中國太極圖理論的數(shù)學(xué)模型及應(yīng)用(Ⅱ)

陳克恭，馬如云

(西北師范大學(xué)，甘肅蘭州　730070)

中國太極圖理論的數(shù)學(xué)模型及應(yīng)用(Ⅱ)

陳克恭，馬如云

(西北師范大學(xué)，甘肅蘭州730070)

摘要：借助陳-馬的數(shù)學(xué)模型，通過簡單的比例關(guān)系，將陳-馬給出的方形陰陽圖變換成與經(jīng)典太極陰陽圖類似的圓形陰陽圖.通過數(shù)值計算給出了精準(zhǔn)的二十四節(jié)氣曲線和二十四節(jié)氣陰陽值列表.

關(guān)鍵詞：太極圖；數(shù)學(xué)模型；相對偏離量；陰陽值；二十四節(jié)氣

收稿日期：2015-10-10;修改稿收到日期:2015-10-18

馬如云，男，教授，博士研究生導(dǎo)師.主要研究方向為大范圍分析和微分方程.E-mail:mary@nwnu.edu.cn

基金項目:國家自然科學(xué)基金資助項目(11361054)

作者簡介：陳克恭(1961—)，男，甘肅蘭州人，研究員，博士研究生導(dǎo)師,西北師范大學(xué)黨委書記.主要研究方向為自然地理學(xué).E-mail:chenkg@nwnu.edu.cn

中圖分類號：O 112

文獻標(biāo)志碼：標(biāo)志碼：A

文章編號：章編號：1001-988Ⅹ(2015)06-0001-05

Abstract:In this paper the square diagram of Chen-Ma’s Yin-Yang double-fish is transformed into the circular diagram of Yin-Yang double-fish via a simple proportional relationship.Meanwhile,the precision curve of the 24 solar terms is plotted,and a list of Yin-Yang values to the 24 solar terms is given via a numerical computation.

Mathematical model on Chinese Yin-and-Yang

double-fish diagram and its application(Ⅱ)

CHEN Ke-gong,MA Ru-yun

(Northwest Normal University,Lanzhou 730070,Gansu,China)

Key words:Yin-and-Yang double-fish diagram;mathematical model;relative deviation;Yin-Yang values;24 solar terms

0引言

老子曰：“人法地，地法天，天法道，道法自然.”陳克恭在《“轉(zhuǎn)型”張掖——生態(tài)經(jīng)濟之路》[1]及《關(guān)于生態(tài)文明的實踐感悟與哲學(xué)思考》的講座中，運用中國古代的陰陽平衡理論，闡釋張掖綠洲中沙與水的辯證關(guān)系.張掖荒漠化地區(qū)是綠洲與荒漠以水為要素平衡而存在的，“水”和“沙”相互博弈、相互依存，有水即為綠洲，無水則成沙漠.現(xiàn)在自然會問：怎樣在數(shù)學(xué)上找到依據(jù)，以便利用太極陰陽圖(圖1)來準(zhǔn)確地刻畫沙水相互依存和相互作用的數(shù)量關(guān)系？

運用數(shù)學(xué)理論研究中國古代的陰陽學(xué)說已有一些很好的工作[2-8].近來，陳克恭和馬如云[9]通過引入單純屬性層面的概念并借助單純屬性的狀態(tài)平衡點及其相對偏離量δ來定義相對于δ的陽值和陰值坐標(biāo)為

圖1　傳統(tǒng)太極陰陽魚

則陰值為1-h.在邊長為1的正方形中，高度為h的水平線段被分成長度分別為h和1-h的兩段，如圖2所示.

圖2　陳-馬模型的直方陰陽魚

圖2是直角坐標(biāo)系下陳-馬模型的陰陽魚示意圖.但在中國古人的觀念中，圓能更好地刻畫事物的整體和全局，因此，如何將直方圖所反映的陰陽值關(guān)系在單位圓內(nèi)合理地表示出來是一個非常有意義的問題.

1化方形太極圖為圓形太極圖

將圖2中單位正方形的邊長由1增加到2，然后作邊長為2的正方形，以正方形的左下頂點為原點建立直角坐標(biāo)系，如圖3所示.

圖3　圖2中正方形的邊長被擴大1倍

以點(1,1)為中心、1為半徑作圖3中正方形的內(nèi)接圓，如圖4所示.

圖4　以(1,1)為圓心作半徑為1的內(nèi)接圓

對任意h∈(0,1)，過(0,2h)作水平線交圓于C,D兩點，交正方形于A,B兩點,設(shè)它們的坐標(biāo)分別為C(x-,2h),D(x+,2h),A(0,2h),B(2,2h).過原點O作正方形的對角線OP，交AB于R(2h,2h)，則存在線段CD上的唯一點Q(x,2h)，使得

(2)

即

進而

聯(lián)立方程組

翻轉(zhuǎn)課堂在教學(xué)過程中的應(yīng)用能夠給教學(xué)帶來新的教學(xué)資源，也能夠帶來新的教學(xué)理念，教師在教學(xué)過程中不再是主體，學(xué)生才是自身學(xué)習(xí)的主體。翻轉(zhuǎn)課堂適應(yīng)學(xué)生認知的特點、小學(xué)英語課堂教學(xué)的特點，從而能夠很好地適應(yīng)教學(xué)過程。翻轉(zhuǎn)課堂的應(yīng)用并不是一朝一夕的事情，還需要教師在教學(xué)過程中不斷探索其應(yīng)用的方法，以便提升其教學(xué)效果。翻轉(zhuǎn)課堂是一種新興的、以任務(wù)為主要學(xué)習(xí)形式的教學(xué)模式，為此，在小學(xué)英語教學(xué)階段給學(xué)生明確提出預(yù)習(xí)的任務(wù)、設(shè)計自主學(xué)習(xí)的任務(wù)單是教學(xué)過程中重要的組成部分。在教學(xué)過程中任務(wù)設(shè)計的是否明確、清晰以及學(xué)生對任務(wù)的具體可操作性等內(nèi)容都有其重要的作用。

解得

將x+,x-代入(3)式可得

運用Mathematica 4，可以描繪出函數(shù)(4)的橫臥S形圖像(圖5).

圖5　函數(shù)(4)的圖像

將圖5按單位圓的圓心逆時針旋轉(zhuǎn)90度，得到與陳-馬直方陰陽魚對應(yīng)的陰陽雙魚圖(圖6).

圖6　陳-馬圓形陰陽魚

注1在圓內(nèi)，可將任何一條水平線與圓周交得的線段CD的長度看成1,盡管它的實際長度隨著h的變化而改變！曲線S上的點Q滿足

即

圖7　兩種陳-馬陰陽魚的比較

注2陳-馬的圓形陰陽圖(圖7左)與傳統(tǒng)的陰陽圖(圖1)結(jié)構(gòu)相似.由于古人沒有完整的三角函數(shù)理論，無法推出精確的函數(shù)(4)來，所以只好運用兩段半徑為1/2的圓周來替代函數(shù)(4)的圖像，進而繪出圖1中的傳統(tǒng)太極陰陽魚.我們可以找到一個變換，將方形陰陽魚(圖2)變換為傳統(tǒng)的陰陽魚(圖1)，但這個變換遠沒有變換(2)中的比例關(guān)系簡單明了，故我們建議使用由函數(shù)(4)確定的圖6來表示陰陽雙魚圖.

2陳-馬太極圖模型與二十四節(jié)氣

2.1二十四節(jié)氣的來源

二十四節(jié)氣起源于黃河流域，遠在春秋時代，就定出仲春、仲夏、仲秋和仲冬四個節(jié)氣，但這四個節(jié)氣的變化不能與日期和四季的變化密切配合起來，不能用來指導(dǎo)農(nóng)業(yè)生產(chǎn).因此，我們的祖先又根據(jù)豐富的農(nóng)業(yè)氣象經(jīng)驗，不斷地改進與完善，到秦漢年間，二十四節(jié)氣已完全確立.公元前104年，由鄧平等制定的《太初歷》，正式把二十四節(jié)氣訂于歷法，明確了二十四節(jié)氣的天文位置.圖8、圖9分別為《周髀算經(jīng)》和《后漢書》給出的二十四節(jié)氣晷景曲線.

二十四節(jié)氣，基本上反映了黃河流域中下游氣候的變化規(guī)律，是一部簡要、明確、靈活而又緊密結(jié)合農(nóng)業(yè)生產(chǎn)需要的農(nóng)事歷，與夏歷配合使用十分方便，并且對指導(dǎo)農(nóng)業(yè)生產(chǎn)很有幫助，所以廣為社會所采用[10-13].

2.2二十四節(jié)氣的劃分和含義

先民將一年內(nèi)太陽在黃道上的位置變化和引起的地面溫度的演變次序分為24段，每段約隔半個月的時間，分列在12個月里面.現(xiàn)代天文學(xué)把地球公轉(zhuǎn)一周即1年分為4段，化周天為360度，自春分開始，夏至為90度，秋分為180度，冬至為270度，再至春分合成360度；每一段即每相距90度又分為6個小段.這樣，一年便分為24個小段，每段的交接點就是二十四節(jié)氣.

圖8　《周髀算經(jīng)》二十四節(jié)氣晷景曲線

圖9　《后漢書》二十四節(jié)氣晷景曲線

二十四節(jié)氣的制定，結(jié)合了天文學(xué)與氣象學(xué)，也綜合了一年四季動植物的生長規(guī)律，它能準(zhǔn)確地反映出一年間的自然特征，也可以看出地球運轉(zhuǎn)而讓事物產(chǎn)生的變化.二十四節(jié)氣在中國古代發(fā)揮了巨大的作用，是一種人類文化、文明的變現(xiàn).

十二星座是西方的一個偉大發(fā)明，它源于天文學(xué)的一部分.西方天文學(xué)家根據(jù)太陽在黃道上現(xiàn)行的位置，將黃道帶分成十二個區(qū)段，以春分為0°，自春分點(即黃道零度)算起，每隔30°為一宮，并以當(dāng)時各宮內(nèi)所包含的主要星座來命名，依次為白羊、金牛、雙子、巨蟹、獅子、處女、天秤、天蝎、人馬、山羊、水瓶、雙魚等，稱之為黃道十二宮，如圖10所示.

2.3二十四節(jié)氣與陳-馬陰陽太極圖數(shù)學(xué)模型

根據(jù)陳克恭和馬如云[9]的陽值計算公式

容易繪出精準(zhǔn)的二十四節(jié)氣曲線，見圖11.

根據(jù)(6)式可以計算出每個節(jié)氣所對應(yīng)的陰陽值，見表1.

圖10　二十四節(jié)氣與十二星座

圖11　精準(zhǔn)的二十四節(jié)氣曲線

結(jié)合圖11及表1可以看出，自夏至→秋分→冬至→春分→夏至，陽值的變化是1→0.5→0→0.5→1，而陰值的變化是0→0.5→1→0.5→0，僅春分和秋分陰陽值相同.二十四節(jié)氣的陰陽值表可以幫助人們理解相鄰兩個節(jié)氣之間的氣候變化的劇烈程度.

表1　二十四節(jié)氣陰陽值表

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(責(zé)任編輯馬宇鴻)