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      嚴格α-預不變凸函數的若干性質

      2016-01-22 08:53:17王海英符祖峰

      王海英,符祖峰

      (安順學院數理學院,貴州 安順 561000)

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      嚴格α-預不變凸函數的若干性質

      王海英,符祖峰

      (安順學院數理學院,貴州 安順 561000)

      摘要:首先,在中間嚴格α-預不變凸函數條件下,利用α-預不變凸性、半嚴格α-預不變凸性、上半連續(xù)性和下半連續(xù)性,得到了嚴格α-預不變凸函數的一些特征性質。其次,通過弱化γ∈(0,1)的一致性條件,在相對更弱的條件下,也獲得了同樣的結論。

      關鍵詞:嚴格α-預不變凸函數;α-預不變凸函數;半嚴格α-預不變凸函數;半連續(xù)函數

      0引言

      凸性及廣義凸性是數學規(guī)劃研究領域中的一項重要的研究內容,在最優(yōu)化理論的研究中起到了重要作用。作為對凸函數的推廣,人們先后提出了一些廣義凸函數,例如預不變凸函數[1]、嚴格預不變凸函數[2]、半嚴格預不變凸函數[3]、α-預不變凸函數[4]、嚴格α-預不變凸函數[5]、半嚴格α-預不變凸函數[6]等,并且研究了這些廣義凸函數的一些性質及在優(yōu)化問題中的一些應用[7-11]。

      本文注意到,在一定條件下,凸性可以通過中間點的凸性得到,預不變凸性也可以通過中間點的預不變凸性得到,而預不變凸函數是α-預不變凸函數的一種特殊情形。所以,本文在α-預不變凸、半嚴格α-預不變凸、上半連續(xù)和下半連續(xù)條件下,分別建立了嚴格α-預不變凸函數的一些類似結論。并且,在通過弱化γ∈(0,1)的一致性條件下,利用弱中間嚴格α-預不變凸性,也獲得了同樣的結論。

      1預備知識

      假設H是實Hilbert空間,K?H且K≠φ。α:K×K→R是實值函數,η:K×K→H是向量值函數。

      定義1[4]如果對于?x,y∈K,?λ∈[0,1],有y+λα(x,y)η(x,y)∈K,則稱K是關于η和α的α-不變凸集。

      定義2[4]設K是α-不變凸集,f是定義在K上的函數,如果對于?x,y∈K,?λ∈[0,1],有f(y+λα(x,y)η(x,y))≤(1-λ)f(y)+λf(x),則稱f是K上的α-預不變凸函數。

      定義3[5]設K是α-不變凸集,f是定義在K上的函數,如果對于?x,y∈K,x≠y,?λ∈(0,1),有f(y+λα(x,y)η(x,y))<(1-λ)f(y)+λf(x),則稱f是K上的嚴格α-預不變凸函數。

      定義4[6]設K是α-不變凸集,f是定義在K上的函數,如果對于?x,y∈K,f(x)≠f(y),?λ∈(0,1),有f(y+λα(x,y)η(x,y))<(1-λ)f(y)+λf(x),則稱f是K上的半嚴格α-預不變凸函數。

      下面的條件和引理將在討論嚴格α-預不變凸函數的一些性質時用到。

      條件A[4]f(y+α(x,y)η(x,y))≤f(x),?x,y∈K;

      引理[7]?x,y∈K,?λ∈[0,1],如果η和α滿足關系式η(y,y+λα(x,y)η(x,y))=-λη(x,y),α(x,y)=α(y,y+λα(x,y)η(x,y)),則?γ1,γ2∈[0,1],有α(y+γ1α(x,y)η(x,y),y+γ2α(x,y)η(x,y))=α(x,y);η(y+γ1α(x,y)η(x,y),y+γ2α(x,y)η(x,y))=(γ1-γ2)η(x,y)。

      2主要結果

      本節(jié)假設:

      1)K是關于η:K×K→H和α:K×K→R的α-不變凸集;

      2)η滿足條件C,α滿足條件α(x,y)=α(y,y+λα(x,y)η(x,y)),f是K上的實值函數。

      下面通過構建適當條件,在中間點的嚴格α-預不變凸性下,建立嚴格α-預不變凸函數的幾個等價條件。

      定理1f是K上的嚴格α-預不變凸函數當且僅當下面的條件成立:

      1)條件Ⅰ:f是K上的α-預不變凸函數;

      2)條件Ⅱ:如果?γ∈(0,1),使得對?x,y∈K,x≠y,均有f(y+γα(x,y)η(x,y))<(1-γ)f(y)+γf(x)。

      證明由嚴格α-預不變凸函數的定義可以直接得到必要性,只需證明充分性。

      假設f不是K上的嚴格α-預不變凸函數,則至少存在兩個點x,y∈K,x≠y,及某個λ∈(0,1),有:

      f(y+λα(x,y)η(x,y))≥λf(x)+(1-λ)f(y)

      (1)

      選取β1,β2且0<β1<β2<1,λ=γβ1+(1-γ)β2。令x*=y+β1α(x,y)η(x,y),y*=y+β2α(x,y)η(x,y),由題設條件Ⅰ,有:

      f(x*)≤β1f(x)+(1-β1)f(y),f(y*)≤β2f(x)+(1-β2)f(y)

      (2)

      同時由引理1可得y*+γα(x*,y*)η(x*,y*)=y+λα(x,y)η(x,y),從而由題設條件Ⅱ,有:

      f(y+λα(x,y)η(x,y))=f(y*+γα(x*,y*)η(x*,y*))<(1-γ)f(y*)+γf(x*)

      (3)

      根據式(2)、式(3)可得f(y+λα(x,y)η(x,y))<(1-γ)f(y*)+γf(x*)≤γ[β1f(x)+(1-β1)f(y)]+(1-γ)[β2f(x)+(1-β2)f(y)]=λf(x)+(1-λ)f(y),這與式(1)矛盾,即證得f是在K上的嚴格α-預不變凸函數。

      定理2f是K上的嚴格α-預不變凸函數當且僅當下面的條件成立:

      1)條件Ⅰ:f是K上的半嚴格α-預不變凸函數;

      2)條件Ⅱ:如果?γ∈(0,1),使得對?x,y∈K,x≠y均有f(y+γα(x,y)η(x,y))<(1-γ)f(y)+γf(x)。

      證明直接由嚴格α-預不變凸函數的定義可以得到必要性,只需要證明充分性。

      設?x,y∈K,x≠y,λ∈(0,1),如果f(x)≠f(y),由題設條件Ⅰ,有f(y+λα(x,y)η(x,y))<(1-λ)f(y)+λf(x)。如果f(x)=f(y),由題設條件Ⅱ有f(y+γα(x,y)η(x,y))<(1-γ)f(y)+γf(x)=f(x)=f(y)。記x*=y+γα(x,y)η(x,y),下面分兩種情況討論:

      x*+uα(y,x*)η(y,x*)=y+λα(x,y)η(x,y)

      (4)

      于是由題設條件Ⅰ和式(4),可得f(x*+μα(y,x*)η(y,x*))<(1-λ)f(y)+λf(x)=f(x)。

      綜上,證得f是K上的嚴格α-預不變凸函數。

      事實上,定理1的條件可以削弱,得到如下的結論。

      定理3f是K上的嚴格α-預不變凸函數當且僅當下面的條件成立:

      1)條件Ⅰ:f是K上的α-預不變凸函數;

      2)條件Ⅱ:如果對?x,y∈K,x≠y,都?γ∈(0,1)使得f(y+γα(x,y)η(x,y))<(1-γ)f(y)+γf(x)。

      證明由嚴格α-預不變凸函數的定義可以直接得到定理的必要性,只需證明定理的充分性。

      對于?x,y∈K,x≠y,?λ∈[0,1],由題設條件Ⅱ,?γ∈(0,1),使得:

      f(y+γα(x,y)η(x,y))<(1-γ)f(y)+γf(x)

      (5)

      記x*=y+γα(x,y)η(x,y),下面分兩種情況考慮:

      f(y+λα(x,y)η(x,y))<λf(x)+(1-λ)f(y)

      (6)

      2)當γ<λ<1時,同理可證得式(6)成立。

      綜上,證得f是K上的嚴格α-預不變凸函數。

      同理,定理2的條件也可以削弱,得到如下的結論。

      定理4f是K上的嚴格α-預不變凸函數當且僅當下面的條件成立:

      1)條件Ⅰ:f是K上的半嚴格α-預不變凸函數;

      2)條件Ⅱ:如果對?x,y∈K,f(x)≠f(y),都?γ∈(0,1)使得f(y+γα(x,y)η(x,y))<(1-γ)f(y)+γf(x)。

      下面,給出嚴格α-預不變凸函數與上半連續(xù)函數、下半連續(xù)函數之間的重要關系。

      定理5f是K上的嚴格α-預不變凸函數當且僅當下面的條件成立:

      1)條件Ⅰ:f上半連續(xù)且滿足條件A;

      2)條件Ⅱ:如果?γ∈(0,1),使得對?x,y∈K,x≠y均有f(y+γα(x,y)η(x,y))<(1-γ)f(y)+γf(x)。

      證明由嚴格α-預不變凸函數的定義可以直接得到定理的必要性,只需證明充分性。

      f(y+λ1α(x,y)η(x,y))-λ1f(x)-(1-λ1)f(y)=0

      (7)

      f(y+λ2α(x,y)η(x,y))-λ2f(x)-(1-λ2)f(y)=0

      (8)

      令x*=y+λ1α(x,y)η(x,y),y*=y+λ2α(x,y)η(x,y),則對?β∈(0,1),由于λ1<βλ1+(1-β)λ2<λ2,注意到λ1,λ2的取法,及引理1、(7)、(8)知,f(y*+βα(x*,y*)η(x*,y*))=f[y+λ2α(x,y)η(x,y)+βα(y+λ1α(x,y)η(x,y),y+λ2α(x,y)η(x,y))η(y+λ1α(x,y)η(x,y),y+λ2α(x,y)η(x,y))]=f[y+λ2α(x,y)η(x,y)+β(λ1-λ2)α(x,y)η(x,y)]=f[y+(βλ1+(1-β)λ2)α(x,y)η(x,y)]≥(βλ1+(1-β)λ2)f(x)+[1-(βλ1+(1-β)λ2)]f(y)=β[λ1f(x)+(1-λ1)f(y)]+(1-β)[λ2f(x)+(1-λ2)f(y)]=βf(y+λ1α(x,y)η(x,y))+(1-β)f(y+λ2α(x,y)η(x,y))=βf(x*)+(1-β)f(y*),這與題設條件Ⅱ相矛盾,即f是K上的嚴格α-預不變凸函數。

      定理6f是K上的嚴格α-預不變凸函數當且僅當下面的條件成立:

      1)條件Ⅰ:f下半連續(xù)且滿足條件A;

      2)條件Ⅱ:如果?λ∈(0,1),使得對?x,y∈K,x≠y均有f(y+λα(x,y)η(x,y))<(1-λ)f(y)+λf(x)。

      證明必要性可直接由嚴格α-預不變凸函數的定義得到,只需證明充分性。令A={λ∈[0,1]:f(y+λα(x,y)η(x,y))<λf(x)+(1-λ)f(y),?x,y∈K,x≠y}。則由題設條件知,f在A上有定義。

      因為f下半連續(xù),所以f(y+λα(x,y)η(x,y))≤λf(x)+(1-λ)f(y),即f是K上的α-預不變凸函數。根據定理1,f是K上的嚴格α-預不變凸函數。

      同理,定理5和定理6的條件也可以削弱,得到如下的結論。

      定理7f是K上的嚴格α-預不變凸函數當且僅當下面的條件成立:

      1)條件Ⅰ:f上半連續(xù)且滿足條件A;

      2)條件Ⅱ:如果對?x,y∈K,f(x)≠f(y),都?γ∈(0,1)使得f(y+γα(x,y)η(x,y))<(1-γ)f(y)+γf(x)。

      定理8f是K上的嚴格α-預不變凸函數當且僅當下面的條件成立:

      1)條件Ⅰ:f下半連續(xù)且滿足條件A;

      2)條件Ⅱ:如果對?x,y∈K,f(x)≠f(y),都?λ∈(0,1)使得f(y+λα(x,y)η(x,y))<(1-λ)f(y)+λf(x)。

      3結束語

      嚴格預不變凸函數是嚴格α-預不變凸函數的一種特殊的情形。本文將嚴格預不變凸函數的一些結果[2,8]推廣到嚴格α-預不變凸函數,只考慮在中間點的嚴格α-預不變凸和一定條件下,簡化了一些證明過程,在一定程度上弱化了一些條件,從而為檢驗一個函數是不是嚴格α-預不變凸函數提供了一些方便方法。

      參考文獻

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      [5]王美霞.α-預不變凸函數[D].天津:河北工業(yè)大學,2007:7-11.

      [6]王海英,符祖峰.半嚴格α-預不變凸函數的一些性質[J].安順學院學報,2012,14(3):130-132.

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      [8]龐君乾,吳惠仙.嚴格預不變凸函數判別準則的注記[J].杭州電子科技大學學報,2007,27(2):96-98.

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      [10]Oveisiha M,Zafarani J.Vector optimization problem and generalized convexity[J].Journal of Global Optimization,2012,52(1):29-43.

      [11]Tang W M.On Strictly and Semistrictly Quasiα-Preinvex Functions[J].Journal of Computational Analysis and Applications,2013,15(8):1391-1402.

      Some Properties of Strictlyα-Preinvex Functions

      Wang Haiying,Fu Zufeng

      (DepartmentofMathematicsandPhysics,AnshunUniversity,AnshunGuizhou561000,China)

      Abstract:In this paper,we firstly give some characterizations of strictly α-preinvex functions under intermediate-point strictly α-preinvex for α-preinvex functions,semistrictly α-preinvex functions,upper semicontinuous functions and lower semicontinuous functions.Secondly,through the weakened consistency condition ofγ∈(0,1),in the relatively weaker conditions,we also obtain the same conclusion.

      Key words:strictly α-preinvex function;α-preinvex function;semistrictly α-preinvex function;semicontinuous function

      中圖分類號:O224

      文獻標識碼:A

      文章編號:1001-9146(2015)06-0080-05

      作者簡介:王海英(1982-),女,河南南陽人,副教授,非線性泛函分析和最優(yōu)化理論.

      基金項目:國家自然科學基金資助項目(61304146);貴州省高校優(yōu)秀科技創(chuàng)新人才支持計劃資助項目(黔教合KY字[2012]101號);貴州省科技廳、安順市政府、安順學院三方聯合基金資助項目(黔科合J字LKA[2013]19號)

      收稿日期:2015-03-16

      DOI:10.13954/j.cnki.hdu.2015.06.017

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