連續(xù)的分布函數(shù)與連續(xù)型隨機(jī)變量的關(guān)系

桂 春 燕

(安慶師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，安徽 安慶 246133)

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連續(xù)的分布函數(shù)與連續(xù)型隨機(jī)變量的關(guān)系

桂 春 燕

(安慶師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，安徽 安慶 246133)

摘要：通過(guò)實(shí)例探討了由分布函數(shù)的連續(xù)性不一定可以得到對(duì)應(yīng)的隨機(jī)變量是連續(xù)型的，這有利于學(xué)生更深入的掌握連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)的特性，從而更好的應(yīng)用于實(shí)際。

關(guān)鍵詞：連續(xù)型隨機(jī)變量；分布函數(shù)；連續(xù)函數(shù)

概率論中隨機(jī)變量的分布函數(shù)是一個(gè)非常重要的知識(shí)點(diǎn)，我們已經(jīng)熟知離散型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(x)一定是非連續(xù)函數(shù)， 且F(x)應(yīng)滿(mǎn)足

(1)

其中{xn}為離散型隨機(jī)變量X的至多可列個(gè)取值；反之若分布函數(shù)F(x)滿(mǎn)足(1)，且{xn}的取值至多可列個(gè)，則對(duì)應(yīng)的隨機(jī)變量是離散型的。本文就學(xué)生在學(xué)習(xí)連續(xù)型隨機(jī)變量分布函數(shù)的過(guò)程中經(jīng)常產(chǎn)生的一種錯(cuò)誤觀點(diǎn)“分布函數(shù)連續(xù)的隨機(jī)變量是連續(xù)型隨機(jī)變量”，通過(guò)列舉反例來(lái)進(jìn)行解釋說(shuō)明，以便于學(xué)生更好的理解隨機(jī)變量的分布函數(shù)。首先我們來(lái)看一些預(yù)備知識(shí)。

定義1[1]設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，x∈R，則稱(chēng)F(x)=P(X≤x)為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)。

由定義1，分布函數(shù)F(x)顯然滿(mǎn)足：

(1)F(x)單調(diào)不減，即若x1,x2∈R且x1

(2)0≤F(x)≤1且F(-∞)=0,F(+∞)=1；

定義2[1]如果對(duì)于隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(x)，存在非負(fù)可積函數(shù)f(x)，對(duì)任意x∈R有

則稱(chēng)X為連續(xù)型隨機(jī)變量，f(x)稱(chēng)為隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)。

1連續(xù)的分布函數(shù)與連續(xù)型隨機(jī)變量的關(guān)系

定理連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù)。

證明由定義2易知連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)是積分上限函數(shù)，從而是連續(xù)函數(shù)。

例1連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為

由定義2易求得其分布函數(shù)為

顯然F(x)是一個(gè)連續(xù)函數(shù)。

那么，上述定理的逆命題 “如果一個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù)，它一定是連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)”成立嗎？答案是否定的，請(qǐng)看下面分布函數(shù)：

故C是閉集，它的Lebesgue測(cè)度為

μ(C)=μ([0,1])-μ(B)=1-1=0

在開(kāi)集B上定義

顯然0

易知F(x)是一個(gè)連續(xù)的分布函數(shù)，由存在定理知一定存在一個(gè)隨機(jī)變量X，使得它的分布函數(shù)是F(x)。由定義2，

(2)

但f(x)是隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)，應(yīng)滿(mǎn)足

(3)

顯然(2)和(3)產(chǎn)生矛盾！所以隨機(jī)變量X不是連續(xù)型隨機(jī)變量。說(shuō)明定理的逆命題不成立。

2幾點(diǎn)評(píng)注

(1)以上結(jié)果說(shuō)明，分布函數(shù)的連續(xù)性只是隨機(jī)變量是連續(xù)型的必要條件而非充分條件，所以我們不能簡(jiǎn)單的由隨機(jī)變量的分布函數(shù)是一個(gè)連續(xù)函數(shù)去判斷這個(gè)隨機(jī)變量是連續(xù)型的；

(2)對(duì)于如何利用分布函數(shù)來(lái)判定隨機(jī)變量是否為連續(xù)型的，首先，驗(yàn)證分布函數(shù)是否為連續(xù)的，如果不連續(xù)，則肯定不是連續(xù)型隨機(jī)變量；其次，如果分布函數(shù)是連續(xù)的，則進(jìn)一步通過(guò)分布函數(shù)求出相應(yīng)的密度函數(shù)，然后驗(yàn)證該密度函數(shù)是否滿(mǎn)足非負(fù)性與規(guī)范性[2-3]。

參考文獻(xiàn):

[1] 盛驟.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(第四版)[M]. 北京：高等教育出版社，2008.

[2]何曉霞，聞江業(yè)，尹凱凱，郭發(fā)陽(yáng). 連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)分布的求法及其應(yīng)用[J]. 高師理科學(xué)刊，2014，34(3)：48-50.

[3] 葉仁玉. 關(guān)于連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)分布的探討[J].安慶師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2010，16(4)：79-81.

Ralation Between Continuous Distribution Function and Continuous Random Variable

GUI Chun-yan

(School of mathematics and computational science，Anqing Teachers College, Anqing 246133,China)

Abstract:In this paper, an example shows that there exists a continuous distribution function which the corresponding random variable is not continuous. This knowledge can help student master the characteristics of distribution function which the random variable is continuous and apply to the actual better.

Key words:continuous random variable，distribution function， continuous function

中圖分類(lèi)號(hào)：O211.62

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1007-4260(2015)01-0101-02

DOI：10.13757/j.cnki.cn34-1150/n.2015.01.028

作者簡(jiǎn)介：桂春燕，女，安徽桐城人，碩士，安慶師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院講師，研究方向?yàn)楦怕式y(tǒng)計(jì)。

基金項(xiàng)目：安慶師范學(xué)院校級(jí)青年科研項(xiàng)目(KJ201106)。

收稿日期：2014-07-14