光子晶體能帶特性的理論算法和數(shù)值模擬

光子晶體能帶特性的理論算法和數(shù)值模擬

韋德泉

(棗莊學(xué)院光電工程學(xué)院，山東棗莊277160)

[摘要]基于Maxwell方程研究光子晶體能帶結(jié)構(gòu)的理論算法，推導(dǎo)了計(jì)算光子晶體能帶的時(shí)域有限差分方法，傳輸矩陣法和平面波展開方法，以二維光子晶體為例進(jìn)行了數(shù)值模擬，得到了其能帶結(jié)構(gòu)，研究結(jié)論對于光子晶體的理論算法具有參考意義.

[關(guān)鍵詞]光子晶體;能帶特性;理論算法;數(shù)值模擬[收稿日期]2015-08-03

[基金項(xiàng)目]國家自然科學(xué)

[作者簡介]韋德泉(1964-)，男，山東棗莊人，棗莊學(xué)院光電工程學(xué)院教授，主要從事光學(xué)方面的研究.

[中圖分類號]04-33 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼]A

0引言

光子晶體的概念自1987年被S.John和E.Yablonovitch[1,2]提出來之后，光子晶體的研究就成為一個(gè)熱點(diǎn)，光子能帶是光子晶體的一個(gè)重要研究方向，通過人為設(shè)計(jì)光子晶體結(jié)構(gòu)，可以得到電磁波在其中的傳播的能帶結(jié)構(gòu)，在能帶中的電磁波損耗小具有非常好的傳輸性能，可以按照人為設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)傳輸，因此可以利用這個(gè)特性設(shè)計(jì)濾波器等器件.在設(shè)計(jì)過程中追求寬的能帶結(jié)構(gòu)，達(dá)到光子晶體器件設(shè)計(jì)性能越好.光子晶體能帶的計(jì)算方法主要有時(shí)域有限差分方法[3]，傳輸矩陣法[4]，平面波展開方法[5]等,按照結(jié)構(gòu)分光子晶體有一維、二維和三維光子晶體，一般可以用傳輸矩陣法計(jì)算一維光子晶體，平面波展開法計(jì)算二維光子晶體，時(shí)域有限差分法計(jì)算三維光子晶體[6-14].本文就光子晶體能帶特性的幾種理論算法進(jìn)行研究.

1理論算法

電磁波在光子晶體中傳播的理論可以用Maxwell方程精確描述，其方程表示為公式(1)(2)

(1)

▽·[ε0ε(r)E]=0 ,▽·[μ0μ(r)H]=0

(2)

公式(1)(2)沒有考慮自由電荷電流，對公式(1)(2)用傅立葉轉(zhuǎn)換到(K,ω)域得到如下的公式(3)(4).

K×H=-ε0ε(r)ωE，K×E=μ0μ(r)ωH

(3)

K·[ε0ε(r)E]=0，K·[μ0μ(r)H]=0

(4)

基于上面的Maxwell方程推導(dǎo)研究計(jì)算光子晶體能帶的幾種方法.

1.1時(shí)域有限差分法

1966年K.S.Yee提出了計(jì)算電磁場的時(shí)域有限差分法.它的基本思想是將空間電磁場的離散單元用Yee元胞表示，即將空間電磁場分成很多網(wǎng)格單元(Δx,Δy,Δz)，就是Yee的差分格式，電磁場E、H分量可分解為四個(gè)H或E場分量，將Mexwell方程轉(zhuǎn)化成差分方程求解電磁場特性.這種算法的優(yōu)點(diǎn)是解具有精確性、收斂性和穩(wěn)定性.E、H分量方程如公式(5)-(10)所示.

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

公式(5)至(10)中△t為時(shí)間間隔， n為時(shí)間步長.在FDTD算法中，穩(wěn)定性要求是

(11)

計(jì)算公式(5)～(10)式，利用邊界條件求出時(shí)域場，將其轉(zhuǎn)化到頻率域中求得本征頻率，從而得到光子晶體的能帶結(jié)構(gòu).

1.2傳輸矩陣法

傳輸矩陣法的求解思想是將Mexwell方程組化成傳輸矩陣形式，最后求解本征值問題.利用這個(gè)思想將公式(1)，(2)的Maxwell方程化為：

(12)

(13)

(14)

則下一層的電磁場為

F(r+c)=M(r)F(r)

(15)

根據(jù)Bloch定理：

(16)

得到

M(r)F(r)=exp(ik2c)F(r)

(17)

不同的ω可以解的不同的本征值，從而對應(yīng)不同的波矢量,就得到了光子晶體的能帶結(jié)構(gòu).

1.3平面波展開法

平面波展開法的基本思想是應(yīng)用Bloch定理，對Maxwell方程進(jìn)行Fourier變換，將電磁波能帶計(jì)算問題轉(zhuǎn)化為求解代數(shù)本征值的問題.忽略電荷和電流，Maxwell方程可表示如下：

(18)

(19)

(20)

(21)

將公式(18)-(21)的解寫成諧振波的形式：

(22)

(23)

(24)

(25)

將公式(22)～(25)式帶入Maxwell方程式得到

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

將(28)，(29)，(30)代入(26)和(27)并加以整理得到

(33)

(34)

2能帶計(jì)算

2.1一維光子晶體能帶計(jì)算

一維光子晶體的模型如圖1所示，圖中由兩層結(jié)構(gòu)組成，介電常數(shù)為1和13，應(yīng)用傳輸矩陣法計(jì)算得到一維光子晶體的能帶結(jié)構(gòu)圖.圖2是一維光子晶體TE模能帶結(jié)構(gòu)圖，從圖2中可以看到出現(xiàn)三個(gè)能帶結(jié)構(gòu)，帶隙范圍為0.1452-0.2541He，0.3527-0.5057He，0.5888-0.7340He.圖3是一維光子晶體TM模能帶結(jié)構(gòu)圖，從圖3中可以看到出現(xiàn)三個(gè)能帶結(jié)構(gòu).圖4是一維光子晶體TE/TM模能帶結(jié)構(gòu)圖，從圖4中可以看到出現(xiàn)三個(gè)能帶結(jié)構(gòu).

圖1　一維光子晶體模型　　　　　圖2　一維光子晶體TE模能帶結(jié)構(gòu)

圖3　一維光子晶體TM模能帶結(jié)構(gòu)　　圖4　一維光子晶體TE/TM模能帶結(jié)構(gòu)

圖5　二維正方光子晶體模型　　　　圖6　二維光子晶體TE模能帶結(jié)構(gòu)

圖7　二維三角光子晶體模型　　　圖8　二維三角光子晶體TE模能帶結(jié)構(gòu)

2.2二維光子晶體能帶結(jié)構(gòu)計(jì)算

二維光子晶體的模型如圖5所示，圖中介電常數(shù)為1和13的兩種材料組成，黑色圓柱介電常數(shù)是13，周圍是空氣，結(jié)構(gòu)成正方形排列，稱這種結(jié)構(gòu)為正方晶格二維光子晶體結(jié)構(gòu).應(yīng)用平面波展開法計(jì)算得到二維光子晶體的能帶結(jié)構(gòu)圖.圖6是二維光子晶體TE模能帶結(jié)構(gòu)圖，從圖6中可以看到出現(xiàn)兩個(gè)能帶結(jié)構(gòu)，較寬帶隙范圍為0.2726-0.4089He.圖7成三角排列，稱為三角晶格光子晶體，在圖8中可以看到是TM模能帶結(jié)構(gòu)，出現(xiàn)兩個(gè)能帶，其中較寬的能帶為0.1937-0.2279Hz.

2.3三維光子晶體能帶結(jié)構(gòu)計(jì)算

三維光子晶體的模型如圖9所示，圖中介電常數(shù)為1和13的兩種材料組成，黑色圓柱介電常數(shù)是13，周圍是空氣，圖9結(jié)構(gòu)為金剛石三維光子晶體結(jié)構(gòu)，應(yīng)用時(shí)域有限差分法計(jì)算得到三維光子晶體的能帶結(jié)構(gòu)圖，圖10是其能帶結(jié)構(gòu)圖，從圖10中可以看到出現(xiàn)一個(gè)能帶結(jié)構(gòu)，帶隙范圍為0.4954-0.6355He.圖11結(jié)構(gòu)為蛋白石三維光子晶體結(jié)構(gòu)，圖12是應(yīng)用時(shí)域有限差分法計(jì)算得到的能帶結(jié)構(gòu)圖，從圖12中可以看到出現(xiàn)一個(gè)能帶結(jié)構(gòu)，帶隙范圍為0.7827-0.8125He.圖13結(jié)構(gòu)為木堆三維光子晶體結(jié)構(gòu)，圖14是應(yīng)用時(shí)域有限差分法計(jì)算得到的能帶結(jié)構(gòu)圖，從圖14中可以看到出現(xiàn)一個(gè)能帶結(jié)構(gòu)，帶隙范圍為0.3406-0.4288He.

圖9　三維金剛石結(jié)構(gòu)光子晶體模型　　圖10　三維金剛石結(jié)構(gòu)光子晶體能帶結(jié)構(gòu)

圖11　三維蛋白石結(jié)構(gòu)光子晶體模型　　圖12　三維蛋白石結(jié)構(gòu)光子晶體能帶結(jié)構(gòu)

圖13　三維木堆結(jié)構(gòu)光子晶體模型　　圖14　三維木堆結(jié)構(gòu)光子晶體能帶結(jié)構(gòu)

3結(jié)論

總結(jié)推導(dǎo)了計(jì)算光子晶體的三種方法傳輸矩陣法、平面波展開法和時(shí)域有限差分法，并分別用傳輸矩陣法計(jì)算了一維光子晶體的能帶結(jié)構(gòu)，用平面波展開法計(jì)算了二維正方晶格、三角晶格的能帶結(jié)構(gòu)，用時(shí)域有限差分法計(jì)算了三維金剛石結(jié)構(gòu)、蛋白石結(jié)構(gòu)和木堆結(jié)構(gòu)光子晶體的能帶結(jié)構(gòu).研究結(jié)論對于光子晶體的算法以及數(shù)值模擬提供參考.

參考文獻(xiàn)

[1]John S .Strong locali Zation of Photons in certain disordered dielectric superlattices[J].Physical Review Letter,1987,58(23)：2486-2488.

[2]Yablonvitch E.Inhibited Spontaneous Emission in Solid-State Physics and Electronics[J].Physical Review Letter,1987,58(20)：2059-2061.

[3]I. S. Maksymov，G.I .Churyumov. Photonic Green’s functions calculation by using FDTD method [J].Mathematical Method in Electromagteic Theroy，Interilational Conference on MMET’02,2002,1：201-203.

[4]J.B.Pendry,A.MacKinnon.Calculation of Photon dispersion Relation [J]. Physical Review Letter,1992,69(9)：2772-2775.

[5]H .Miguez，A. Blanco，C. Lopez. Face centered cubic Photonic bandgap materials based on Opal-semiconductor composites[J].Journal of Lightwave Technology，1999,17(11)：1975-1981.

[6]陳淑瑜,韋德泉.三角晶格光子晶體第一帶隙特性研究[J].棗莊學(xué)院學(xué)報(bào),2014：31(5)：47-50.

[7]陳淑瑜,韋德泉.一維光子晶格透射率的數(shù)值模擬[J].激光雜志,2014：35(10)：27-28.

[8]H.-T.Chen, J.F.O’Hara,A.J.Taylor,et al...Complementary planar terahertz metamaterials[J].Opt.Express 2007,15(3)：1084-1095.

[9]Hou-Tong Chen, Willie J.Padilla, Richard D.Areritt, et al.. Electromagnetic Metamaterials for Terahertz Applications [J].Terahertz Science and Technology, 2008,1(1)：42-50.

[10]W. J. Padilla, A. J. Taylor, C. Highstrete,et al.. Dynamical electric and magnetic metamaterial response at terahertz frequencies[J].Phys.Rev.Lett.2006,96(10)：107401-1-3.

[11]H.-T. Chen, W. J. Padilla, J. M. O. Zide, et al, Active metamaterial terahertz devices[J].Nature, 2006,444(05343)： 597-600.

[12]X.H.Wang,B.Y.Gu,R.Z.Wang.Numerical method of Brillouin zone integrals of vectorial fields in photonic crystals[J].Phys.Lett.A,2003,308(2)：116-119.

[13]R.Z.Wang,X.H.Wang,B.Y.Gu et al..Local desity of states in three-dimensional photonic crystals：Calculation and enhancement effects[J].phys,Rev.B,2003,67(15)：1551141-1551147.

[14]Amit Agrawal, Ajay Nahata.Coupling terahertz radiation onto a metal wire using a subwavelength coasxial aperture[J].Optics Express, 2007,15(14)： 9022-9028.

[15]Charles.Kittel,Introduction to Solid State Physics (Wiley, 1996).

[責(zé)任編輯：閆昕]

Theoretical Algorithm and Numerical Simulation of Bandgap Properties

for the Photonic Band Gap Photonic Crystal

WEI De-quan

(Department of Opto-electrical Engineering, Zaozhuang University, Zaozhuang 277160, China)

Abstract：Finite difference time domain method, the transfer matrix method and plane wave expansion method were deduced based on the Maxwell equation theoretical algorithm for the photonic crystal band structure. The band structure of two-dimensional photonic crystals were simulated based on the above these methods. The research conclusion has reference significance for the theoretical algorithm of the photonic crystal.

key words：photonic crystal; bandgap properties; theoretical algorithm; the numerical simulation