou City University, Lanzhou 730070, China)

Abstract:This paper studies a kind of fourth-order two-point boundary value problems

with upper and lower solution as well as fixed-point index theorem. It obtains the result about the existence of its multiple positive solution, and indicates the relations between the positive solutions and the first eigenvalue of the relevant linear problem.

Key words:positive solutions; upper and lower solution; the first eigenvalue; fixed-point index

第14卷第5期2015年9月杭州師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)JournalofHangzhouNormalUniversity(NaturalScienceEdition)Vol.14No.5Sep.2015

第14卷第5期2015年9月杭州師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)JournalofHangzhouNormalUniversity(NaturalScienceEdition)Vol.14No.5Sep.2015