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    從“法則是無用的”說開去

    2016-01-07 16:17:25蒲大勇
    中學數(shù)學雜志(初中版) 2015年6期
    關鍵詞:境界運算數(shù)學知識

    蒲大勇

    近日,我們在以人教版數(shù)學七年級“有理數(shù)的減法”為課例的“運算能力”研討活動上,一位教師談了自己的觀點:法則是無用的,并強調(diào)法則教學用不著那么“勞神費力”.他曾做過試驗:教學前,用“7-5=?”作測試題,班上所有學生都做對了,但是在教學有理數(shù)減法法則后,再次把此題作為測試題,結果有近20%的學生出錯,包括個別優(yōu)生,當然更有中等生.他分析認為:學生未學有理數(shù)減法法則前,直接用小學的方法解決,用不著“轉化”,對學生而言,這是非常簡單的.而學習有理數(shù)的減法法則后,計算“7-5=?”要經(jīng)歷三步,第一步,用有理數(shù)減法法則把減法轉化為加法,即7-5=7+(-5);第二步,用有理數(shù)加法法則,先判斷結果的符號,這里用“絕對值不相等的異號兩數(shù)相加,取絕對值較大的加數(shù)的符號”,即7-5=7+(-5)=+( );第三步,繼續(xù)用有理數(shù)加法法則,“用較大的絕對值減去較小的絕對值”,即7-5=7+(-5)=+(7-5)=2;在這個過程中,學生經(jīng)歷了“減法改為加法,判斷結果的符號,再回到減法”的過程,可以說整個計算過程由于意義抽象、程序復雜、步驟繁瑣,加上符號干擾,導致學生把以前做得對的簡單題做錯了,這樣看來“法則是無用的”.

    我們姑且不討論“法則是否有用”“法則的用處有多大”等問題,先看看什么是法則?在討論法則之前,我們不可回避地說說什么是運算,何謂運算?數(shù)學上,運算是一種行為,通過已知量的可能的組合,獲得新的量.運算的本質(zhì)是集合之間的映射.比如,減法就是從一個數(shù)量中減去另一個數(shù)量的運算;或者說,已知兩個加數(shù)的和與其中一個加數(shù),求另一個加數(shù)的運算.又如,乘法是求幾個相同加數(shù)的和的簡便運算.再來看看何謂法則?法則是道家哲學術語,《黃帝四經(jīng)》中說:“道生法.”按照《現(xiàn)代漢語詞典》的解釋,法則是規(guī)律,規(guī)則;具體到運算的法則,是指從運算意義出發(fā),通過一系列具體實例,抽象概括出具有一般性的、合理的、簡便的運算規(guī)律或運算規(guī)則.法則一般是用文字概括說明運算的方法及步驟,是運算的根據(jù)和操作指令.比如,減法法則“減去一個數(shù),等于加上這個數(shù)的相反數(shù)”,規(guī)定了在進行減法運算時,所要遵循的一般性規(guī)則.可以說,運算解決“是什么”的問題,法則解決“怎么辦”的問題.進一步地說,法則是一種規(guī)則,它體現(xiàn)某種運算的規(guī)律;法則是一種方法,它體現(xiàn)進行某種運算的具體操作指令;法則是一個結論,它是運算規(guī)律的深化;法則是一個過程,它規(guī)定著運算過程的程序與步驟.那么,法則在運算過程中有怎樣的地位與作用呢?首先,法則是運算的依據(jù).在具體運算過程中,這一步為什么要這樣算,而不能那樣算,算了這一步,接下來又該怎么算,這背后的根據(jù)就是運算法則.只有學生理解、掌握了法則,才能做到算得“有理有據(jù)”.其次,法則可以簡化運算過程.法則是一種操作指令.學生運算時只要按照這個指令具體操作,不用多思考,就能立即作出正確的反應,所以,法則可以簡化運算過程.學生對運算法則掌握得越牢固,運用得越熟練,運算的正確率就越高,速度就越快,因此,運算法則可以說是運算的法寶.第三,法則是學生運算能力發(fā)展的基礎.《數(shù)學課程標準(2011年版)》指出:運算能力主要是能夠根據(jù)法則和運算律正確地進行運算的能力.因此,法則是是學生運算能力發(fā)展的基礎.學生只有在理解、掌握了法則后,才可能正確靈活地進行運算.第四,法則是提升學生數(shù)學素養(yǎng)的有效載體之一.數(shù)學素養(yǎng)是數(shù)學知識、數(shù)學思維、數(shù)學能力、數(shù)學思想、數(shù)學方法的綜合體.法則本身包含數(shù)學知識,展現(xiàn)數(shù)學方法,隱含數(shù)學思想,過程體現(xiàn)數(shù)學思維,學生應用法則的過程就是發(fā)展思維能力、語言表達能力和提高運算能力的過程.

    如何進行法則教學呢?從課堂觀察看,法則教學有三重境界,這三重境界可以用一段充滿禪機的語言來概括:看山是山,看水是水;看山不是山,看水不是水;看山還是山,看水還是水.

    第一重境界 “看山是山,看水是水”,即鸚鵡學舌,“就法則教學法則”,按照法則規(guī)定的步驟、程序要求學生理解法則、記憶法則、應用法則,在具體應用時要求學生原原本本、一成不變地遵循法則的操作指令進行運算.這種教學境界,學生只能從“形”——法則規(guī)定的操作指令或步驟理解、掌握法則,不能從“神”——法則本身所蘊含的數(shù)學本質(zhì)理解法則,也就不能做到前后數(shù)學知識的融會貫通,更不能從數(shù)學思想的高度引導學生理解、掌握、應用法則.還是以有理數(shù)的減法法則教學為例,處于這種境界的教學,一般都會按照如下步驟進行——

    活動一 導入:觀察溫度計上的刻度(一般一個正數(shù),一個負數(shù)),引導學生比較正數(shù)比負數(shù)多多少.

    活動二 推導:通過活動一,得到一個減法算式和一個加法算式,再通過比較減法與加法算式的異同點,特別是減法變?yōu)榧臃ǖ倪^程.

    活動三 歸納:在活動二的基礎上,歸納出“減去一個數(shù),等于加上這個數(shù)的相反數(shù)”這個法則.

    活動四 理解:強調(diào)應用有理數(shù)減法法則的步驟、程序.

    活動五 鞏固:出示例題、練習題(一般在20個左右)反復操練法則的步驟、程序.

    這種教學是一種“知識本位”,以學生“牢記法則”為目的,為達成這個目標通過“練題”來鞏固法則,整個過程忽略了學生思維培養(yǎng),教師牽著學生思維的鼻子亦步亦趨,學生沒有思考的時間和空間,也就沒有真正的思維活動.當學生再次遇見類似“7-5=?”的計算時,反而不會想起也不敢用小學的方法加以解決,只能“套用”新法則.這種割裂前后知識的聯(lián)系,“只見樹木,不見森林”的做法,只會讓學生感到學習法則的累贅,加重了學生學習的負擔.同時,這種機械模仿、套用法則的做法,也會遏制學生創(chuàng)新能力的發(fā)展,不利于學生的進一步發(fā)展.從這個角度來說,法則的確是無用的.

    第二重境界 “看山不是山,看水不是水”,即有法之術,“法則只是個例子”,通過這個例子理清法則所涉及到的前后知識,所蘊含的數(shù)學思想.這種教學境界力求做到“形神兼?zhèn)洹?,學生不僅從“形”上把握法則,更重要的是能從“神”上領會法則,不局限于套用法則,而是能夠依據(jù)法則,靈活選用解決問題的方法.在有理數(shù)的減法法則教學中,不局限于學生對有理數(shù)減法法則的理解、掌握上,會讓學生充分討論如下問題:

    問題1 減法的意義是什么?減法與加法有怎樣的關系?(意圖:讓學生理解減法運算的本質(zhì);通過兩種運算的關系讓學生理解減法與加法互為逆運算)

    問題2 舉例解釋小學學習減法的局限性.(意圖:讓學生理解學習有理數(shù)減法的必要性;讓學生理解初中的有理數(shù)減法與小學的減法的聯(lián)系與區(qū)別)

    問題3 用多種方法計算“7-5=?”.(意圖:通過學生嘗試多種算法,引導學生理解計算方法的多樣性,再通過比較幾種算法,讓學生選擇合適、簡便的算法)

    這種教學以“能力立意”,以法則為鏈條,不僅關注法則,更重要的是從運算入手,注重從減法的意義、減法與加法的關系設計教學;注重疏通法則涉及到的小學與初中的聯(lián)系;注重法則應用的優(yōu)化.整個過程關注學生整體知識的建構,有利于學生認知結構的單元的形成,從而形成結構性知識.當學生再次遇見類似“7-5=?”的計算時,不僅知道應用小學的辦法解決,也知道可以用初中的辦法,更知道用小學的辦法解決更簡單.無論哪種計算方式,法則的“圖式”都會在學生“腦海中”再現(xiàn),這種有意無意的法則“圖式”的再現(xiàn),就是法則的“魅力”,從這個角度說,法則是有用的.

    第三重境界 “看山還是山,看水還是水”,即無法之境,“跳出法則教學法則”,心中有法則,手中無法則.這種教學境界力求做到“內(nèi)外兼修”,以“育人”為目的,關注學生個體內(nèi)在修養(yǎng)、文化內(nèi)涵的提升,培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和應用能力.“法則”這個知識是外在的,僅是學習的一個載體,學習空間由課內(nèi)拓展到課外,學習深度由數(shù)學知識提升到數(shù)學文化,學習過程由知識的傳授演變?yōu)樘骄繑?shù)學知識的發(fā)生、發(fā)展過程.在有理數(shù)的減法法則教學中有如下創(chuàng)意設計:

    課前:

    1.上網(wǎng)收集、整理有關有理數(shù)減法法則的知識;

    2.查閱有關文獻,欣賞數(shù)學家探究有理數(shù)減法法則的發(fā)生、發(fā)展過程.

    課中:

    1.匯報交流課前的整理成果;

    2.從有理數(shù)加法與減法的內(nèi)在關系探究有理數(shù)的減法法則;

    3.探究有理數(shù)減法法則涉及到的數(shù)學思想;

    4.創(chuàng)編運用有理數(shù)減法法則解決實際問題的應用題.

    課后:

    1.以四人為小組合作開展有關有理數(shù)減法法則的小課題研究;

    2.撰寫一篇有理數(shù)減法法則的數(shù)學小論文.

    此時的課堂就是“課程”,讓學生充分感知、理解“為什么學、學什么、怎么學、學到什么程度”等哲學問題,學生的學習是一種“內(nèi)源性”學習.這里以關注學生“素養(yǎng)”的提升為核心,既有對資料收集、整理等一般性素養(yǎng)的關照,也有現(xiàn)代人必備的合作交流、研究學習等核心素養(yǎng)的培養(yǎng);既有注重學生個體的觀察、辨析、抽象、歸納、推理等學科的基礎性素養(yǎng)培養(yǎng),也有注重學生追根溯源探究數(shù)學原理、應用數(shù)學知識解決實際問題等學科的發(fā)展性素養(yǎng)塑造.整個過程充分發(fā)揮學生的主觀能動性,問題由學生發(fā)現(xiàn)、辦法由學生提出、法則由學生歸納,教師始終是學生學習的引導者、組織者、服務者,良好學習氛圍的營造者,學生是學習的主動參與者、知識的建構者、自身能力發(fā)展的進步者.此時的法則僅是實施教育教學行為的載體,從這個角度來看,法則既是無用的,也是有用的.

    其實,法則教學就是要追求達到藝術境界,要出神入化、應用自如,要從“有法之術”,達到“無法之境”.

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