考慮滲透率變化的低滲透油藏非達西滲流模型

李衛(wèi)東, 吳亞芳, 馬　哲, 蘇玉亮

(1.延長油田股份有限公司 定邊采油廠， 陜西 定邊　718600； 2.中國石油大學(xué)(華東) 石油工程學(xué)院， 山東 青島　266580)

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考慮滲透率變化的低滲透油藏非達西滲流模型

李衛(wèi)東1, 吳亞芳1, 馬哲1, 蘇玉亮2

(1.延長油田股份有限公司 定邊采油廠， 陜西 定邊718600； 2.中國石油大學(xué)(華東) 石油工程學(xué)院， 山東 青島266580)

摘要：低滲透油藏流體的滲流為非達西滲流，常采用啟動壓力梯度來進行描述，但是實際滲流曲線卻為非直線段.本文考慮了變化的滲透率和啟動壓力梯度，建立了低滲透油藏非達西滲流模型，保留二次項，并使用Newton-Raphson方法進行求解.計算結(jié)果表明：壓力和壓力導(dǎo)數(shù)曲線后半段出現(xiàn)上移，并且滲透率變化持續(xù)的時間越短，其所對應(yīng)的啟動壓力梯度越大，則壓力和壓力導(dǎo)數(shù)曲線變化幅度越大；在圓形定壓邊界和封閉邊界中，只有當(dāng)外邊界半徑較大時，由滲透率變化引起的曲線上翹才更明顯；相對于只考慮啟動壓力梯度的模型，本文模型曲線上翹幅度更小.

關(guān)鍵詞：低滲透油藏； 滲透率變化； 非達西滲流； 啟動壓力梯度

0引言

大量實驗證明,低滲透油藏中流體的滲流為非達西滲流，其滲流曲線為非直線段.目前,常用啟動壓力梯度來進行近似描述，如果要對地層滲流進行真實地反映，就必須使用曲線滲流規(guī)律[1-6].

如圖1所示，滲透率為滲流曲線上的點的斜率，啟動壓力梯度為其切線與壓力梯度數(shù)據(jù)軸的交點.隨著壓力梯度的增加，斜率越來越大直至某一定值時就不再發(fā)生變化.這一現(xiàn)象稱為滲透率的變化效應(yīng).

基于上述特征，本文建立了考慮井筒儲存和表皮系數(shù)的低滲透油藏非達西滲流模型[7-14]，并運用Newton-Raphson方法進行了求解[15]，繪制了壓力和壓力導(dǎo)數(shù)曲線，并與常規(guī)模型進行了比較.

圖1　原油非達西滲流示意圖

1低滲透非達西模型的建立

1.1物理模型

對低滲油藏進行假設(shè)：(1)無限大地層中一口井以定產(chǎn)量進行生產(chǎn)；(2)儲層等厚，各向同性，初始條件下壓力分布均勻；(3)流體在地層中的流動不滿足達西定律，并且流體微可壓縮；(4)考慮表皮系數(shù)和井筒儲存效應(yīng)，并忽略重力和毛管力的影響.

1.2數(shù)學(xué)模型

(1)運動方程

考慮K和G隨壓力梯度的增加而增大，當(dāng)壓力梯度增大到某一臨界值后，K和G將保持恒定.故運動方程如下：

(1)

其中，v為滲流速度，K為滲透率，G是當(dāng)滲透率為K時的啟動壓力梯度.

(2)狀態(tài)方程

①巖石的狀態(tài)方程

φ=φieCp(p-pi)

(2)

②液體的狀態(tài)方程

ρ=ρieCl(p-pi)

(3)

(3)連續(xù)性方程

(4)

將式(1)～(3)代入式(4)中可得：

(5)

將式(5)展開并合并同類項，可得低滲透油藏非達西滲流模型為：

外邊界條件：

上式中，p(r,t)為地層壓力，MPa；pi為原始地層壓力，MPa；pw為井底壓力，MPa；K為地層滲透率，μm2；G為啟動壓力梯度，MPa/m；r為地層半徑，m；Cl為流體壓縮系數(shù)，MPa-1；Ct為綜合壓縮系數(shù)，MPa-1；μ為流體粘度，mPa·s；φ為孔隙度；rwe為有效半徑,m;B為體積系數(shù)，m3/m3；q為日產(chǎn)油，m3/d；C為井筒儲存系數(shù)，m3/MPa.

2低滲透非達西模型的求解

2.1模型的離散

本文采用無條件穩(wěn)定的隱式差分方法對方程進行離散.在空間方向上采用向前差分，在時間方向上采用向后差分，二階偏導(dǎo)數(shù)采用二階中線差商.

首先,對近井地帶網(wǎng)格進行加密，令：

x=ln(r/rwe)?r=rweex

(6)

將式(6)代入模型中進行轉(zhuǎn)化，然后對滲流方程進行離散可得：

m=2,…,M-1,n=2,…,N.其中，M為空間方向上的節(jié)點數(shù)，N為時間方向上的節(jié)點數(shù).

對內(nèi)邊界條件進行離散，得：

對外邊界條件進行離散：

對初始條件進行離散可得：

2.2模型的求解

(1)滲透率和啟動壓力梯度的計算

對K和G采用顯式處理，根據(jù)上一時間步所計算的壓力來計算下一時間步的K和G.

壓力梯度的計算如下式表示：

如果，J所對應(yīng)的K和G位于兩個離散的K和G之間，即Jn-1

如果J≤Jmin，那么,K=Kmin,G=Gmin,

如果J≥Jmax，那么,K=Kmax,G=Gmax.

其中，Kmin和Kmax為滲透率的最小和最大值，Gmin和Gmax為與之對應(yīng)的啟動壓力梯度值.

(2)方程組的解法

本文所得差分方程組具有強非線性特征，所以采用Newton-Raphson方法進行編程求解.在時間循環(huán)內(nèi)，首先使用初始壓力計算滲透率和啟動壓力梯度，然后代入差分方程組求解地層壓力，再使用求得的地層壓力計算滲透率和啟動壓力梯度，最后進入下一時間段的計算.

為了精確反映井筒儲存階段的壓力變化，采用指數(shù)時間步長：

tn=0.01×100.025(n-1)

3參數(shù)敏感性分析

3.1滲透率和啟動壓力梯度的影響

由滲流曲線可得到滲透率隨壓力梯度變化的曲線,如圖2所示；啟動壓力梯度隨壓力梯度變化的曲線如圖3所示.

圖2　滲透率隨壓力梯度變化曲線圖

圖3　啟動壓力梯度隨壓力梯度變化曲線圖

由圖4(S=3，C=0.1 m3/MPa)可以看出，壓力和壓力導(dǎo)數(shù)曲線在早期重合為斜率為1的直線;在中后期，壓力和壓力導(dǎo)數(shù)曲線均會出現(xiàn)上翹，其中滲透率變化持續(xù)的時間越短，對應(yīng)啟動壓力梯度值越大，壓力和壓力導(dǎo)數(shù)曲線上翹時間越早，上翹幅度越大.

圖4　壓力和壓力導(dǎo)數(shù)的雙對數(shù)典型曲線圖

3.2井筒儲存系數(shù)的影響

從圖5(曲線3，S=3)可以看出，壓力和壓力導(dǎo)數(shù)曲線隨著C的增大平行右移，并且C越大，井筒儲存階段持續(xù)的時間變長.在井筒儲存后期，壓力導(dǎo)數(shù)曲線的“駝峰”隨著C的增大而變高;在晚期，壓力和壓力導(dǎo)數(shù)曲線出現(xiàn)上翹，并且曲線相互重合，井底壓力下降的速度和幅度相同.

圖5　C影響的壓力和壓力導(dǎo)數(shù)雙對數(shù)圖

3.3表皮系數(shù)的影響

從圖6(曲線3，C=0.1 m3/MPa)可以看出，壓力導(dǎo)數(shù)曲線上的“駝峰”會隨著表皮系數(shù)的增大而變高.其峰值越高，表示井筒周圍受污染越嚴(yán)重.在晚期，壓力和壓力導(dǎo)數(shù)曲線出現(xiàn)上翹，并且壓力下降的速度相同.

圖6　表皮系數(shù)影響的壓力和壓力導(dǎo)數(shù)雙對數(shù)圖

3.4 封閉外邊界的影響

從圖7(曲線3，S=3,C=0.1 m3/MPa)可以看出，壓力和壓力導(dǎo)數(shù)曲線在早中期分別重合在一起，后期擬穩(wěn)態(tài)流動階段，壓力和壓力導(dǎo)數(shù)曲線上翹重合為斜率為1的直線，并且直線段隨著邊界距離的增大而平行右移.封閉油藏外邊界半徑越小，壓力特征曲線上翹越早.

圖7　封閉邊界影響的壓力和壓力導(dǎo)數(shù)雙對數(shù)圖

3.5定壓外邊界的影響

從圖8(曲線3，S=3,C=0.1 m3/MPa)可以看出，后期擬穩(wěn)態(tài)流動階段，各壓力曲線變?yōu)樗降闹本€段，達到定壓邊界；由于壓力逐步趨于穩(wěn)定，所以壓力導(dǎo)數(shù)會出現(xiàn)“下掉”.邊界距離越大，水平直線段出現(xiàn)得越晚，即壓降漏斗傳到邊界需要的時間越長.同時，邊界距離越大，壓力導(dǎo)數(shù)曲線的“下掉”出現(xiàn)得也越晚.

圖8　定壓邊界影響的壓力和壓力導(dǎo)數(shù)雙對數(shù)圖

3.6不同方法的對比

對油藏采用三種方法計算其壓力響應(yīng).這三種方法分別為：

(1)不考慮啟動壓力梯度的方法.此時認為K=4.3×10-3μm2，G=0 MPa/m.

(2)只考慮啟動壓力梯度方法.此時認為K=4.3×10-3μm2，G=0.044 MPa/m.

(3)考慮滲透率變化的方法.此時認為K=(0～4.3)×10-3μm，G=(0～0.044) MPa/m.計算的結(jié)果如圖9和圖10所示(S=3，C=0.1 m3/MPa).

從圖9可以看出，對于無限大油藏，考慮滲透率變化的模型，其壓力及壓力導(dǎo)數(shù)曲線上翹的幅度比帶啟動壓力梯度模型上翹的幅度小且平緩，符合實際情況.

圖9　無限大油藏下壓力和壓力導(dǎo)數(shù)雙對數(shù)圖

從圖10可以看出，對于封閉外邊界油藏，考慮滲透率變化使得壓力導(dǎo)數(shù)曲線上翹的幅度比封閉邊界效應(yīng)引起的上翹幅度要小且出現(xiàn)時間早，兩者有著明顯的區(qū)別.

4結(jié)論

(1)在低滲透油藏中，考慮滲透率的變化，建立了低滲透油藏非達西滲流模型.對于模型的非線性特征，使用Newton-Raphson方法進行了求解.

(2)本文模型壓力和壓力導(dǎo)數(shù)曲線后期出現(xiàn)上移，滲透率變化持續(xù)的時間越短，啟動壓力梯度越大，則曲線上移就越明顯.

(3)考慮滲透率變化的模型，壓力和壓力導(dǎo)數(shù)曲線的上翹幅度比只考慮啟動壓力梯度的模型要小而且平緩，并且與封閉邊界所引起的曲線上移有明顯區(qū)別.

(4)封閉邊界和定壓邊界的外邊界半徑越大，則由滲透率變化引起的導(dǎo)數(shù)曲線上移越明顯.

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Non-darcy flow model of low-permeability reservoirs

considering permeability changes

LI Wei-dong1， WU Ya-fang1， MA Zhe1， SU Yu-liang2

(1.Dingbian oil production plant of Yanchang Oil Field Corporation Limited, Dingbian 718600, China; 2.School of Petroleum Engineering, China University of Petroleum (East China), Qingdao 266580, China)

Abstract:The flow of low-permeability fluid is non-darcy flow,often be described by start-up pressure gradient,but the actual percolation curve is not straight line.This paper considering changed permeability and start-up pressure gradient,the non-darcy flow model was established,retain the two items,solve the model by Newton-Raphson method.The result is that the log-log pressure and derivative curves will upward in the later period,the lasting time of changing permeability was shorter and start-up pressure gradient was larger,the log-log pressure and derivative curves were more upward;In the closed boundary and constant pressure boundary，when outer boundary radius was bigger,the log-log curves were more upward;the upward of this model′s curves is smaller than others.

Key words:low-permeability reservoirs； permeability changes； non-darcy flow; start-up pressure gradient

中圖分類號：TE348

文獻標(biāo)志碼：A

文章編號：1000-5811(2015)02-0111-05

作者簡介:李衛(wèi)東(1987-)，男，陜西咸陽人，助理工程師，碩士，研究方向：油氣滲流理論及應(yīng)用

基金項目：國家科技部重點基礎(chǔ)研究發(fā)展規(guī)劃“973”計劃項目(2006CB705804)

收稿日期:*2015-01-13