開放題：數(shù)學(xué)教育“輕騎兵”

作者簡介

楊傳岡，中小學(xué)高級教師，鹽城市數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人，在省級以上期刊發(fā)表文章50多篇，其中有2篇被人大復(fù)印資料全文轉(zhuǎn)載。主持一項全國教育規(guī)劃“十二五”教育部重點課題，主編的《小學(xué)數(shù)學(xué)開放題舉一反三》（1～6）由南京大學(xué)出版社出版，出版?zhèn)€人專著《觸摸數(shù)學(xué)》。

眾所周知，我國數(shù)學(xué)教育最大的優(yōu)勢就在于重視嚴(yán)密的邏輯思維訓(xùn)練，強調(diào)解題的深度、速度和效度。但客觀上造成了數(shù)學(xué)課堂嚴(yán)謹(jǐn)有余而活潑不足，學(xué)生感覺數(shù)學(xué)單調(diào)乏味，學(xué)習(xí)的積極性隨著年級的上升逐漸下降，從中高年級起數(shù)學(xué)學(xué)困生的數(shù)量一直居高不下。從數(shù)學(xué)教育改革來看，隨著“新數(shù)”運動的急劇衰落，人們在對歷史的反思中認(rèn)識到數(shù)學(xué)教學(xué)模式應(yīng)在綜合化的過程中達(dá)到優(yōu)化。在這一過程中，開放題被認(rèn)為是最富教育價值的一種數(shù)學(xué)題型。

隨著以互聯(lián)網(wǎng)全球化普及為標(biāo)志的信息技術(shù)革命的快速發(fā)展，特別是互聯(lián)網(wǎng)+時代的到來，人類面臨的是一個日新月異、開放、多元的社會。傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教育的弊端越發(fā)凸顯，桎梏了學(xué)生創(chuàng)新思維的培養(yǎng)。面對生存挑戰(zhàn)，數(shù)學(xué)教育亟須培養(yǎng)出具有創(chuàng)新能力的人才。從這個意義上說，開放題的出現(xiàn)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)教學(xué)改革的呼喚。

一、傳統(tǒng)與前衛(wèi)的碰撞：小學(xué)數(shù)學(xué)開放題的理性思考

1.數(shù)學(xué)開放題的價值定位

開放題雖然是一類比較特殊的數(shù)學(xué)問題，但它不僅具有一般的知識教育價值，而且具有培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維和創(chuàng)新思維的價值（這是開放題的教育價值核心內(nèi)容和主要體現(xiàn)）。如果素質(zhì)教育的核心是培養(yǎng)創(chuàng)新精神和創(chuàng)新能力，那么，開放題的教學(xué)就是推進(jìn)學(xué)校素質(zhì)教育的一個突破口。

從結(jié)構(gòu)形式方面看，數(shù)學(xué)開放題答案具有不唯一性；從解題過程和解題策略看，開放題具有發(fā)散性、探究性、層次性、發(fā)展性和創(chuàng)新性等特點。這些特點決定了開放題教學(xué)的開放性。在開放性教學(xué)環(huán)境中，學(xué)生是知識的發(fā)現(xiàn)者、探索者和研究者，在探究活動過程中，學(xué)生能體驗或者“再創(chuàng)造”數(shù)學(xué)家所經(jīng)歷過的數(shù)學(xué)研究活動過程，把握數(shù)學(xué)知識本質(zhì)，從而形成正確的數(shù)學(xué)觀念和意識，掌握基本的數(shù)學(xué)思想和方法，為今后的學(xué)習(xí)和解決問題奠定基礎(chǔ)。

從激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣方面看，開放題的學(xué)習(xí)有利于激發(fā)不同層次學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，有利于增強學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心，有助于凸現(xiàn)學(xué)生的主體意識，促進(jìn)學(xué)生形成獨立人格及克服困難、勇于探索的意志品質(zhì)，強化團(tuán)隊意識和合作精神，增強學(xué)生的競爭意識、探索意識和創(chuàng)新意識，形成正確的科學(xué)態(tài)度等。

2.數(shù)學(xué)開放題的概念定位

數(shù)學(xué)開放題的概念到目前為止，學(xué)術(shù)界還沒有一個統(tǒng)一的定義。有人從與封閉題對應(yīng)的角度上定義：封閉題是指條件恰當(dāng)（不多不少）、答案固定的習(xí)題；開放題是條件多余需選擇、條件不足需補充或答案不固定的習(xí)題。有人從答案的數(shù)量上來定義：答案是不唯一的問題稱為開放題。有人從解題途徑和答案的數(shù)量上來定義：有多種正確答案、結(jié)果是開放的問題類型，它們通常有幾個或很多個正確答案，有很多種正確解答的途徑與方法。有人從條件、解題途徑和答案的數(shù)量上定義：問題不必有解，答案不必唯一，條件可以多余。對數(shù)學(xué)問題指向只有原則性要求的一題多解式數(shù)學(xué)問題稱為開放性數(shù)學(xué)問題。還有人從解答結(jié)果與目的上來定義：開放題是“無終結(jié)標(biāo)準(zhǔn)答案、培養(yǎng)發(fā)散思維的數(shù)學(xué)問題”。

盡管各種定義方式不一，但答案不唯一是開放題的共性特征。目前普遍采用的定義來自數(shù)學(xué)開放題中國化研究的先驅(qū)者戴再平教授。戴教授采用了一個描述性的定義：“答案不唯一，并在設(shè)問方式上要求學(xué)生進(jìn)行多方面、多角度、多層次探索的數(shù)學(xué)問題?！?/p>

3.數(shù)學(xué)開放題的課程定位

作為一種新型的習(xí)題類型，數(shù)學(xué)開放題與結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)、體系嚴(yán)密的傳統(tǒng)數(shù)學(xué)習(xí)題相比，還只是“襁褓”中的“嬰兒”，其教學(xué)理論與實踐尚處于建構(gòu)階段。廣泛的教學(xué)實踐表明：開放題對小學(xué)生思維發(fā)展有著極大的促進(jìn)作用，特別是為學(xué)生提供公平學(xué)習(xí)機會、思維品質(zhì)訓(xùn)練、創(chuàng)新能力培養(yǎng)、活動經(jīng)驗積累等方面所呈現(xiàn)出的獨特價值，已得到學(xué)術(shù)界的廣泛認(rèn)同。

數(shù)學(xué)開放題的中國化實踐為“千年不變”的封閉習(xí)題體系注入了一池活水，為數(shù)學(xué)教育改革打開了另一扇窗。開放題的小學(xué)教學(xué)實踐并不排斥原有的課程體系，以不增加學(xué)生的課業(yè)負(fù)擔(dān)為原則，希冀在校本課程與國家課程之間尋找一個契合點，旨在通過科學(xué)的校本課程研發(fā)，打通兩者之間壁壘，實現(xiàn)課程的融合，增強數(shù)學(xué)課堂的親和度。

二、堅守與創(chuàng)生的交合：小學(xué)數(shù)學(xué)開放題的開發(fā)路徑

在30多年的開放題中國化實踐中，小學(xué)數(shù)學(xué)開放題的研究較為薄弱，積累的教學(xué)素材也較為凌亂，尚未自成體系，特別是可資借鑒的成功案例數(shù)量較少。推進(jìn)開放題的小學(xué)教學(xué)實踐，當(dāng)務(wù)之急就是要自主開發(fā)課程，為師生提供較為完整、系統(tǒng)的課程資源。從整體而言，開發(fā)小學(xué)數(shù)學(xué)開放題的思路有兩種：一是把現(xiàn)有的封閉性習(xí)題加以改造，使其成為開放題；二是創(chuàng)造開放題。

1.改變條件，變封閉為開放

任何習(xí)題的開發(fā)都應(yīng)遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，貼近學(xué)生的生活經(jīng)驗。為了讓新開發(fā)的數(shù)學(xué)開放題能更加貼切學(xué)生的學(xué)習(xí)實際，避免陷入“為開放而開放”的誤區(qū)，可以依托現(xiàn)有教材體系編制數(shù)學(xué)開放題，這是開放題編制最為常見的方法。通過對教材中一些例題、習(xí)題的條件或問題進(jìn)行刪減、增補或改編，將原有封閉題的限制性條件適當(dāng)減少或弱化處理，可以改變其中的一個或多個條件，也可以是補充條件，使其問題答案不再唯一，成為探索性和開放性較強的數(shù)學(xué)問題，給學(xué)生提供更多的自主探索、獨立思考的時空。

蘇教版義務(wù)教育教科書（以下簡稱蘇教版）《數(shù)學(xué)》四年級下冊第71頁有一道習(xí)題：一條環(huán)湖路全長3千米，小欣和小成同時從環(huán)湖路的某地出發(fā)，沿相反方向步行。小欣的速度是65米/分鐘，小成的速度是70米/分鐘。經(jīng)過20分鐘兩人能相遇嗎？如果不能相遇，小欣和小成還相距多少米？這是一道關(guān)于行程問題的封閉題，如果將原題條件進(jìn)行增減變化，改成“小欣和小成同時從相距3千米的甲、乙兩地出發(fā)。小欣的速度是65米/分鐘，小成的速度是70米/分鐘。經(jīng)過20分鐘兩人可能相距多遠(yuǎn)”，就變成了一道開放題。因為沒有說明兩人的行走方向，存在著“相向”“背向”“同向”三種可能，其中同向而行中又包括“小欣追小成”“小成追小欣”兩種情況，符合本題的問題答案會有4種不同的可能。

2.變換問題，話題開放

編制開放題也可以從原有封閉習(xí)題的問題入手，通過以下幾種路徑使其成為開放題：可以改變問題的設(shè)問方式，變問題的答案數(shù)量為滿足條件的各種可能；也可以弱化問題中限制條件，減少問題中的限制性因素，刪除“最多”“最小”“至少”“至多”“最長”“最短”等詞；還可以直接由學(xué)生根據(jù)條件信息自由補充問題作答，從條件去推斷結(jié)論成立的多種可能性。從本質(zhì)上來看，這些路徑都是基于相同的邏輯起點——將原來封閉題由狹窄的單一變?yōu)閷挿旱亩嘣?，從而確保問題答案不唯一，成為探索性和開放性較強的數(shù)學(xué)問題。這種改變有助于學(xué)生從更為廣闊的空間里剖析知識內(nèi)在結(jié)構(gòu)，把握知識本質(zhì)，構(gòu)建屬于自己的知識框架。

蘇教版五年級《數(shù)學(xué)》下冊第49頁有一道習(xí)題：把兩根分別長45厘米、30厘米的彩帶剪成同樣長的短彩帶且沒有剩余，每根短彩帶最長是多少厘米？這是一道關(guān)于最大公因數(shù)的典型習(xí)題，從問題“每根短彩帶最長是多少厘米”可以看出本題答案唯一。如果將原題中的問題改為“把兩根分別長45厘米、30厘米的彩帶剪成同樣長的短彩帶且沒有剩余，每根短彩帶可能是多少厘米”，刪除原題中的限制性詞語“最長”，原來求兩個數(shù)的最大公因數(shù)變成了求兩個數(shù)的公因數(shù)。符合要求的答案就是1厘米、3厘米、5厘米、15厘米中的任意一種可能。

3.溝通知識，變單為串

在日常教學(xué)中，我們還可以根據(jù)知識間的內(nèi)在聯(lián)系創(chuàng)造性地開發(fā)數(shù)學(xué)開放題。數(shù)學(xué)是一門體系嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，知識點環(huán)環(huán)相扣，螺旋上升。有些知識從局部來看只是一個點，但從小學(xué)六年的整體知識來看，可以把更多相似點串成一條線，形成問題體系。這些問題單從個體的視角觀察，都有屬于自己的不同答案范圍，呈現(xiàn)出各自不同的規(guī)律。如果從整體視角而言，看似獨立的規(guī)律之間又能找到某種內(nèi)在的契合點，遵循著共同的規(guī)律，有些問題甚至能用一個通式加以表達(dá)。這種開放題能給學(xué)生提供尋找知識內(nèi)在關(guān)聯(lián)的機會，探索其共同的數(shù)學(xué)規(guī)律，從更一般的視角洞悉數(shù)學(xué)的內(nèi)在邏輯關(guān)系，內(nèi)化知識，建構(gòu)自己的知識網(wǎng)絡(luò)。

在學(xué)習(xí) “用字母表示數(shù)”時，學(xué)生了解到兩個自然數(shù)的和等于這兩個數(shù)的乘積，符合條件的數(shù)有2，0。在學(xué)習(xí)小數(shù)乘法后，學(xué)生在計算中也能見到“一個整數(shù)和一個小數(shù)的乘積與它們的和相等”的特例。學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)乘法時，也會遇到一個整數(shù)與一個分?jǐn)?shù)的和與積相等的實例。從問題答案的數(shù)量看，這三個問題都屬于答案不唯一的開放題；從知識背景看，又分別涵括了小學(xué)生重點學(xué)習(xí)的三大數(shù)域；從知識網(wǎng)絡(luò)看，在三個不同問題的答案背后又隱藏著共同的規(guī)律。為此可以把它們整合成一次“和積相等”的開放探索活動。

活動從最基礎(chǔ)的2個整數(shù)的和積相等到3個自然數(shù)的和積相等，到4個自然數(shù)的和積相等……初步找到規(guī)律后，延展至整數(shù)和分?jǐn)?shù)的和積相等。通過提供一組實例，在經(jīng)歷嘗試計算、觀察思考、探索交流的過程后嘗試建立數(shù)學(xué)模型，即A+■=A×■（B=A-1，B≠0）。接著將數(shù)域延展至整數(shù)和小數(shù)的和積相等，嘗試建立數(shù)學(xué)模型，即A+B=A×B。在此基礎(chǔ)上通過辨析，理解整數(shù)小數(shù)間的和積相等與整數(shù)分?jǐn)?shù)間的和積相等規(guī)律在數(shù)學(xué)本質(zhì)上是相同的，可實現(xiàn)統(tǒng)一，但也存在差異。教師進(jìn)一步提示學(xué)生隨著數(shù)域的進(jìn)一步擴展，還會存在更多這樣的和積相等實例，鼓勵學(xué)生在今后的學(xué)習(xí)中進(jìn)一步進(jìn)行探究。

三、理想與現(xiàn)實的交融：小學(xué)數(shù)學(xué)開放題課程實踐

“課程”一詞源于拉丁語，原意指“跑道” （Race-course）?？涿兰~斯認(rèn)為，課程就是教材。關(guān)于課程，目前較為認(rèn)同的定義是：有組織的學(xué)習(xí)經(jīng)驗。從這個角度看，人們往往把課程簡單地理解為學(xué)校為學(xué)生設(shè)定的學(xué)習(xí)路徑，甚至更寬泛地把范圍擴展到學(xué)生在這些路徑上的學(xué)習(xí)過程及所獲得的學(xué)習(xí)結(jié)果。課程改革的一項重要內(nèi)容就是要重新挑選課程內(nèi)容、編寫教材的活動，或是籌劃實施新課程的活動。我們以承擔(dān)全國、江蘇省教育科學(xué)“十二五”重點課題為契機，開展了扎實有效的開放題校本研發(fā)、實踐和評價。

1.課程融合，踐行課改的一種可能

（1）從模糊到清晰。剛接觸數(shù)學(xué)開放題時，只覺得這種新穎題型很有意思，有助于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。囿于時間限制和認(rèn)識局限，最初只是搜集開放習(xí)題作為數(shù)學(xué)課外興趣小組活動的學(xué)習(xí)內(nèi)容；教學(xué)時空后來擴展到每周兩次的大課間活動，進(jìn)而融入到常態(tài)數(shù)學(xué)課堂之中。隨著對“課程”概念的把握，我們認(rèn)識到：學(xué)習(xí)要系統(tǒng)地規(guī)劃內(nèi)容，要有具體可行的方案，要關(guān)注過程，建立評價，才能組成完整的教育教學(xué)活動，才是真正意義上的“過程”。

（2）從零散到系統(tǒng)。數(shù)學(xué)校本課程作為三級課程的重要環(huán)節(jié)，其本真意義絕非另起爐灶，增加學(xué)生的課業(yè)負(fù)擔(dān)。從更廣泛的意義上說，校本課程的研發(fā)應(yīng)著力于學(xué)情、校情和區(qū)情，以更廣博的胸懷著眼于學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)提升，關(guān)注細(xì)節(jié)，注重思維發(fā)展。也就是說校本課程與國家課程、地方課程不是并列關(guān)系，也不是從屬關(guān)系，需要相互打通，實現(xiàn)融合，兼容并蓄。

基于這樣的認(rèn)知，我們在認(rèn)真研讀教材的基礎(chǔ)上，分析知識結(jié)構(gòu)及呈現(xiàn)體系，與文本對話，尋找開放元素，激活開放因子。在對話交流的基礎(chǔ)上，進(jìn)行深度思考和聯(lián)想，約請相關(guān)專業(yè)人士對開發(fā)習(xí)題的科學(xué)性、層次性進(jìn)行測評，從而設(shè)計出適合課時教學(xué)的開放習(xí)題。在服務(wù)課時教學(xué)目標(biāo)的基礎(chǔ)上，注重系統(tǒng)表達(dá)，利用三年時間自主研發(fā)了一套與教材配套的校本課程《數(shù)學(xué)開放題舉一反三》，全套6冊，每冊40個主題，對應(yīng)每學(xué)期20個教學(xué)周，每周一個話題。

2.課程現(xiàn)場，課改實踐的一種嘗試

（1）從穩(wěn)態(tài)到常態(tài)。在傳統(tǒng)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中植入開放題元素，將開放題學(xué)習(xí)引向常態(tài)課堂，實現(xiàn)校本課程與國家課程的有效融合，為課程改革尋找一條可能的道路。我們深知數(shù)學(xué)開放題的課堂融合是一個長期的、漸進(jìn)的過程，不可能一蹴而就。傳統(tǒng)力量畢竟強大，改革只能循著小步，摸著石頭過河，在前行中不斷總結(jié)反思，及時調(diào)整方向。

有人說，課程改革是演變，不是革命。從這個意義上來說，作為課程領(lǐng)導(dǎo)者的教師在打破舊有課堂秩序常態(tài)的同時，下大力氣在傳統(tǒng)課堂與數(shù)學(xué)開放題的融合上積極探索，確保既定教學(xué)目標(biāo)達(dá)成的前提下逐漸達(dá)成新的平衡，成為新的穩(wěn)態(tài)。通過實驗厘清諸如開放題與傳統(tǒng)教學(xué)任務(wù)的時間分配問題、開放題的教學(xué)時機、開放題與傳統(tǒng)習(xí)題的匹配等問題，逐步形成小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的新秩序，建立一種新常態(tài)。

（2）從數(shù)量到質(zhì)量。和任何變革一樣，在開放題融入常態(tài)課堂初期，難免會出現(xiàn)兩種習(xí)題的比例分配失調(diào)問題，規(guī)定教學(xué)任務(wù)沒有完成，開放題教學(xué)又虎頭蛇尾，這種顧此失彼、首尾不能銜接的窘迫時常發(fā)生。破解這一尷尬處境最有效的方法就是切實轉(zhuǎn)變實驗者的觀點，將對開放題的量的追求轉(zhuǎn)到對質(zhì)的關(guān)注上，從具體的課型出發(fā)，有的放矢地開發(fā)合適的開放性問題，做到心中有數(shù)，把握適時、適量和適度的原則。既不客隨主便，也不喧賓奪主，一切以服務(wù)學(xué)生的思維發(fā)展為落腳點和最終歸宿。

通過實驗，一節(jié)新授課中開放題的量以3～5分鐘為宜，練習(xí)課中以8～10分鐘為宜，復(fù)習(xí)課的量可以酌情再增加一些。實踐表明：精當(dāng)?shù)拈_放題隨堂練習(xí)，不僅不會增加學(xué)生過多的課業(yè)負(fù)擔(dān)，反而能調(diào)動學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，激發(fā)探究的興趣和熱情，增強學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解，便于學(xué)生整體把握知識體系，強化數(shù)學(xué)技能的練習(xí)，有益于學(xué)生思維的廣闊性、深刻性、靈活性、獨創(chuàng)性、批判性和敏捷性的培養(yǎng)。

3.課程評價，課改成效的一種檢驗

現(xiàn)代課程論認(rèn)為：課程評價應(yīng)該先于課程的設(shè)計而存在。這充分說明了評價在課程實施中的重要性。開放題課程的評價可以從定性描述階段和定量刻畫階段兩個層面展開。

（1）循序漸進(jìn)，定性描摹。開放題校本實踐的評價中，相對容易操作的是過程性評價，也就是把過程性評價與總結(jié)性評價相結(jié)合，給予定性描摹。執(zhí)教者和聽課者對不同學(xué)習(xí)小組進(jìn)行分類定向觀測，及時記載開放題課堂教學(xué)觀測表。定性描摹常用的方法包括：對學(xué)生開放題有效學(xué)習(xí)從全面性、過程性、發(fā)展性等方面進(jìn)行評價；開放題編制從關(guān)注知識點選擇的關(guān)鍵性、問題解決的方法、計算的準(zhǔn)確性、表達(dá)的條理性和完整性等方面進(jìn)行評價；開放題解決效度從學(xué)生求解方案的數(shù)量、求解過程中的行為表現(xiàn)及心理活動變化等方面進(jìn)行評價；對學(xué)生求解開放題的狀態(tài)從參與度、自信度、合作度、獨立思考習(xí)慣、數(shù)學(xué)思考力、反思力、評估力等維度進(jìn)行評價……

（2）由表及里，定量刻畫?！皵?shù)學(xué)是思維的體操”，數(shù)學(xué)思考是數(shù)學(xué)課堂的“主角”。數(shù)學(xué)開放題在課堂教學(xué)中最重要的作用之一就是培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)。隨著開放題校本實踐的持續(xù)深入，人們已經(jīng)不再滿足于從定性視角評價開放題教學(xué)的效度，研究者乃至一線教師最為關(guān)切的問題是數(shù)學(xué)開放題學(xué)習(xí)對小學(xué)生思維發(fā)展的具體影響所呈現(xiàn)出的特征。從這個視角看，對于數(shù)學(xué)開放題學(xué)習(xí)的評價需要實現(xiàn)從定性描述向定量刻畫轉(zhuǎn)變?？v觀國際開放題研究現(xiàn)狀，總體而言定性描摹居多，定量刻畫不足。

開放題對學(xué)生思維發(fā)展影響的評測研究是當(dāng)前開放題研究的一個新的熱點。評測先期要確定好實驗班與對照班，擬定好問卷，制定好評測量表，再通過對實驗班與對照班的問卷調(diào)查，篩選好有效問卷后，通過SPSS統(tǒng)計軟件進(jìn)行統(tǒng)計、分析，以翔實的數(shù)據(jù)透析開放題對小學(xué)生不同思維的具體影響。當(dāng)然這種評測需要借力于專業(yè)機構(gòu)及有心理學(xué)背景的評測專家。

總之，小學(xué)數(shù)學(xué)引入開放題，不僅能激發(fā)學(xué)生主動探究的欲望，滿足不同層次學(xué)生的學(xué)習(xí)需求，讓不同的人在數(shù)學(xué)上獲得不同的發(fā)展成為可能，還能推動數(shù)學(xué)課程改革的發(fā)展，促進(jìn)國家課程與校本課程的融合，進(jìn)而提升數(shù)學(xué)課程的親和度。