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    矩陣?yán)碚撛跀?shù)學(xué)中的應(yīng)用

    2016-01-20 06:49:44張昕張莉莉
    速讀·中旬 2016年1期

    張昕 張莉莉

    摘 要:本文給出了秩為r的矩陣A秩分解的初等變換法求因子矩陣及在解線性方程組

    的應(yīng)用.并介紹矩陣的分塊在矩陣?yán)碚撟C明和矩陣運(yùn)算中的應(yīng)用。

    關(guān)鍵詞:矩陣秩分解;初等變換;分塊矩陣;

    1求矩陣秩分解的初等變換法及其應(yīng)用

    眾所周知,設(shè)A是m[×]n矩陣P,n[×]n矩陣Q,使PAQ = [Ir000],此式稱為矩陣A 的

    解[1].對(duì)上式一般的教科書中從未給出 P 、Q 的具體求法,本文給出求 P 、Q 的初等變換法如下:

    由P 、Q 可逆,可設(shè) P = P[s] P[s-1]…[]P[1], Q ?= ?Q[1] Q[2]… ?Q[t] ,P[i], Q[j]均為初等矩陣,1[≤][i] [≤]s, 1[≤]j[≤]t,所以P[s] P[s-1]…P[1]AQ[1]Q[2]…Q[t] = ?[Ir000],

    且 P[s] P[s-1]…P[1]I[m] = P, I[n]Q[1] Q[2]…Q[t] = Q

    這表明,當(dāng)經(jīng)過一系列初等行、列變換把 A 變成 [Ir000] 時(shí),相同的行變換就將I[m][]變成了P ,而相同有列變換將I[n][]變成了Q ,由此得

    [A…Im………Im…0] [對(duì)A作初等變換對(duì)Im僅作與A相同的行變換,對(duì)In僅作與A相同的列變換]>[Ir0…P00……………Q…0]

    從而得

    PAQ ?= ?[Ir000] (1)

    下面利用上述 P、Q 討論線性方程組的問題.

    設(shè)有齊次線性方程組

    AX = 0 ?(2)

    式中,A 同(1)式.

    設(shè)Q = ([α][1],[α][2],…, [α][n]),則由(1)得,A[α][r+1][]= ?0,[α][r+1], …,[α][n]是(2)的解向量,又秩 A = r, Q可逆,得 [αr+1],[αr+2] ,…,[αn]是齊次線性方程組(2)的一個(gè)基礎(chǔ)解系.

    現(xiàn)考慮一般線性方程組

    AX = b (3)

    其中b = (b[1],b[2],…,b[m])[T], X =( ?[x][1],[x][2], ?… ,[x][n][])[T][][], A 如上

    由PAQ = [Ir000] , A = P[-1] [Ir000] ?Q[-1]代入(3)得

    P[-1] ?[Ir000] Q[-1]X = b,[Ir000] Q[-1]X = P b ?(4)

    于是方程(3)有解當(dāng)且僅當(dāng)(4)有解.

    設(shè) Q[-1]X = Y = ([y1],[y2],… ,[yn])[T], ?P b ?= (b[1],b[2],…,b[m])[T],(4)變成

    [][][y1y2?y30?0ζm-r] =[b1b2?brbr+1?bm] ?(5)

    (4)與(5)同解,顯然(5)可解當(dāng)且僅當(dāng) [br+1]= … = b[m] = 0 ,于是得

    定理 1方程組(3)有解充要條件是 P b 的后 m-r 個(gè)分量全為 0.

    現(xiàn)設(shè)方程組(3)有解,由(5)取[y1] = [b1],…, [yr] = [br],[yr+1] = … = [yn] = 0,又設(shè) Q = ([α][1],[α][2],…,[αr] ,[αr+1],… ,[α][n]),則(3)的一個(gè)特解

    [η0] = QY = ([α][1],[α][2],…,[αr] ,[αr+1],… ,[α][n])[b1?br0?0ζm-r][]

    []= ([α][1],[α][2],…,[αr] ,0 ,… ,0)[b1?br0?0ζm-r]

    = ([α][1],[α][2],…,[αr] ,[0,…,0︷n-r] )P b

    由此可得

    2分塊矩陣?yán)碚摰姆椒☉?yīng)用

    利用矩陣的分塊進(jìn)行矩陣運(yùn)算是討論階數(shù)較高矩陣時(shí)一種常用技巧,她可以使問題簡(jiǎn)化。

    2.1可解決矩陣秩的問題

    設(shè)A是m [×] n 階矩陣,秩A = r,證明:存在m [×] r 階矩陣B 和r [×] n 階矩陣C ,

    秩 B = 秩 C = r 使得 A = BC

    證明:因?yàn)橹華 = r, 所以存在m階可逆矩陣P 和 n 階可逆矩陣 Q,

    使得 PAQ = ?[Ir000] .所以,A = P[-1] [Ir000] ?Q[-1]

    將P[-1],Q[-1] 分塊:P[-1] = (B[m×r],P[1]), Q[-1] = [Cr×nQ1],其中:P[1]為m[×](m-r)階矩陣,Q[1]為(n-r)[×]n 階矩陣

    那么:秩 B = 秩 C = r ,且A = (B, P[1])[Ir000][CQ1] ?= BC

    推論: 一個(gè)n 階矩陣 A 的秩 [≤] 1必要且只要 A 可以表為一個(gè) n [×] 1 矩陣和一個(gè)

    1 [×] n 矩陣的乘積.

    證明:必要性:

    (1)若秩A = 0 , 顯然有 A = [00?0] [00…0]. 命題成立.

    (2)若秩A = 1,則由上題可知,A = BC 。其中B 為 n [×] 1 矩陣,C 為 1 [×]

    n 矩陣,且秩 B = 秩 C = 1

    充分性:設(shè)

    A = [α1α2?αn] [b1b2…bn] = [a1b1a1b2…a1bna2b1a2b2…a2banb1anb2…anbn]

    由A知,它的任何二階子式 [aibjaibkasbjasbk] = [aias][bjbkbjbk] = 0

    所以, 秩 A [≤] 1

    2.2可解決求逆矩陣問題

    已知 A[i](I = 1,2,…,s)都是可逆矩陣,

    則有([i])[A1OA2O?As]=[A-11OA-12O?A-1s]

    ([i][i])[0A1A20-1]= )[0A-12A-110]

    證明略:[]

    例:A = [0a10…0000a2…00000…0an-1an00…00] ,求:A[-1]

    解:令 A = [0Dan0],其中 D = [a10…00a2…000…an-1]

    所以,A[-1] = ?[0a-1nD-10] ?= ?[000…0a-1na-1100…000a-120…00000…a-1n-10]

    2.3可解決矩陣的特征根問題

    設(shè) V 是數(shù)域 F上 n維向量空間,W[1],W[2]都是 V 的不變子空間,若V = W[1][⊕] W[2],[σ][∈](V),則[σ]關(guān)于V的基的矩陣為[A100A2]形式

    證明: 令dim W[1] = r, 則dim W[2]= n-r,且若[a1],[a2],…,[ar]是W[1]的基,[ar+1],…,[an]是W[2]的基,則[a1],[a2],…,[ar],[ar+1],…,[an]是 V 的基,則有[σ]([a1]),[σ]([a2]) ,…,[σ]([ar])[∈] W[1] ,[σ]([ar+1]),…,[σ]([an])[∈] W[2]

    若令:[σ]([a1]) ?= a[11][a1] + a[21][a2] + …+ a[r1][ar]

    [σ]([a2]) = a[12][a1] + a[22][a2] + …+ a[r2][ar]

    … ?… ?… ?… ?… ?… ?… ?… ?…

    [σ]([ar]) = a[a1][a1] + a[a2][a2] + …+ a[rr][ar]

    [σ]([ar+1])= a[r+1,r+1][ar+1] + …+ a[n,r+1][an]

    … ?… ?… ?… ?… ?… ?… ?… ?…

    [σ]([an]) = a[r+1,n][ar+1] + …+ a[nn][an]

    所以,[σ]關(guān)于[a1],[a2],…,[an]的矩陣為[A100A2]

    其中 ?A[1] = [a11…ar1a1r…arr] ?A[2] = [ar+1,r+1,…an,r+1ar+1,n…ann][]

    參考文獻(xiàn):

    [1] 張禾瑞,郝炳新.高等代數(shù)(第三版)[M].北京:高等教育出版社,1983.

    [2] 張禾瑞, 郝炳新.高等代數(shù)(第四版)[M].北京:高等教育出版社,1999.215-334.

    [3] 王向東,等.高等代數(shù)常用方法[M].北京:科學(xué)出版社,1989.220-242.

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