導體角域靜電場問題及其分析

劉煜琛

摘要：角域?qū)w是指兩個半無限大平面沿一定的角度放置，在角域空間中分布有一定的電荷時，求其電場分布，是靜電場的基本問題.但是，由于角域?qū)w的角度不同，其分析方法也不一樣，而且一不小心就容易出錯.本文對導體角域靜電場問題進行了分析和總結(jié).

關鍵詞：導體角域；靜電場；問題；分析

中圖分類號：G633.7 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2016）02-0182-02

一塊無限大平面導體沿某一條直線折成一定的角度，角域?qū)w的兩個半無限大平面是一個等勢面，幾何像電荷的空間分布必須滿足該邊界條件；滿足該邊界條件的所有點在角域中任一點P的電勢即它所滿足的拉普拉斯方程的解[1].但是，此求解過程一般不簡單，因此，可以用等效方法[1-3]，例如鏡像法和保角變換法求解某些特殊形狀邊界區(qū)域中的靜電場，直觀簡潔、可避免大量繁冗運算[1-3].但是，鏡像法和保角變換法都有其適用條件，由于角域?qū)w的角度不同，其分析方法也不一樣，而且一不小心就容易出錯.本文對導體角域靜電場問題進行了分析和總結(jié).

一、特殊導體角域內(nèi)靜電場問題求解——鏡像法

當電荷分布于角域空間時，因為靜電感應，在導體表面上會出現(xiàn)感應電荷，此時，角域空間中任一點的電勢和電場強度是原電荷和導體表面的感應電荷產(chǎn)生的電勢和場強的疊加.但是，導體表面感應電荷的分布規(guī)律一般情況下是很難求出，甚至不能求出的.而對某些具有特殊形狀邊界條件導體的靜電場問題，可用鏡像電荷來代替分界面感應電荷所產(chǎn)生的效果，避免了求解感應電荷分布函數(shù)的大量繁冗運算，從而使問題的求解大為簡化.

當θ=π/n，N∈Z即π/θ為整數(shù)時，該角域中的場可以用鏡像法求解.

1.特殊導體角域內(nèi)點電荷的靜電問題.設角域?qū)w的夾角為θ，該角域中的電荷有（2n-1）個鏡像電荷.

以n=3為例，即角域?qū)w的夾角為π/3，設角域內(nèi)有一個點電荷q，則角域外有2n-1=5個鏡像電荷，大小和位置如圖1所示.所有鏡像電荷都正、負交替地分布在同一個圓周（圓心為該角域的頂點，半徑為該點電荷到頂點的距離）上.

因此，角域內(nèi)任一點（點電荷q點所在的點除外）的電位φ為6個點電荷產(chǎn)生的電位的疊加.

對于夾角為θ的點電荷導體角域，設點電荷的極坐標位置為（（r ，θ ）），其鏡像電荷有如下特點：

（1）所有的鏡像電荷（包括點電荷本身）均勻分布在以角域頂點為圓心、半徑為r 的圓上；

（2）任意相鄰兩個鏡像電荷（包括點電荷本身）都是帶等量電荷的異號電荷（等值異號），且相互之間以夾角2θ 和2（θ-θ ）交替分布.

二、特殊導體角域內(nèi)線電荷的靜電問題

設由兩個接地導體平面組成的夾角為θ的角域，有一電荷線密度為τ的無限長直線置于二面角內(nèi)部，當θ=π/n，N∈Z，即π/θ為整數(shù)時，可以用鏡像法求解.例如，線電荷τ對無限大接地平面及其鏡像電荷如圖2所示.

任取Q點為電位參考點，則P點電位為

φ = dρ- dρ

=C+ ln

由于導體平面接地，所以C=0.因此場中任意點p電位為

φ = ln = ln ，但是π/θ，不為整數(shù)或者角域夾角為鈍角時，鏡像法不再適用.采用保角變換法求解.

二、一般導體角域的線電荷靜電場問題求解——保角變換法

設接地導體θ角域內(nèi)置無限長線電荷，為使表達簡潔，采用極坐標系.設線電荷τ的極坐標位置為（r ，θ ），做保角變換W=z ，n=π/θ，設變換后的線電荷位置為（ρ ，φ ），有ρ e =（r e ）

除Z=0（W=0）點外，保角變換將Z平面上的θ導體角域變?yōu)閃平面的上半平面，線電荷密度變換后保持不變，其位置為w （r ，nθ ）處.因此，其鏡像電荷位于W平面的下半平面，位置為w （ρ ，-φ ）.故上半平面任意一點w（ρ，φ）的電勢為

φ = ln .

還原到Z平面，將變換函數(shù)：n=π/θw=（re ） ，w =（r e ） ，w =（r e ） 代入上式中，有

φ = ln .

三、一般導體角域的點電荷靜電場問題求解——分離變量法

當點電荷位于任意導體角域時，如果運用保角變換和鏡像法求解，過程和第2節(jié)類似，有

φ = （ - ）.

很顯然，上述表達式錯誤.其原因是保角變換在二維平面靜電場問題時確實具有保角性，而三維變換與反演不具保角性.且點電荷明顯是三維問題，因此，采用保角變換求解三維點電荷問題會出錯.須采用分離變量法[4]進行求解，任意一點p（r，α，z）的電勢為φ = φ coskzdk

其中，

φ = K （kr ）I （kr）sin（iθ ）sin（iθ） rr 式中n=π/θ，k ，I 為柱函數(shù).

參考文獻：

[1]王福謙.基于保角映射的鏡像法的應用[J].大學物理，2015，34（3）：14-16，24.

[2]王福謙.求解靜電場邊值問題的一種方法[J].大學物理，2013，32（10）：24—26.

[3]梁昌洪，陳曦.平面鏡像法與有源保角變換[J].電氣電子教學學報，2010，32（2）：2-5.

[4]尼蒂盒，扎普蒂金.電動力學習題集[M].北京：人民教育出版社，1978：45-46，230-231.