2n階常微分方程周期邊值問題解的存在唯一性

李永祥,白　靜

(西北師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院,甘肅蘭州　730070)

2n階常微分方程周期邊值問題解的存在唯一性

李永祥,白靜

(西北師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院,甘肅蘭州730070)

摘要：研究2n階非線性常微分方程周期邊值問題

關(guān)鍵詞：Fourier 分析法；Leray-Schauder 不動點定理；周期邊值問題；解的存在唯一性

收稿日期：2015-03-22;修改稿收到日期:2015-07-17

基金項目:國家自然科學基金資助項目(11261053);甘肅省自然科學基金資助項目(1208RJZA129)

作者簡介：李永祥(1963—),男，甘肅秦安人,教授,博士研究生導師.主要研究方向為非線性泛函分析與非線性微分方程.E-mail:liyx@nwnu.edu.cn

中圖分類號：O 175.8

文獻標志碼：標志碼：A

文章編號：章編號：1001-988Ⅹ(2015)06-0006-04

Abstract:This paper deals with the existence and uniqueness of solutions for 2nth-order ordinary differential equation with periodic boundary value condition

doiRis continuous and 2π-peric with respect to t.By applying the Fourier analysis method and Leray-Schauder fixed point theorem,the results of existence and uniqueness are obtained when the nonlinearity f satisifies proper growth conditions.

Existenceanduniquenessforperiodicboundary

valueproblemsof2nth-orderordinarydifferentialequations

LIYong-xiang，BAIJing

(CollegeofMathematicsandStatistics,NorthwestNormalUniversity,Lanzhou730070,Gansu,China)

Keywords:Fourieranalysismethod;Leray-Schauderfixedpointtheorem;periodicboundaryvalueproblem;existenceanduniquenessofsolutions

0引言

常微分方程周期邊值問題是現(xiàn)代數(shù)學的一個重要分支，周期現(xiàn)象存在的普遍性使得這一問題的研究具有重大的理論價值和現(xiàn)實意義.對于一階和二階常微分方程，很多作者利用單調(diào)迭代法、不動點理論和上下解方法，對其周期解的存在性進行深入研究，獲得了許多經(jīng)典結(jié)果.文獻[1]運用單調(diào)迭代法研究了方程

并獲得了當其上下解存在，f是Carathéodory函數(shù)且f(t,u,v)對u,v分別滿足單邊Lipschitz條件時，該方程周期解的存在性.

近幾年，高階常微分方程周期解存在性的研究越來越受到人們的重視[2-8].文獻[2]運用不動點指數(shù)理論和極大值原理，得到了四階常微分方程周期邊值問題(PBVP)

正解的存在性.文獻[8]討論了n階方程

周期解的存在唯一性，推廣了Duffing方程的非共振條件.

本文運用Fourier分析法和Leray-Schauder不動點定理，通過對非線性項f所滿足增長條件的討論，獲得了2n階常微分方程周期邊值問題

(1)

1準備工作

給定h∈H，考慮2n階線性周期邊值問題(LPBVP)

(2)

(2) 對?h∈H，LPBVP(2)的唯一解u∈W2n,2(I)滿足：

設(shè)u=Sh，則u∈W2n,2(I)是LPBVP(2)的唯一解.顯然，u與u(m)(m=1,2,…,2n-1)都可展為Fourier級數(shù).設(shè)

則由Fourier系數(shù)的積分公式，有

因此，由u(2n)(t)+au(t)=h(t)可知，

根據(jù)Fourier展式的唯一性可得，

由Parseval等式，有

當n=2l+1(l∈N)時，

當n=2l(l∈N)時，

從而

所以

(2) 對?1≤m≤2n-1，由(4)式以及Parseval等式，有

所以

2主要結(jié)果及其證明

定理1設(shè)f∈C(I×R2n,R),若f滿足增長條件：

其中M>0,ci≥0(i=0,1,…,2n-1)且ci滿足

則PBVP(1)有解.

考察方程簇

設(shè)u∈X是方程簇(9)中某一λ∈(0,1)相應(yīng)的方程的解.令h=λF(u)，則由S的定義可知u=Sh∈W2n,2(I)是LPBVP(2)的唯一解.由引理1(1)，有

由(8)式，(6)式以及(3)式，有

結(jié)合(10)式，易得

定理2設(shè)f∈C(I×R2n,R)，若對?t∈I,(x0,x1,…,x2n-1),(y0,y1,…,y2n-1)∈R2n，非線性項f滿足Lipschitz條件：

其中c0,c1,…,c2n-1滿足(7)式，則PBVP(1)有唯一解.

即條件(6)成立.又c0,c1,…,c2n-1滿足(7)式,所以由定理1可知，PBVP(1)有解.

下證唯一性，設(shè)u1,u2∈C2n(I)是PBVP(1)的兩個解.設(shè)ui=S(F(ui)),i=1,2，則由(8)式及(11)式，可得

由于u2-u1是LPBVP(2)中h=F(u2)(t)-F(u1)(t)對應(yīng)的解，所以由(12)式和(3)式，有

從而，結(jié)合引理1(1)，有

在定理1中，如果條件(6)加強為：存在M>0,ci≥0(i=0,1,…,2n-1)，使得

則有如下結(jié)論成立：

定理3設(shè)f∈C(I×R2n,R)，若f滿足條件(13)，ci滿足(7)式，則PBVP(1)有解.

設(shè)u∈X是方程簇(9)中某一λ∈(0,1)相應(yīng)的方程的解.令h=λF(u)，則(10)式成立.按S的定義可知，u=Sh∈W2n,2(I)是LPBVP(2)的唯一解.由(8)式，(13)式以及(3)式，得

結(jié)合(10)式,有

所以

即方程簇(9)的解集在X中有界.因此，由Leray-Schauder不動點定理，A有不動點，該不動點是PBVP(1)在C2n(I)中的解.】

若偏導數(shù)fx0,fx1,…,fx2n-1存在，則由定理2和微分中值定理可得

推論1設(shè)f∈C(I×R2n,R)，偏導數(shù)fx0,fx1,…,fx2n-1存在，若存在ci>0使得

且ci滿足(7)式，則PBVP(1)有唯一解.

參考文獻:

[1]JIANGDa-qing,FANMeng,WANA-ying.Amonotonemethodforconstructingextremalsolutionstosecond-orderperiodicboundaryvalueproblems[J].J Com Appl Math,2001,136(1):189.

[2]LIYong-xiang.Positivesolutionforfourth-orderperiodicboundaryvalueproblems[J].Nonl Anal,2003,54(6):1069.

[3]CONGFu-zhong.Existenceofperiodicsolutionof(2n+1)th-orderordinarydifferentialequation[J].Appl Math,2004,17(6):727.

[4]LIYong-xiang,YANGHe.Existenceanduniquenessofperiodicsolutionforodd-orderordinarydifferentialequations[J].Ann Polon Math,2011,2(100):105.

[5]CONGFu-zhong,HUANGQing-dao,SHIShao-yun.Existenceanduniquenessofperiodicsolutionfor(2n+1)th-orderdifferentialequations[J].J Math Anal Appl,2000,241(1):1.

[6]CABADAA.Themethodofloweranduppersolutionsfornth-orderperiodicboundaryvalueproblems[J].J Appl Math Stoch Anal,1994,7:33.

[7]LIYong-xiang.Existenceanduniquenessforhigherorderperiodicboundaryvalueproblemunderspectralseperationconditions[J].J Math Anal Appl,2006,322(2):530.

[8]LIYong-xiang,MUJia.Oddperiodicsolutionsfor2nth-orderordinarydifferentialequations[J].Non Anal Appl,2010,73(10):3268.

(責任編輯馬宇鴻)