一元三次，四次方程的解法

古孜努爾?依孜阿木丁

中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B 文章編號(hào)：1672-1578（2016）01-0213-01

1.一元三次方程的解法

定義：如果只含有一個(gè)未知數(shù)并且未知數(shù)的最高次數(shù)為三的方程叫做一元三次方程。

一元三次方程的一般形式：ax3+bx2+cx+d=0，a≠0

1.1 形如x3+px+q=0的一元三次方程的解法。設(shè)有方程x3+px+q=0（1）

我們令x=u+v，并代入方程（1）得（x+v）3+p（u+v）+q=0

展開并整理得到u3+v3+q+（3uv+p）（u+v）=0（2）為了減少（2）中的未知數(shù)，不妨設(shè)從而（2）變?yōu)?uv+p=0u3+v3+q=0根據(jù)偉大定理可知u3，v3是二次方程

y2+qy-P327=0的兩個(gè)根，解這個(gè)二次方程得從而有u1=3-q2+q24+p327，u2=ωu1，u3=ωu1 v1=3-q2-q24+p327，v2=ωv1，v3=ωV1

其中ω=-1+3i2，ω=-1-3i2

因此方程x3+px+q=0三個(gè)解的公式是：

這個(gè)公式叫做卡丹（cardano）公式。

這里x=u+v中u與v各有3個(gè)值，因此x=u+v共有9個(gè)值，但是其中u，v的三個(gè)值滿足條件uv=-p3，所以原方程只有三個(gè)解x1，x2，x3。如

又如：u2v3=-p3， u2v3=-p3其中6個(gè)值不滿足條件uv=-p3。

下面討論根的情況：

由以上可得一元三次方程的判別式：D=q24+p327。

并且可知D決定了根的性質(zhì)：

（1）當(dāng)D>0時(shí)，u3，v3是不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)，原方程（1）有一個(gè)實(shí)根和兩個(gè)共軛虛根，即

（2）當(dāng)D=0時(shí)，u3=v3=-q2，原方程（1）有三個(gè)實(shí)根，并且其中兩個(gè)相等，即x1=u1+v1=-23q2

x2=x3=u2+v3=ωu1+ωv1=u1（ω+ω）=-u1=3q2

（3）當(dāng)D<0時(shí)，u和v都是復(fù)數(shù)，并且共軛復(fù)數(shù)，因?yàn)橛蓔nz|=n|z|有

因?yàn)榧磚=v即uj=vj （j=1，2，3）

設(shè)u1=s+it是u的任意一個(gè)值，從而v1=s-it，因此有

x1=u1+v1=2s

x2=u1ω+v1ω=12（u1+v1）+i32（u1-v1）=-s-t3

x3=ωu1+ωv1=12（u1+v1）-i32（u1-v1）=-s+t3

即D<0時(shí)原方程有三個(gè)互異的實(shí)根，它們是：

x1=u1+v1，x2=u1ω+u1ω，x3=v1ω+v1ω

2.一般一元三次方程ax3+bx2+cx+d=0的解法

設(shè)有一般地一元三次方程ax3+bx2+cx+d=0 a≠0（1）

對(duì)它進(jìn)行化簡(jiǎn)，目標(biāo)是將它的二次項(xiàng)系數(shù)化為零。令x=y+k，其中k是一個(gè)待定常數(shù)并代入（1） 得a（y+k）3+b（y+k）2+c（y+k）+d=0

展開并整理得到ay3+（3ak+b）y2+（3ak2+2bk+c）y+（ak3+bk2+ck+d）=0

?。?）把（2）代入（1）得ay3+（--b23a+c）y+（2b327a2-bc3a+d）=0

即（3） 。

其中p=1a（--b23a+c），q=1a（2b327a2-bc3a+d）

只要解出（3）的解，利用變化（2）就可以知道方程（1）的解。根據(jù)形如x3+px+q=0的一元三次方程的解法可以知道方程（3）的三個(gè)解：又由x=y-b3a方程的三個(gè)根x1，x2，x3。由以上的討論可知方程ax3+bx2+cx+d=0的解法步驟：（1）由a，b，c，d的值求k=-b3a，p=1a（--b23a+c），q=1a（2b327a2-bc3a+d）

或x=y-b3a代入原方程得y3+px+q=0寫出 的值，且寫出x=y-b3a。

（2）計(jì)算判別式D=q24+p327與u3=-q2+D，v3=-q2-D其中根據(jù)u，v的值計(jì)算出y1，y2，y3的解。（3）把y1，y2，y3的值代入x=y-b3a得到原方程的三個(gè)根x1，x2，x3。

3.一元四次方程的解法

定義：如果只含有一個(gè)未知數(shù)并且未知數(shù)的最高次數(shù)為四的方程叫做一元四次方程。

一元四次方程的一般形式：ax4+bx3+cx2+dx+e=0 a≠0。

3.1 用待定系數(shù)法解一元四次方程。待定系數(shù)法的定義：為了求得某一個(gè)代數(shù)式可以根據(jù)這個(gè)代數(shù)式

的一般形式引入待定的系數(shù)，然后根據(jù)條件列出方程組，再通過解方程組來確定待定的系數(shù)值，這種確定未知代數(shù)式的方程叫做待定系數(shù)法。設(shè)有方程x4+ax3+bx2+cx+d=0 a≠0

（1）令x=y-a4并代入原方程消去三次項(xiàng)得y4+py2+qy+r=0

設(shè)y4=py2+qy+r=（y2+ky+l）（y2-ky+m）=y4+（l+m-k2）y2+k（m-l）y+lm

其中系數(shù)k，l，m是待定常數(shù)，通過比較系數(shù)得l+m-k2=pk（m-l）=qlm=r

（3）若k=0，則q=0若k≠0時(shí)可解得l=K3+pk-q2km= K3+pk+q2kr= （K3+pk）2-q24k2

（4）于是k6+2pk4+（p2-4r）k2-q2=0

（5）設(shè)k0是該方程的任意一個(gè)根，則由（4）有l(wèi)0=k03+pk0-q2k0，m0=k03+pk0+q2k0

從而方程（2）變?yōu)椋▂2+k0y+l0）（y2-k0+m0）=0

分別解方程（y2+k0y+l0）=0和（y2-k0+m0）=0

即可得方程（2）的解，并進(jìn)一步得到方程（1）的解。