基于擬合算法的傅里葉變換光譜儀光譜反演

李濤　華建文　孫曉杰　陳仁

摘要：在傅里葉變換光譜儀（FTS）中，精確獲取每個干涉信號采樣點處的光程差是獲取光譜圖的關(guān)鍵。動鏡速度的波動會對等時間采樣造成采樣誤差，而當(dāng)目標(biāo)光源波長較短時無法直接利用傳統(tǒng)方法進(jìn)行等光程差采樣。分析了速度波動誤差對光譜的影響，并提出了一種基于擬合算法計算干涉信號每個采樣點處光程差的方法，在動鏡速度波動較大的情況下對可見光波段的干涉信號進(jìn)行采樣反演。實驗結(jié)果表明，此方法準(zhǔn)確度高，適用于各種傅里葉變換光譜儀。

關(guān)鍵詞：傅里葉變換光譜儀； 光譜反演； 擬合算法； 可見光譜

中圖分類號： TP 911.73 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A doi： 10.3969/j.issn.10055630.2015.06.007

Abstract：In the Fourier transform spectrometer （FTS）， obtaining the optical path difference of each sampling points accurately is the key of data processing. The velocity fluctuation of moving mirror will cause equaltime sampling error， and traditional equal optical path difference sampling method can not be used for visible wavelengths. The influence of speed fluctuation is analyzed and a method to calculate the optical path difference of each sampling points based on fitting algorithm is developed. The method is verified by processing the interference signal of visible light with large velocity fluctuation. The experimental results verify its correctness and effectiveness. This method can also be used in any kind of Fourier transform spectrometer.

Keywords： FTS； spectrum recovery； fitting algorithm； vis spectrum

引 言

傅里葉變換光譜儀（FTS）因其具有高光譜分辨率、高光通量[12]、雜散光影響小、波數(shù)精確度高等優(yōu)點在化學(xué)分析、大氣探測等領(lǐng)域應(yīng)用越來越廣泛。其中可以獲得非常高的光譜分辨率是傅里葉變換光譜儀最重要的優(yōu)點，而光譜分辨率雖然受限于儀器自身，但是干涉信號采樣誤差和反演算法帶來的誤差同樣會影響最終的光譜分辨率[34]。在傅里葉變換光譜儀中，隨著動鏡的移動，兩干涉光束產(chǎn)生光程差，從而產(chǎn)生一個隨光程差變化的干涉信號。干涉信號和光譜數(shù)據(jù)是一對傅里葉變換對[4]，對獲取到的干涉信號以光程差為變量做傅里葉變換即可得到入射光的光譜數(shù)據(jù)，因此要進(jìn)行光譜反演就需要在采樣干涉信號的同時能精確地獲取每個干涉信號采樣點處的光程差。

如果動鏡運動速度為絕對勻速，那么對干涉信號進(jìn)行等時間采樣等同于等光程差采樣。但在實際情況中，動鏡速度不可能是絕對勻速的，如果繼續(xù)采用等時間采樣則不可避免會導(dǎo)致非常大的采樣誤差，從而在得到的光譜圖中產(chǎn)生誤差[5]。常用的方法是采用激光作為參考信號，對其進(jìn)行濾波整形后作為干涉信號采樣的觸發(fā)信號，這種方法只適用于目標(biāo)光源波長大于參考激光兩倍的傅里葉變換光譜儀中，例如中長波紅外傅里葉變換光譜儀，當(dāng)目標(biāo)光源在近紅外和可見光波段時，繼續(xù)采用上述方法則會因不滿足奈奎斯特采樣定理而無法從離散的干涉信號中復(fù)原出光譜數(shù)據(jù)。本文基于曲線擬合算法提出了一種精確獲取每個干涉信號等時間采樣點處光程差的方法，仍然采用激光作為參考信號，對于波長在可見光波段甚至紫外波段的目標(biāo)光源，即使速度波動較大，只要等時間采樣頻率滿足采樣定理，本方法都可以獲取每個數(shù)據(jù)點處的光程差，從而對干涉信號進(jìn)行精確反演獲取光譜數(shù)據(jù)。

1 傅里葉變換光譜儀干涉信號分析

傅里葉變換光譜儀屬于調(diào)頻的干涉光譜儀，主要用來觀測光譜信息，常用的傅里葉變換光譜儀采用的是經(jīng)典邁克爾遜結(jié)構(gòu)，光程差是動鏡行程的兩倍，其光學(xué)結(jié)構(gòu)如圖1所示。動鏡采用角鏡，這樣可以消除動鏡傾斜造成的影響[6]，而且在相同的動鏡行程下可以獲取四倍的光程差，從而得到更高的光譜分辨率。入射光被分束器分成強(qiáng)度相等的兩束光，經(jīng)分束器反射的光束經(jīng)過左側(cè)的定鏡1和定鏡2到達(dá)角鏡左側(cè)，然后反射回來，經(jīng)分束器反射和投射分別到達(dá)探測器2和探測器1；而經(jīng)分束器透射的光束經(jīng)右側(cè)的定鏡3和定鏡4到達(dá)角鏡右側(cè)，然后反射回來，經(jīng)分束器反射和投射到達(dá)探測器1和探測器2。當(dāng)動鏡沿著光軸來回做直線運動時，在探測器上匯合的兩光束的光程差發(fā)生周期性變化，形成干涉信號。在傅里葉變換光譜儀中，動鏡作勻速掃描的過程，相當(dāng)于在整個采樣過程中以速度u對干涉光信號進(jìn)行調(diào)制，其結(jié)果是把頻率很高的光波調(diào)制成頻率很低的電信號[7]。干涉信號被紅外探測器轉(zhuǎn)換為電信號，經(jīng)過放大器和模擬濾波器，進(jìn)入模數(shù)轉(zhuǎn)換器進(jìn)行等光程差采樣，得到數(shù)字干涉圖。

式（6）中后兩項就是所謂的鬼線。如果采用等時間采樣采集上述干涉信號，再直接對其做傅里葉變換，在所得到的光譜數(shù)據(jù)中會有額外的尖峰出現(xiàn)。如果入射光源為連續(xù)光譜，則所得到的光譜圖會有很多鬼線出現(xiàn)。常用的方法是采用穩(wěn)頻激光作為參考信號，這是因為激光單色性好而且波長λ0已知，動鏡每移動λ0/4便產(chǎn)生一個干涉信號周期，即每當(dāng)激光干涉信號出現(xiàn)過零點時就知道光程差變化了λ0/2，因此只要以參考激光干涉信號過零點作為采樣觸發(fā)信號即可實現(xiàn)等光程差采樣[9]。然而從采樣點中復(fù)原出原譜線必須保證采樣頻率滿足奈奎斯特采樣定理，如果目標(biāo)光源的波長λ全都大于激光波長的兩倍，那么當(dāng)光程差每變化一個λ，激光干涉信號已經(jīng)至少出現(xiàn)了4個過零點，此時滿足奈奎斯特采樣定理；但是當(dāng)目標(biāo)光源的波長小于激光波長的兩倍時，光程差每變化一個λ，激光干涉信號只出現(xiàn)一個過零點，甚至不出現(xiàn)。即對于工作波段為0.4～1.0 μm的傅里葉變換光譜儀，繼續(xù)采用上述方法進(jìn)行等光程采樣則會造成干涉信息丟失，無法得到完整干涉信號，更無法得到光譜信息，因此如何對可見光干涉信號進(jìn)行等光程差采樣是能否反演出可見光光譜的關(guān)鍵。

2 利用曲線擬合算法獲取光程差

在現(xiàn)在智能的控制方案下，雖然動鏡往復(fù)運動的實際速度是不斷變化的，但其速度不會存在突變的現(xiàn)象，因此在傅里葉變換光譜儀中，不可能存在動鏡移動0.10～0.25 μm（λ/4）的過程中速度發(fā)生很大變化的情況，一般在動鏡移動這么短的距離過程中，速度基本可以看作是勻速的。那么在光程差變化一個激光波長的過程中，產(chǎn)生的激光干涉信號應(yīng)該是一個標(biāo)準(zhǔn)的帶有初始相位的單頻率正弦信號。

對于采集到的離散信號，很少能直接求得其函數(shù)表達(dá)式，一般是采用插值和擬合的方法，利用采集到的離散數(shù)據(jù)點來得出一條近似正確的連續(xù)的曲線。如果采樣得到的離散信號點沒有誤差則采用插值方法，如果采樣得到的離散信號點與真實值有差距則采用曲線擬合方法。常用的獲取曲線的方法有樣條插值、多項式插值、多項式擬合、基于遺傳算法的擬合算法等，其中多項式擬合是最小二乘擬合的一種常用形式。最小二乘法是應(yīng)用最廣泛的曲線擬合算法，其核心思想是尋找合適的函數(shù)參數(shù)使得函數(shù)與所采樣得到的數(shù)值之間的誤差平方和達(dá)到最小[10]，即使下式達(dá)到最小值：

式中：N為采樣總數(shù)。當(dāng)用標(biāo)準(zhǔn)正弦信號去擬合時，即f（x）=Asin（2πfx+φ）+B，其中幅值A(chǔ)、頻率f、相位φ、直流分量B四個參數(shù)都是未知的[11]，而且誤差平方和是這四個參數(shù)的非線性函數(shù)，因此無法求出誤差平方和的閉合解，只能用迭代法求出每個參數(shù)的局部最優(yōu)解。

本文基于最小二乘法用f（x）=a+bsin（cx）+dcos（cx）對每個激光干涉信號周期進(jìn)行正弦擬合，求出每個周期對應(yīng)正弦信號的四個參數(shù)和擬合誤差，如果能用該方法擬合出結(jié)果而且擬合誤差非常小，則可近似認(rèn)為：在光程差變化一個激光波長的過程中，產(chǎn)生的激光干涉信號是一個標(biāo)準(zhǔn)的單頻率正弦信號。在傅里葉變換光譜儀中，由于參考激光干涉信號和目標(biāo)光源干涉信號所經(jīng)過電路的延遲不同，即使是采用等光程差采樣仍然會有采樣誤差產(chǎn)生，根據(jù)文獻(xiàn)[1213]的計算，只要速度波動的相對誤差小于2%，這種誤差對光譜的影響基本可以忽略。因此只要每個干涉信號周期的擬合誤差小于2%，則基本可以忽略。對一個完整干涉信號的擬合流程圖如圖2所示。

3 實驗驗證

為驗證本文所提出的方法，對所用傅里葉變換光譜儀進(jìn)行速度開環(huán)控制，在速度有較大波動的情況下進(jìn)行干涉信號采樣。動鏡采用無刷直流電機(jī)驅(qū)動，電機(jī)本身速度較快，經(jīng)過減速箱減速，動鏡運動的平均速度控制在3 cm/s，根據(jù)干涉信號頻率和速度、波數(shù)的關(guān)系，可得干涉信號的頻率范圍為100～400 kHz，因此選擇采樣頻率為2 MS/s，采樣位數(shù)為16位。

參考激光采用波長為0.685 2 μm的穩(wěn)頻氦氖激光器，因?qū)梢姽獠ǘ螝怏w的吸收率較低，為方便進(jìn)行結(jié)果對比，目標(biāo)光源分別采用波長為0.659 8 μm的紅色激光和波長為0.532 μm的綠色激光。對動鏡移動一個單程所獲得的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理可以得到實際速度波動情況，如圖3（a）所示，計算其波動的相對誤差值為10.04%。擬合誤差如圖3（b）所示，最大擬合誤差為1.30%，擬合誤差的平均值為0.37%，滿足誤差小于2%的要求。圖4和圖5分別為用本文提出的算法對波長為0.659 8 μm和波長為0.532 μm的光源進(jìn)行光譜反演的結(jié)果，并給出峰值光譜處的細(xì)節(jié)，從實驗結(jié)果中可以看出，當(dāng)速度變化較大時，采用本文所用的方法所得到的反演結(jié)果波數(shù)準(zhǔn)確度高，而且基本可以達(dá)到儀器自身的光譜分辨率0.05 cm-1。

4 結(jié) 論

傅里葉變換光譜儀的動鏡速度不可避免地會有波動，對等時間采樣的干涉信號直接進(jìn)行傅里葉變換將會產(chǎn)生很大的光譜誤差。當(dāng)目標(biāo)光源為中長波紅外光時，可以用參考激光干涉信號觸發(fā)采樣以實現(xiàn)等光程差采樣，但是當(dāng)目標(biāo)光源的波長較短時，無法直接進(jìn)行等光程差采樣。本文提出了一種基于曲線擬合的光程差獲取算法，能在速度波動較大時仍然能準(zhǔn)確地反演出光譜圖，而且適用于任何波段的目標(biāo)光源，同時對速度均勻性無嚴(yán)格要求，降低了對控制系統(tǒng)精度的要求。

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（編輯：劉鐵英）