兩自由度含間隙彈性碰撞系統(tǒng)的顫碰運(yùn)動(dòng)分析

兩自由度含間隙彈性碰撞系統(tǒng)的顫碰運(yùn)動(dòng)分析

朱喜鋒1,2， 羅冠煒2

(1. 蘭州交通大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院, 蘭州 730070； 2. 甘肅省軌道交通裝備系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)與可靠性重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 蘭州 730070)

摘要：利用數(shù)值仿真方法，對(duì)一類兩自由度含間隙彈性碰撞系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性做了深入研究，分析了系統(tǒng)周期運(yùn)動(dòng)及其參數(shù)存在區(qū)域，并揭示了系統(tǒng)的顫碰運(yùn)動(dòng)特性。首先，詳細(xì)分析了激振頻率和系統(tǒng)間隙等關(guān)鍵參數(shù)對(duì)系統(tǒng)周期運(yùn)動(dòng)及存在區(qū)域的影響。其次，在小間隙低頻工況下，數(shù)值計(jì)算了系統(tǒng)p/1周期運(yùn)動(dòng)序列及其存在區(qū)域。最后，得出隨著激振頻率的遞減，p/1運(yùn)動(dòng)的碰撞次數(shù)p因擦邊分岔而逐一增加，當(dāng)p/1運(yùn)動(dòng)的碰撞次數(shù)p足夠大時(shí)，系統(tǒng)呈現(xiàn)出顫碰特性，總結(jié)了系統(tǒng)由1/1周期運(yùn)動(dòng)到顫碰運(yùn)動(dòng)的轉(zhuǎn)遷規(guī)律。

關(guān)鍵詞：振動(dòng)；顫碰；周期運(yùn)動(dòng)；分岔；存在區(qū)域

中圖分類號(hào):O322文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51205294,61271008)

收稿日期：2014-05-04修改稿收到日期：2014-07-23

Chattering-impact motion of a 2-DOF system with clearance and soft impacts

ZHUXi-feng1,2,LUOGuan-wei2(1. School of Mechatronic Engineering Lanzhou Jiaotong University, Lanzhou 730070, China;2. Gansu Provincial Key Laboratory of System Dynamics and Reliability of Rail Transport Equipment, Lanzhou 730070, China)

Abstract:A 2-DOF system with clearance and soft impacts was considered. Its existence region of periodic motion and chattering-impact characteristics were analyzed with the numerical simulation method. Firstly, the influences of key parameters of the system, such as, exciting frequency and clearance on its existence region of periodic-impact motion were studied in detail. Secondly, the sequence of p/1 motion and its existence region under a small clearance and a low exciting frequency were investigated using numerical simulation. Finally, a series of grazing bifurcations occurred with decrease in exciting frequency so that the impact number p of p/1 motions correspondingly increased one by one. When the impact number p of p/1 motions became big enough, the chattering-impact characteristics appeared. The transition law from 1/1 motion to chattering-impact motion via grazing bifurcation with decrease in exciting frequency was summarized explicitly.

Key words:vibration; chattering-impact; periodic motion; bifurcation; existence region

機(jī)械系統(tǒng)零部件之間的間隙和約束可導(dǎo)致沖擊振動(dòng)的發(fā)生，從而使機(jī)械裝備成為一個(gè)非光滑的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，運(yùn)動(dòng)過程也呈現(xiàn)出倍周期分岔、Grazing分岔和混沌等復(fù)雜動(dòng)力學(xué)特性。為了降低噪音和削弱顫振的影響，在實(shí)際機(jī)械系統(tǒng)零部件碰撞面間常設(shè)置具有緩沖作用的彈性碰撞面，如齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)、壓力安全閥和開關(guān)電路等。Shaw等[1]利用傳統(tǒng)理論研究了一類單自由度振動(dòng)沖擊系統(tǒng)的周期碰撞運(yùn)動(dòng)、鞍結(jié)分岔、多吸引子共存及混沌等復(fù)雜動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象，發(fā)現(xiàn)了振動(dòng)沖擊系統(tǒng)中存在Grazing分岔等特殊現(xiàn)象，并可以導(dǎo)致Poincaré碰撞映射奇異性。Nordmark[2]提出了研究分段線性系統(tǒng)和振動(dòng)沖擊系統(tǒng)的Grazing動(dòng)力學(xué)及其伴隨分岔的系統(tǒng)方法。李健等[3]研究了非光滑系統(tǒng)吸引子及其吸引域的計(jì)算方法。運(yùn)用不連續(xù)映射方法，分析了振動(dòng)沖擊系統(tǒng)在多維Grazing分岔臨界點(diǎn)的多種復(fù)雜動(dòng)力學(xué)特征和余維二分岔[4-6]。研究結(jié)果可用于指導(dǎo)實(shí)用性機(jī)械裝置的設(shè)計(jì)，Wen等[7]設(shè)計(jì)了沿導(dǎo)軌運(yùn)行的彈簧振子實(shí)驗(yàn)裝置，模擬出周期碰撞運(yùn)動(dòng)及其分岔。呂小紅等[8]分析了小型振動(dòng)沖擊式打樁機(jī)的吸引子共存現(xiàn)象及其吸引域，得出低頻下顫碰運(yùn)動(dòng)使樁體的漸進(jìn)效果最好。俞翔等[9]通過實(shí)驗(yàn)研究發(fā)現(xiàn)，將碰撞振動(dòng)子系統(tǒng)引入到隔振系統(tǒng)可有效抑制被隔振設(shè)備的振動(dòng)。隨著研究的不斷深入，國(guó)內(nèi)外學(xué)者開始重點(diǎn)關(guān)注系統(tǒng)參數(shù)與動(dòng)力學(xué)特性之間的關(guān)系，Peterka等[10]分析了單自由度彈性碰撞系統(tǒng)亞諧運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性及存在區(qū)域。Luo等[11-12]以含間隙和剛性約束的兩自由度周期激勵(lì)系統(tǒng)為研究對(duì)象，詳細(xì)分析了周期運(yùn)動(dòng)的多樣性及其演化規(guī)律，重點(diǎn)揭示了系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性與關(guān)鍵參數(shù)之間匹配規(guī)律。

近年來，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)振動(dòng)沖擊系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)研究大多是基于單參數(shù)分岔，對(duì)非線性系統(tǒng)顫碰及其轉(zhuǎn)遷規(guī)律的研究較少。本文通過建立一類兩自由度含間隙彈性碰撞系統(tǒng)的力學(xué)模型，構(gòu)造了兩種Poincaré映射，采用數(shù)值仿真方法，在(ω,δ)關(guān)鍵參數(shù)平面上詳細(xì)分析了系統(tǒng)的周期運(yùn)動(dòng)及參數(shù)存在區(qū)域，得出了系統(tǒng)在小間隙低頻工況下，由1/1周期運(yùn)動(dòng)到顫碰運(yùn)動(dòng)的轉(zhuǎn)遷規(guī)律。

1力學(xué)模型

圖1所示的力學(xué)模型為一類兩自由度含間隙彈性碰撞系統(tǒng)的典型代表，兩質(zhì)量塊的質(zhì)量分別用M1,M2表示，位移用X1,X2表示，兩質(zhì)量塊之間由剛度為K1的線性彈簧和阻尼系數(shù)為C1的線性阻尼器相連。質(zhì)塊M2由剛度為K2的線性彈簧和阻尼系數(shù)為C2的線性阻尼器固定于支承面，作用在兩質(zhì)量塊上的簡(jiǎn)諧激振力為Pisin(ΩT+τ)(i=1,2)。當(dāng)激振力幅值較小時(shí)，系統(tǒng)屬于簡(jiǎn)單的線性振子；隨著激振力幅值的增加，當(dāng)質(zhì)量塊M1的位移等于間隙B，即X1=B時(shí)，M1與固定于支承的剛度為K0的彈性約束碰撞。彈性約束的剛度K0可以在[0, ∞)區(qū)間取值，因彈性碰撞的存在，使原本分段線性的系統(tǒng)變成一個(gè)具有復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為的沖擊碰撞系統(tǒng)。為使分析具有一般性，引入以下無量綱量：

圖1　兩自由度含間隙彈性碰撞系統(tǒng)的力學(xué)模型 Fig.1 Mechanical model of a two-degree-of-freedom system with clearance and soft impact

(1)

由方程(1)可得，系統(tǒng)參數(shù)的取值范圍為：μm∈(0,1),μk∈(0,1),μc∈(0,1),μk0∈[0,1),f20∈[0,1]。圖1所示兩自由度含間隙彈性碰撞系統(tǒng)的無量綱運(yùn)動(dòng)微分方程為：

(2)

其中，

(3)

用符號(hào)q=p/n表示系統(tǒng)相應(yīng)的周期碰撞運(yùn)動(dòng)，p=0, 1, 2, 3,…表示碰撞次數(shù)，n=1, 2, 3,…表示周期數(shù)。當(dāng)間隙δ較大或激振力幅值較小時(shí)，系統(tǒng)為無碰撞的線性振子，用q=0，即p=0表示無碰撞運(yùn)動(dòng)。

(4)

2周期運(yùn)動(dòng)的參數(shù)域及顫碰轉(zhuǎn)遷規(guī)律

顫碰運(yùn)動(dòng)是指振動(dòng)系統(tǒng)在有限時(shí)間內(nèi)與約束界面發(fā)生無限次碰撞的振幅逐漸衰減的振動(dòng)，它是碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的一種固有運(yùn)動(dòng)特性。顫碰運(yùn)動(dòng)通常發(fā)生在一個(gè)激勵(lì)周期內(nèi)，它是碰撞振動(dòng)系統(tǒng)中最重要的問題之一。在(ω,δ)參數(shù)平面上，通過分析圖1所示兩自由度含間隙彈性碰撞系統(tǒng)的力學(xué)模型，得出了系統(tǒng)的周期運(yùn)動(dòng)、顫碰及參數(shù)存在區(qū)域。

由無量綱運(yùn)動(dòng)微分方程(2)可知，系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性由μm,μk,μc,ζ,f20,μk0,δ和ω八個(gè)參數(shù)決定，其中最重要的兩個(gè)關(guān)鍵參數(shù)是間隙δ和激振頻率ω。選取參數(shù)(Ⅰ)：μm=2/3,μk=5/6,μc=5/6,ζ=0.1,f20=0,μk0=0.95. 以δ∈[0,4]和ω∈[0.05,3]為參數(shù)采樣范圍，數(shù)值計(jì)算系統(tǒng)在(ω,δ)參數(shù)平面上的雙參數(shù)分岔，如圖2所示。彈性碰撞周期運(yùn)動(dòng)的參數(shù)區(qū)域用p/n及相應(yīng)的顏色表示，一些未識(shí)別的周期運(yùn)動(dòng)和混沌運(yùn)動(dòng)統(tǒng)一用黑色區(qū)域表示。

圖2 參數(shù)(Ⅰ)下系統(tǒng)周期運(yùn)動(dòng)的雙參數(shù)分岔圖Fig.2Diagramofdoubleparameterbifurcationofperiodicmotionsforthesystemwiththeparameters(Ⅰ)圖3 低頻工況下系統(tǒng)周期運(yùn)動(dòng)的雙參數(shù)分岔圖Fig.3Diagramofdoubleparameterbifurcationofperiodicmotionsforthesysteminlowfrequencycase圖4 圖3的局部放大圖Fig.4ThepartialenlargementofFig.3

由圖2可知，當(dāng)ω>1.0時(shí)，系統(tǒng)存在0/1，1/1，2/2，4/4,1/2和2/4周期運(yùn)動(dòng)，即在中高頻區(qū)出現(xiàn)1/1周期運(yùn)動(dòng)的倍周期分岔，但倍周期序列2p/2n被Saddle-node分岔或Grazing分岔打斷，導(dǎo)致1/n(n=2, 3,…)亞諧運(yùn)動(dòng)的產(chǎn)生。在(ω,δ)參數(shù)平面的左下角區(qū)域，即δ<1.2和ω<1.0，彈性碰撞系統(tǒng)存在一系列p/1單周期多碰撞運(yùn)動(dòng)，并且隨著激振頻率的遞減，p/1周期運(yùn)動(dòng)的碰撞次數(shù)p逐一增加。

為了分析p/1周期運(yùn)動(dòng)及其參數(shù)存在區(qū)域，數(shù)值計(jì)算系統(tǒng)低頻工況下的(ω,δ)雙參數(shù)分岔，如圖3和圖4所示。由圖3和圖4可以看出，系統(tǒng)在δ∈[0,1.2]和ω∈[0.05,0.95]的參數(shù)采樣范圍內(nèi)存在完整的p/1周期運(yùn)動(dòng)序列。

由圖3可得，當(dāng)δ<1.2時(shí)，隨激振頻率ω的減小，小間隙系統(tǒng)的p/1周期運(yùn)動(dòng)發(fā)生Grazing分岔，碰撞次數(shù)p逐一增加，當(dāng)碰撞次數(shù)p足夠大時(shí)，系統(tǒng)呈現(xiàn)出Chatting-impact的動(dòng)力學(xué)特征，顫碰運(yùn)動(dòng)增大了系統(tǒng)噪音和零部件磨損。隨激振頻率ω的減小，系統(tǒng)由1/1周期運(yùn)動(dòng)到顫碰運(yùn)動(dòng)的轉(zhuǎn)遷規(guī)律如下：

(5)

圖5　δ=0.52時(shí)系統(tǒng)的局部分岔圖 Fig.5 Local bifurcation diagrams for the system along a horizontal scan for δ=0.52

3擦邊分岔及顫碰運(yùn)動(dòng)分析

當(dāng)激勵(lì)頻率ω∈[0.626 4,1.549 6]時(shí)，系統(tǒng)呈現(xiàn)穩(wěn)定的1/1周期運(yùn)動(dòng)(見圖6(a))，圖中虛線表示位移x1=δ=0.52的彈性約束位置。當(dāng)ω=0.626 4時(shí)，質(zhì)量塊M1以零速度接觸彈性約束面，1/1周期運(yùn)動(dòng)Grazing分岔，碰撞次數(shù)p增加1次，形成2/1運(yùn)動(dòng)，1/1擦邊運(yùn)動(dòng)相圖如圖6(b)所示。

當(dāng)ω=0.440 5時(shí)，2/1周期運(yùn)動(dòng)Grazing分岔為3/1運(yùn)動(dòng)，2/1擦邊運(yùn)動(dòng)相圖如圖7(b)所示。當(dāng)ω穿越ω=0.379 59時(shí)，發(fā)生擦邊分岔，3/1周期運(yùn)動(dòng)分岔為4/1運(yùn)動(dòng)，4/1周期運(yùn)動(dòng)Grazing分岔的臨界頻率為ω=0.267 94，ω=0.243 78時(shí)，5/1周期運(yùn)動(dòng)發(fā)生擦邊分岔，6/1周期運(yùn)動(dòng)當(dāng)ω=0.22956時(shí)擦邊分岔為7/1運(yùn)動(dòng)，相應(yīng)的擦邊運(yùn)動(dòng)相圖如圖8所示。

當(dāng)ω∈[0.05,0.7]時(shí)，隨激振頻率ω的減小，p/1周期運(yùn)動(dòng)發(fā)生Grazing分岔，碰撞次數(shù)p逐一增加，并且相應(yīng)的參數(shù)域?qū)挾戎饾u變窄。當(dāng)碰撞次數(shù)p足夠大時(shí)，系統(tǒng)呈現(xiàn)出Chatting-impact的動(dòng)力學(xué)特征，即在一個(gè)有限時(shí)間內(nèi)(t

(a) 1/1運(yùn)動(dòng),ω=0.63　　　　　(b) 1/1擦邊運(yùn)動(dòng),ω=0.6264　　　　　(c) 2/1運(yùn)動(dòng),ω=0.6262 圖6　周期運(yùn)動(dòng)相圖 Fig.6 Phase plane portraits of periodic motions

(a) 2/1運(yùn)動(dòng),ω=0.443　　　　　(b) 2/1擦邊運(yùn)動(dòng),ω=0.4405　　　　　(c) 3/1運(yùn)動(dòng),ω=0.43 圖7　周期運(yùn)動(dòng)相圖 Fig.7 Phase plane portraits of periodic motions

圖8　擦邊運(yùn)動(dòng)相圖 Fig.8 Phase plane portraits with grazing contact

圖9　p/1運(yùn)動(dòng)時(shí)間歷程圖 Fig.9 Time series of p/1 motions

4擦邊分岔邊界上特殊運(yùn)動(dòng)分析

由圖3和圖4可以發(fā)現(xiàn)，在p/1周期運(yùn)動(dòng)發(fā)生Grazing分岔的邊界上存在數(shù)個(gè)凸起的舌狀區(qū)域。每個(gè)舌狀區(qū)域內(nèi)部均存在周期運(yùn)動(dòng)和混沌，如3/2，5/2，7/2，10/3，9/2，13/3等，并且其周期運(yùn)動(dòng)與p/1周期運(yùn)動(dòng)存在一定的關(guān)系。即：在p/1和(p+1)/1運(yùn)動(dòng)擦邊分岔邊界上的舌狀區(qū)域內(nèi)，存在(np+1)/n的周期運(yùn)動(dòng)序列。

圖10　ω=0.352 4時(shí)系統(tǒng)的局部分岔圖 Fig.10 Local bifurcation diagrams for the system along a vertical scan for ω=0.352 4

圖11　周期運(yùn)動(dòng)相圖 Fig.11 Phase plane portraits of periodic motions

通過以上分析和圖11可知，因倍周期、Saddle-node和Grazing分岔的相互交織，在4/1和5/1周期運(yùn)動(dòng)之間擦邊分岔邊界的舌狀區(qū)域內(nèi)，存在9/2, 13/3, …等周期運(yùn)動(dòng)序列。符合在p/1和(p+1)/1運(yùn)動(dòng)擦邊分岔邊界上的舌狀區(qū)域，存在完整的(np+1)/n的周期運(yùn)動(dòng)序列的規(guī)律。

5結(jié)論

本文以典型的兩自由度含間隙彈性碰撞系統(tǒng)為研究對(duì)象，建立了系統(tǒng)的力學(xué)模型，構(gòu)造了σp,σn兩種Poincaré映射，分析了系統(tǒng)的周期運(yùn)動(dòng)及Grazing分岔。運(yùn)用數(shù)值仿真方法，在(ω,δ)關(guān)鍵參數(shù)平面上詳細(xì)分析了系統(tǒng)彈性碰撞運(yùn)動(dòng)的參數(shù)存在區(qū)域及顫碰運(yùn)動(dòng)的轉(zhuǎn)遷規(guī)律。

(1)以δ∈[0,4]和ω∈[0.05,3]為參數(shù)采樣范圍，數(shù)值計(jì)算了系統(tǒng)的(ω,δ)雙參數(shù)分岔，分析了間隙δ和激振頻率ω兩個(gè)關(guān)鍵參數(shù)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響。在(ω,δ)雙參數(shù)平面上分析系統(tǒng)的周期運(yùn)動(dòng)特征，可彌補(bǔ)單參數(shù)分岔圖的不足，發(fā)現(xiàn)了在p/1運(yùn)動(dòng)擦邊分岔邊界上存在特定的舌狀區(qū)域。

(2)當(dāng)δ>1.2時(shí)系統(tǒng)僅有0/1和1/1等主要周期運(yùn)動(dòng)。當(dāng)δ<1.2時(shí)，在ω>1.5中高頻區(qū)開始出現(xiàn)1/1周期運(yùn)動(dòng)的倍周期分岔，但倍周期序列2p/2n被Saddle-node分岔或Grazing分岔打斷，導(dǎo)致1/n(n=2, 3,…)亞諧運(yùn)動(dòng)的產(chǎn)生。

(3)對(duì)于p/1系列基本周期運(yùn)動(dòng)，在p/1和(p+1)/1運(yùn)動(dòng)的擦邊分岔邊界上的舌狀區(qū)域內(nèi)，存在完整的(np+1)/n的周期運(yùn)動(dòng)序列。

(4)在δ<1.2,ω<0.7的采樣區(qū)間，系統(tǒng)呈現(xiàn)出一系列p/1周期運(yùn)動(dòng)。隨激振頻率ω的減小，系統(tǒng)發(fā)生Grazing分岔，碰撞次數(shù)p逐一增加，當(dāng)碰撞次數(shù)p足夠大時(shí)，系統(tǒng)呈現(xiàn)出Chatting-impact的動(dòng)力學(xué)特征，并總結(jié)了系統(tǒng)由1/1周期運(yùn)動(dòng)到顫碰的轉(zhuǎn)遷規(guī)律。

參考文獻(xiàn)

[1]Shaw S W, Holmes P J. A periodically forced piecewise linear oscillator[J].Journal of Sound and Vibration, 1983,90(1): 129-155.

[2]Nordmark A B. Non-periodic motion caused by grazing incidence in an impact oscillator[J]. Journal of Sound and Vibration, 1991, 145(2): 279-297.

[3]李健, 張思進(jìn). 非光滑動(dòng)力系統(tǒng)胞映射計(jì)算方法[J]. 固體力學(xué)學(xué)報(bào), 2007, 28(1): 93-96.

LI Jian, ZHANG Si-jin. Cell-Mapping computation method for non-smooth dynamical system[J]. Acta Mechanica Solida Sinica, 2007, 28(1): 93-96.

[4]Dankowicz H, Zhao Xiao-peng. Local analysis of co-dimension-one and co-dimension-two grazing bifurcations in impact microactuators[J]. Physica D, 2005, 202(3/4): 238-257.

[5]Nordmark A B, Kowalczyk P. A codimension-two scenario of sliding solutions in grazing-sliding bifurcations[J]. Nonlinearity, 2006, 19(1): 1-26.

[6]Mason J F, Humphries N, Piiroinen P T. Numerical analysis of codimension-one, -two and -three bifurcations in a periodically-forced impact oscillator with two discontinuity surfaces[J]. Mathematics and Computers in Simulation, 2013, 95: 98-110.

[7]Wen Gui-lin, Xu Hui-dong, Xiao Lu. Experimental investigation of a two-degree-of-freedom vibro-impact system[J]. International Journal of Bifurcation and Chaos, 2012, 22(5):1250110.

[8]呂小紅, 羅冠煒. 小型振動(dòng)沖擊式打樁機(jī)的非線性動(dòng)力學(xué)分析[J]. 工程力學(xué), 2013, 30(11): 227-232.

Lü Xiao-hong, LUO Guan-wei. Analysis of nonlinear dynamics of a small vibro-impact driver[J]. Engineering Mechanics, 2013, 30(11): 227-232.

[9]俞翔,朱石堅(jiān),樓京俊.基于碰撞振動(dòng)的隔振系統(tǒng)混沌化實(shí)驗(yàn)研究[J].振動(dòng)與沖擊,2014,33(18):59-64.

YU Xiang, ZHU Shi-jian, LOU Jing-jun. Tests for chaotification method of a vibration isolation system with a vibro-impact subsystem[J]. Journal of Vibration and Shock,2014,33(18):59-64.

[10]Peterka F, Tondl A. Phenomena of subharmonic motions of oscillator with soft impacts[J]. Chaos, Solitons and Fractals, 2004, 19(5): 1283-1290.

[11]Luo G W, Lü X H, Shi Y Q. Vibro-impact dynamics of a two-degree-of freedom periodically-forced system with a clearance: Diversity and parameter matching of periodic-impact motions[J]. International Journal of Non-Linear Mechanics, 2014, 65: 173-195.

[12]Luo G W, Zhu X F, Shi Y Q. Dynamics of a two-degree-of freedom periodically-forced system with a rigid stop: Diversity and evolution of periodic-impact motions[J]. Journal of Sound and Vibration, 2015, 334:338-362.

第一作者胡峰男，博士，副教授，碩士生導(dǎo)師，1979年生