鋼筋混凝土三點(diǎn)彎曲梁裂縫擴(kuò)展過(guò)程模擬

鋼筋混凝土三點(diǎn)彎曲梁裂縫擴(kuò)展過(guò)程模擬

胡少偉，米正祥

(南京水利科學(xué)研究院，江蘇南京210029)

摘要：改進(jìn)后的擴(kuò)展有限元法位移函數(shù)能夠更好地反映真實(shí)的裂縫尖端漸近位移場(chǎng)，而且無(wú)需后處理便可求得應(yīng)力強(qiáng)度因子，從而為分析裂縫擴(kuò)展過(guò)程提供了便利。為研究鋼筋混凝土三點(diǎn)彎曲梁裂縫擴(kuò)展過(guò)程的規(guī)律，采用改進(jìn)后的擴(kuò)展有限元方法模擬了不同配筋率和不同鋼筋位置的三點(diǎn)彎曲梁。文中闡述了改進(jìn)后擴(kuò)展有限元法的基本原理，利用虛功原理推導(dǎo)了其支配方程，并介紹了鋼筋混凝土三點(diǎn)彎曲梁的應(yīng)力強(qiáng)度因子計(jì)算方法。研究表明：對(duì)于超筋結(jié)構(gòu)，起裂斷裂韌度與試件配筋率無(wú)關(guān)；鋼筋處于臨界位置時(shí)起裂韌度與失穩(wěn)韌度均達(dá)到最小值0.567和1.666 9 MPa·m`(0.5)，且鋼筋貫穿裂縫時(shí)的斷裂韌度小于鋼筋未貫穿裂縫時(shí)的值，對(duì)含有宏觀裂縫的結(jié)構(gòu)進(jìn)行錨桿加固時(shí)應(yīng)將錨桿置于裂縫前端。

關(guān)鍵詞：鋼筋混凝土； 三點(diǎn)彎曲梁； 改進(jìn)后擴(kuò)展有限元； 配筋率； 斷裂韌度

中圖分類(lèi)號(hào)：TU375.1

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1009-640X(2015)03-0009-09

Abstract：The displacement mode of the improved extended finite element method can reflect the true crack tip displacement and the stress intensity factor can be obtained without post-processing, so it is convenient to analyse the crack propagation process. In order to study the laws of crack propagation process, the reinforced concrete three-point bending beams having different steel reinforcement ratios and different positions are simulated by using the improved extended finite element method.The basic theory of the improved extended finite element method is studied, the governing equation is derived by using the virtual work principle, and then the stress intensity factor calculation method is described. The crack propagation process of the reinforced concrete three-point bending beams with different parameters is simulated by using the improved extended finite element method. The research results show that the initial fracture toughness is independent of reinforced ratio for surplus reinforcement beam. The fracture toughness reaches the minimum values when the bars are in the critical positions, which are larger when the bars don’t run throughout the cracks than the bars running throughout the cracks. The bolt should be placed in the front of crack tip when the structure containing macroscopic crack is reinforced.

DOI:10.16198/j.cnki.1009-640X.2015.03.003

收稿日期：2014-09-05

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51278230，51378241)；高等學(xué)校博士學(xué)科點(diǎn)專(zhuān)項(xiàng)科研基金資助項(xiàng)目

作者簡(jiǎn)介：劉榮桂(1957—)， 男， 江蘇江都人，教授，主要從事混凝土結(jié)構(gòu)耐久性研究。E-mail：liurg@ujs.edu.cn

鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)受力破壞過(guò)程也就是裂縫的擴(kuò)展過(guò)程，深入研究其裂縫擴(kuò)展機(jī)理以及影響其斷裂參數(shù)的不同因素，對(duì)鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)裂縫穩(wěn)定性檢測(cè)、裂縫安全評(píng)價(jià)以及對(duì)已建工程進(jìn)行合理的加固具有重要的工程價(jià)值和實(shí)踐意義[1]。擴(kuò)展有限元法是目前求解裂縫擴(kuò)展等不連續(xù)問(wèn)題最有效的數(shù)值計(jì)算方法，它最早由美國(guó)西北大學(xué)T. Belytschko教授為代表的研究組提出[2]，2000年，被該課題組正式命名為擴(kuò)展有限元法(XFEM: Extended Finite Element Method)。

擴(kuò)展有限元法以單位分解法為基礎(chǔ)，在常規(guī)的有限元位移模式中增加反映局部特性的附加函數(shù)，以反映結(jié)構(gòu)的不連續(xù)性；如在模擬裂紋擴(kuò)展時(shí)，被裂紋分開(kāi)的單元節(jié)點(diǎn)用廣義的Heaviside函數(shù)加強(qiáng)，以反映裂紋面的不連續(xù)性，對(duì)包含有裂縫尖端的單元節(jié)點(diǎn)用裂縫尖端漸近位移場(chǎng)函數(shù)進(jìn)行加強(qiáng)，以反映裂縫尖端區(qū)域的局部特性[3-4]。由于該方法在分析裂縫擴(kuò)展等不連續(xù)問(wèn)題時(shí)具有獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)，提出后在短短的幾年里便得到了快速發(fā)展與廣泛應(yīng)用，也為斷裂力學(xué)數(shù)值模擬開(kāi)辟了一條新途徑[5]。

B. L.Karihaloo等[6]陳述了XFEM在靜態(tài)裂紋問(wèn)題中的應(yīng)用，并與廣義有限元法進(jìn)行了比較。N. Sukumar等[7]陳述了如何在傳統(tǒng)有限元程序上實(shí)現(xiàn)XFEM功能，并利用改進(jìn)后的程序模擬了復(fù)合材料的裂縫擴(kuò)展問(wèn)題。為了分析形狀復(fù)雜的多裂紋斷裂問(wèn)題，M. Stolarska等[8]把水平集法與XFEM結(jié)合起來(lái)研究動(dòng)態(tài)裂紋的擴(kuò)展問(wèn)題，這樣通過(guò)水平集法可以方便的追蹤裂紋與裂縫尖端位置，確定裂紋的擴(kuò)展速率與擴(kuò)展方向，通過(guò)XFEM計(jì)算應(yīng)力和應(yīng)變。N. Sukumar等[9]利用裂縫尖端位移逼近函數(shù)改進(jìn)了裂縫尖端節(jié)點(diǎn)，通過(guò)區(qū)域積分法計(jì)算了復(fù)合型裂縫的應(yīng)力強(qiáng)度因子，并提出用新的約束三角化算法形成初始有限元網(wǎng)格的方法。X. Y. Liu等[10-11]為了改善計(jì)算精度，對(duì)含有裂縫尖端單元的結(jié)點(diǎn)位移場(chǎng)函數(shù)進(jìn)行了調(diào)整，他不但使用裂縫尖端位移場(chǎng)的主要項(xiàng)，還使用了高階項(xiàng)；同時(shí)，他還證明了改進(jìn)后的位移近似函數(shù)與實(shí)際的裂縫尖端漸近位移場(chǎng)是等價(jià)的。余天堂[12]利用虛功原理導(dǎo)出了擴(kuò)展有限元法求解的支配方程，給出了求解不連續(xù)函數(shù)的積分方法，探討了縫尖應(yīng)力強(qiáng)度因子的計(jì)算方法。方修君等[13]利用虛設(shè)節(jié)點(diǎn)法，在通用有限元程序內(nèi)嵌入了擴(kuò)展有限元法的功能，改進(jìn)了三角形子域積分算法，推導(dǎo)了子域積分與Heaviside函數(shù)間的關(guān)系。董玉文等[14]推導(dǎo)了重力壩水力劈裂問(wèn)題的有限元列陣，給出了水壓力作用下XFEM的實(shí)現(xiàn)方法，并通過(guò)模擬向家壩重力壩壩踵水力劈裂問(wèn)題，展示了這種方法的優(yōu)越性。

本文利用改進(jìn)后的擴(kuò)展有限元法對(duì)鋼筋混凝土三點(diǎn)彎曲梁裂縫過(guò)程進(jìn)行數(shù)值模擬，并討論配筋率、鋼筋位置等不同因素對(duì)混凝土斷裂參數(shù)的影響。

1改進(jìn)后擴(kuò)展有限元法

1.1位移模式的建立

圖1　含任意裂紋單元節(jié)點(diǎn)加強(qiáng)示意 Fig.1 Node strengthening of arbitrary crack unit

Bellyschko等構(gòu)造位移模式時(shí)，裂紋尖端單元節(jié)點(diǎn)加強(qiáng)函數(shù)只選取了裂紋尖端漸近位移場(chǎng)函數(shù)的主要項(xiàng)，而且假定裂紋尖端周?chē)患訌?qiáng)節(jié)點(diǎn)的附加系數(shù)是相互獨(dú)立的，這樣加強(qiáng)的位移場(chǎng)并不是真實(shí)的裂紋尖端漸近位移場(chǎng)。為了改善計(jì)算精度，對(duì)含有裂縫尖端的單元節(jié)點(diǎn)進(jìn)行加強(qiáng)時(shí)，在使用裂紋尖端漸近位移場(chǎng)函數(shù)主要項(xiàng)的同時(shí)還應(yīng)采用高階項(xiàng)；不但對(duì)裂縫尖端單元節(jié)點(diǎn)(第1層需要改進(jìn)的單元)進(jìn)行加強(qiáng)，而且對(duì)裂縫尖端單元周?chē)耐鈱訂卧?分別為第2層、第3層等需要改進(jìn)的單元)也應(yīng)進(jìn)行加強(qiáng)。

如圖1所示的含有一條任意裂縫的平面斷裂問(wèn)題，改進(jìn)后的擴(kuò)展有限元離散位移表達(dá)式[10]為：

(1)

需要說(shuō)明的是，一個(gè)節(jié)點(diǎn)不能同時(shí)屬于裂紋尖端單元和被裂紋貫穿的單元，如二者沖突，則該節(jié)點(diǎn)應(yīng)優(yōu)先屬于裂紋尖端單元。

裂紋尖端漸近位移場(chǎng)函數(shù)的一般表達(dá)式[15]為：

(2)

(3)

式中：ν為泊松比；μ為剪切模量；對(duì)于平面應(yīng)變問(wèn)題,κ=3-4ν，對(duì)于平面應(yīng)力問(wèn)題,κ=(3-ν)/(1+ν)。

將式(2)代入式(1)可得：

(4)

式中：Mk為裂縫尖端所在單元的節(jié)點(diǎn)集合，第1層需要改進(jìn)的單元為Mk1，第2層需要改進(jìn)的單元為Mk2，則裂紋尖端改進(jìn)單元Mk=Mk1∪Mk2。

1.2支配方程的建立

改進(jìn)后擴(kuò)展有限元法的位移模式構(gòu)造好后，其支配方程便可用虛功原理推導(dǎo)[12]。如果結(jié)構(gòu)發(fā)生了一個(gè)虛位移δu，空間任意含裂紋的彈性體等效積分形式為：

(5)

式中：f為單位體積力；Ω為不包含裂紋面的三維體。

由應(yīng)力張量的對(duì)成性與Green公式可得：

(6)

(7)

將改進(jìn)后擴(kuò)展有限元法的位移表達(dá)式代入式(7)，便可得改進(jìn)擴(kuò)展有限元的支配方程為：

Kd=R

(8)

式中：d為節(jié)點(diǎn)未知自由度向量，對(duì)于加強(qiáng)節(jié)點(diǎn)，不僅包括常規(guī)自由度u，還包含了附加自由度a與b;K為整體剛度矩陣，由單元?jiǎng)偠染仃嚱M裝得到，其表達(dá)式為：

(9)

(10)

(11)

R為整體荷載列陣，由單元荷載列陣組裝得到，其表達(dá)式：

(12)

(13)

(14)

(15)

1.3應(yīng)力強(qiáng)度因子的計(jì)算

應(yīng)力強(qiáng)度因子是表征裂紋尖端應(yīng)力應(yīng)變場(chǎng)強(qiáng)度的重要參量，其不僅與裂紋的幾何形狀有關(guān)，而且與荷載形式也有關(guān)系。應(yīng)用擴(kuò)展有限元法進(jìn)行斷裂分析時(shí)，應(yīng)力強(qiáng)度因子的計(jì)算方法有直接法與間接法。間接法是指先計(jì)算能量釋放率，然后利用它與應(yīng)力強(qiáng)度因子之間的關(guān)系換算得到應(yīng)力強(qiáng)度因子，常用的方法有能量法、柔度法、J積分法等。直接法是指先計(jì)算裂紋尖端附近的應(yīng)力與位移，然后將計(jì)算結(jié)果代入相應(yīng)的應(yīng)力強(qiáng)度因子計(jì)算公式，直接得到應(yīng)力強(qiáng)度因子。

2裂縫模擬計(jì)算實(shí)例

2.1不同配筋率三點(diǎn)彎曲梁裂縫擴(kuò)展過(guò)程

強(qiáng)度等級(jí)C60的鋼筋混凝土三點(diǎn)彎曲梁計(jì)算模型見(jiàn)圖3，試件長(zhǎng)、高、寬分別為1 000, 200和120 mm，跨度800 mm，初始裂縫長(zhǎng)80 mm?；炷潦芾瓚?yīng)力區(qū)配置兩根光圓熱軋鋼筋HPB235，鋼筋直徑為3，4，5，6，8和10 mm時(shí)，配筋率ρs分別為0.59%，1.05%，1.63%，2.38%，4.21%和6.54%，鋼筋保護(hù)層厚度為25 mm?；炷亮翰捎?節(jié)點(diǎn)實(shí)體單元(C3D8R)，網(wǎng)格密度為50×13×6；鋼筋采用桁架單元(T3D2)，網(wǎng)格密度為100×2。左端采用鉸支座，右端采用滑動(dòng)支座，采用位移加載方式，最大主拉應(yīng)力牽引損傷開(kāi)裂準(zhǔn)則。通過(guò)定義“Embeded Region”這一相互作用關(guān)系，將鋼筋嵌入混凝土中來(lái)實(shí)現(xiàn)鋼筋與混凝土之間的協(xié)同工作，不考慮鋼筋與混凝土之間的滑移。加載點(diǎn)和支座處各加一剛性墊塊，墊塊與混凝土梁之間采用綁接約束，并通過(guò)設(shè)置墊塊的彈性模量將其變形控制在很小范圍內(nèi)。

混凝土彈性模量E=36 GPa，泊松比ν=0.167，質(zhì)量密度ρ=2 400 kg/m3，極限抗拉強(qiáng)度f(wàn)t=2.20 MPa，斷裂能Gf=147 N/m。鋼筋的彈性模量Es=2.06×105MPa，泊松比ν=0.3，質(zhì)量密度ρ=7 800 kg/m3，屈服強(qiáng)度f(wàn)y=235 MPa。

裂紋擴(kuò)展路徑圖、σx應(yīng)力云圖以及y方向位移云圖見(jiàn)圖2。由圖可知，應(yīng)力與位移均呈對(duì)稱分布，加載點(diǎn)處存在顯著地壓應(yīng)力區(qū)，混凝土拉應(yīng)力最大值發(fā)生在裂紋尖端附近，并且在此處應(yīng)力集中現(xiàn)象非常明顯，能夠較好地模擬裂紋尖端應(yīng)力場(chǎng)的奇異性。撓度最大值出現(xiàn)在跨中位置，裂紋沿預(yù)制裂縫延長(zhǎng)線方向豎直向上擴(kuò)展，與典型的Ⅰ型裂紋擴(kuò)展相吻合，并且裂紋的擴(kuò)展過(guò)程不依賴于網(wǎng)格邊界，裂紋在單元內(nèi)部擴(kuò)展，在模擬裂紋擴(kuò)展過(guò)程時(shí)并不需要重新劃分網(wǎng)格。

圖2　計(jì)算模型及結(jié)果 Fig.2 A calculation model and results

圖3　不同配筋率試件的F-S COMD曲線 Fig.3 F-S COMDcurves for specimens of different reinforcement ratios

圖3為不同配筋率試件的荷載-裂縫口張開(kāi)位移(F-SCOMD)曲線。由圖可知，在加載的初始階段荷載F與裂縫口張開(kāi)位移SCOMD之間呈線性關(guān)系，當(dāng)加載至某一步使混凝土開(kāi)裂后，F(xiàn)與SCOMD之間不再呈線性關(guān)系，混凝土表現(xiàn)出黏彈性特性；隨著加載步的繼續(xù)，荷載逐漸增大到峰值荷載，之后便開(kāi)始卸載，但是卸載過(guò)程非常緩慢，主要是因?yàn)榧虞d過(guò)程進(jìn)行到后期，混凝土逐漸退出工作，由鋼筋單獨(dú)承受外荷載，并且當(dāng)荷載下降到一定值后，鋼筋混凝土試件的F-SCOMD曲線表現(xiàn)出與鋼筋的荷載-應(yīng)變(F-ε)曲線相似的特性。

配筋率ρs越大，F(xiàn)-SCOMD曲線越陡，上升段斜率越大，在相同的荷載增量下，裂縫口張開(kāi)位移增量越小，發(fā)生單位位移所需要的能量亦越大，結(jié)構(gòu)的延性越差。隨著配筋率ρs的增加，F(xiàn)-SCOMD曲線的臨界點(diǎn)逐漸后移，臨界裂縫口張開(kāi)位移SCOMDc逐漸增大。鋼筋混凝土試件的起裂荷載與失穩(wěn)荷載亦隨ρs的增大而逐漸增大。不同配筋率試件的斷裂參數(shù)和斷裂韌度見(jiàn)表1和2。

表1　不同配筋率試件的斷裂參數(shù)

由表1可知，混凝土開(kāi)裂和失穩(wěn)時(shí)刻的外荷載和鋼筋約束力均隨配筋率ρs的增大而逐漸增大，而且增大速度也越來(lái)越快。臨界有效裂縫長(zhǎng)度ac隨配筋率ρs的增大而逐漸減小，并且減小幅度逐漸增大。說(shuō)明配筋率ρs越大，鋼筋對(duì)混凝土的約束作用越強(qiáng)，裂縫的擴(kuò)展越不充分，結(jié)構(gòu)的延性越差，并且當(dāng)配筋率ρs增大到一定值后，結(jié)構(gòu)將由延性破壞轉(zhuǎn)變?yōu)榇嘈云茐摹?/p>

表2　不同配筋率試件的斷裂韌度

(16)

(17)

其中，式(16)和(17)的回歸系數(shù)分別為0.999 8和0.975 2。

2.2不同鋼筋位置三點(diǎn)彎曲梁裂縫擴(kuò)展過(guò)程

鋼筋截面中心到試件底部的距離分別為45，50，55，60，65和70 mm，初始裂縫長(zhǎng)度為60 mm，試件長(zhǎng)、高、寬分別為1 000，200和120 mm，跨度為800 mm。在每個(gè)試件混凝土受拉應(yīng)力區(qū)配置兩根光圓熱軋鋼筋HPB235，鋼筋直徑為8 mm?；炷亮翰捎?節(jié)點(diǎn)實(shí)體單元(C3D8R)，網(wǎng)格密度為50×13×6；鋼筋采用桁架單元(T3D2)，網(wǎng)格密度為100×2。

混凝土彈性模量E=36 GPa，泊松比ν=0.167，密度ρ=2 400kg/m3，極限抗拉強(qiáng)度f(wàn)t=2.20 Mpa，斷裂能Gf=147 N/m；鋼筋彈性模量Es=2.06×105MPa，泊松比ν=0.3，密度ρ=7 800 kg/m3，屈服強(qiáng)度f(wàn)y=235 MPa。

圖4為鋼筋到試件底部距離為70 mm的試件加載至不同步時(shí)的應(yīng)力云圖。由圖4可知，整個(gè)加載過(guò)程中應(yīng)力基本呈對(duì)稱分布，加載點(diǎn)附近存在壓應(yīng)力區(qū)，預(yù)制縫兩側(cè)的混凝土可以繼續(xù)承受荷載，并且應(yīng)力分布呈拱形。拉應(yīng)力最大值出現(xiàn)在裂縫尖端位置，應(yīng)力集中現(xiàn)象比較明顯，能夠很好地模擬裂縫尖端的應(yīng)力奇異性。裂縫沿預(yù)制裂縫豎直向上擴(kuò)展，破壞形式符合Ⅰ型斷裂。

當(dāng)加載至第14步時(shí)，裂縫尖端位置的混凝土由于應(yīng)力集中而開(kāi)裂，并且裂縫開(kāi)始向前擴(kuò)展，隨著裂縫的擴(kuò)展，中性軸逐漸上移，受拉應(yīng)力區(qū)逐漸增大，受壓應(yīng)力區(qū)逐漸減小，當(dāng)加載至第69步時(shí)，受壓應(yīng)力區(qū)已消失，這種受力特性持續(xù)到第98步，之后又出現(xiàn)受壓應(yīng)力區(qū)，直至整個(gè)結(jié)構(gòu)發(fā)生失穩(wěn)破壞(第190步)。

圖4　裂紋擴(kuò)展過(guò)程 Fig.4 Crack propagation process

圖5　不同鋼筋位置試件的F-S COMD曲線 Fig.5 F-S COMDcurves for specimens having different reinforced positions

圖5為不同鋼筋位置的各試件荷載-裂縫口張開(kāi)位移(F-SCOMD)曲線。由圖5可知，開(kāi)裂之前，鋼筋混凝土試件的F-SCOMD曲線基本與鋼筋位置無(wú)關(guān)，即F-SCOMD曲線的線性段接近重合，并且各試件的卸載段部分基本平行，說(shuō)明鋼筋位置對(duì)結(jié)構(gòu)的剛度影響很小。起裂荷載與失穩(wěn)荷載隨著鋼筋距試件底部距離的增大而逐漸減小，但減小程度不明顯，說(shuō)明鋼筋位置對(duì)混凝土試件的起裂荷載與失穩(wěn)荷載有一定影響，但影響不大。

表3給出了各試件的起裂荷載、失穩(wěn)荷載、鋼筋約束力以及臨界有效裂縫長(zhǎng)度等斷裂參數(shù)。由表可知，起裂荷載Fini隨鋼筋到試件底部距離的增大而逐漸減小，當(dāng)鋼筋剛好在裂縫尖端時(shí)，起裂時(shí)刻的外荷載與鋼筋約束力均達(dá)到最小值。失穩(wěn)荷載Fmax亦具有與起裂荷載相似的規(guī)律。

由于鋼筋到試件底部的距離越遠(yuǎn)，鋼筋對(duì)裂縫的約束作用越弱，斷裂過(guò)程區(qū)在荷載作用下的擴(kuò)展越充分，結(jié)構(gòu)的延性越好，臨界有效裂縫長(zhǎng)度ac就越大；但是隨著鋼筋距試件底部距離的增大，其越來(lái)越接近試件上邊界，斷裂過(guò)程區(qū)受上邊界的約束作用越來(lái)越強(qiáng)，裂縫擴(kuò)展也就越不充分了，因而臨界有效裂縫長(zhǎng)度ac增大到一定值后反而開(kāi)始減小。當(dāng)鋼筋剛好在初始裂縫尖端時(shí)，裂縫尖端的鋼筋阻止了裂縫尖端繼續(xù)擴(kuò)展，斷裂過(guò)程區(qū)的發(fā)展也受到抑制，表現(xiàn)為臨界有效裂縫長(zhǎng)度ac明顯減小。

表3　不同鋼筋位置試件斷裂參數(shù)

表4　不同鋼筋位置試件斷裂韌度

3結(jié)語(yǔ)

本文詳述了改進(jìn)后擴(kuò)展有限元法的位移模式，推導(dǎo)了采用改進(jìn)后擴(kuò)展有限元計(jì)算時(shí)的支配方程，并給出了應(yīng)力強(qiáng)度因子的計(jì)算方法，模擬了不同參數(shù)的鋼筋混凝土三點(diǎn)彎曲梁裂縫擴(kuò)展過(guò)程。算例表明，改進(jìn)后的擴(kuò)展有限元法能夠很好地模擬裂縫尖端的應(yīng)力奇異性，裂尖附近不需要布置高密度網(wǎng)格，不需要預(yù)先設(shè)置裂縫擴(kuò)展路徑，而且在裂縫擴(kuò)展過(guò)程中不需要調(diào)整網(wǎng)格；根據(jù)模擬結(jié)果，利用最小二乘法可得到起裂斷裂韌度、失穩(wěn)斷裂韌度與配筋率之間的簡(jiǎn)單關(guān)系式；鋼筋置于預(yù)制裂縫尖端時(shí)起裂斷裂韌度與失穩(wěn)斷裂韌度均達(dá)到最小值，分別為0.567 和1.666 9 MPa·m0.5，且鋼筋貫穿裂縫時(shí)的起裂斷裂韌度與失穩(wěn)斷裂韌度均小于鋼筋未貫穿裂縫時(shí)的值，這為實(shí)際工程中錨桿加固提供了有效的參考依據(jù)。

參考文獻(xiàn)：

[1]胡少偉, 米正祥. 標(biāo)準(zhǔn)鋼筋混凝土三點(diǎn)彎曲梁雙K斷裂特性試驗(yàn)研究[J]. 建筑結(jié)構(gòu)學(xué)報(bào), 2013, 34(3): 152- 157. (HU Shao-wei, MI Zheng-xiang. Experimental study on double-K fracture characteristics of standard reinforced concrete three-point beam[J]. Journal of Building Structures, 2013, 34(3): 152- 157. (in Chinese))

[2]BELYTSCHKO T, BLACK T. Elastic crack growth in finite elements with minimal remeshing[J]. International Journal for Numerical Method in Engineering, 1999, 45(5): 601- 620．

[3]MELENK J M. The partition of unity finite element method: Basic theory and applications[J]. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 1996, 139: 289- 314.

[4]HUANG R, SUKUMAT N. Modeling quasi-static crack growth with the extended finite element method Part II: Numerical applications[J]. International Journal of Solids & Structures, 2003, 40(26): 7539- 7552．

[5]MARIANI S, PEREGO U. Extended finite element method for quasi-brittle fracture[J]. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 2003, 58(1): 103- 126.

[6]KARIHALOO B L, XIAO Q Z. Modeling of stationary and growing cracks in FE framework without remeshing： a state of the art review[J]. Computer and Structure, 2003, 81: 119- 129.

[7]SUKUMAR N, PREVOST J H. Modeling quasi-static crack growth with the extended finite element method Part I: Computer implementation[J]. International Journal of Solids and Structures, 2003, 40: 7513- 7537.

[8]STOLARSKA M, CHOPP D L, MOES N, et al. Modeling crack growth by level sets in the extended finite element method[J]. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 2001, 5l(8): 943- 960.

[9]SUKUMAR N, SROLOVITZ D J，BAKER T J. Brittle fracture in polycrystalline microstructures with the extended finite element method[J]. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 2003, 56: 2015- 2037.

[10]LIU X Y, XIAO Q Z, KARIHALOO B L. XFEM for direct evaluation of mixed mode SIFs in homogeneous and bi-materials[J]. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 2004, 59(8): 1103- 1118.

[11]XIAO Q Z，KARIHALOO B L. Improving the accuracy of XFEM crack tip field using higher order quadrature and statically admissible stress recovery[J]. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 2006, 66(9): 1378- 1410.

[12]余天堂. 含裂紋體的數(shù)值模擬[J]. 巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào), 2005(24): 4434- 4439. (YU Tian-tang. Numerical simulation of a body with cracks[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 2005(24): 4434- 4439. (in Chinese))

[13]方修君, 金峰. 基于ABAQUS平臺(tái)的擴(kuò)展有限元法[J]. 工程力學(xué), 2007, 24(7): 6- 10.(FANG Xiu-jun， JIN Feng. Extended finite element method based on ABAQUS[J]. Engineering Mechanics, 2007, 24(7): 6- 10. (in Chinese))

[14]董玉文, 任青文. 重力壩水力劈裂分析的擴(kuò)展有限元法[J]. 水利學(xué)報(bào), 2011, 42(11): 1361- 1367. (DONG Yu-wen，REN Qing-wen. An extended finite element method for modeling hydraulic fracturing in gravity dam[J]. Journal of Hydraulic Engineering, 2011, 42(11): 1361- 1367. (in Chinese))

[15]FLEMING M, CHU Y A, MORAN B, et al. Enriched element-free Galerkin methods for crack tip fields[J]. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 1997, 40(8): 1483- 1504.

An extended finite element method for modeling crack propagation of reinforced concrete three-point bending beams

HU Shao-wei, MI Zheng-xiang

(NanjingHydraulicResearchInstitute,Nanjing210029,China)

Key words： reinforced concrete; three-point bending beams; an improved extended finite element method; reinforcement ratio; fracture toughness

劉榮桂， 徐潔， 陳素碧, 等. 基于相似理論的海工預(yù)應(yīng)力混凝土構(gòu)件壽命預(yù)測(cè)[J]. 水利水運(yùn)工程學(xué)報(bào), 2015(3): 18-23. (LIU Rong-gui, XU Jie, CHEN Su-bi, et al. Prediction analysis of service life of marine prestressed concrete structure based on similarity theory[J]. Hydro-Science and Engineering, 2015(3): 18-23.)

(20123227110006)