黏彈性地基中基于虛土樁模型的樁頂縱向振動阻抗研究

第一作者吳文兵男，博士，副教授，1988年生

黏彈性地基中基于虛土樁模型的樁頂縱向振動阻抗研究

吳文兵1，蔣國盛1，鄧國棟2，謝邦華1

(1.中國地質(zhì)大學(武漢)工程學院，武漢430074；2.中南大學土木工程學院，長沙410075)

摘要：基于虛土樁模型，對均質(zhì)黏彈性地基中樁土縱向耦合振動問題進行了研究。首先，假定樁側(cè)土為各向同性的線性黏彈性材料，并考慮土體的豎向波動效應(yīng)，結(jié)合Euler-Bernoulli桿件理論，建立了樁土縱向耦合振動的定解問題；其次，采用分離變量法求解樁側(cè)土縱向振動的控制方程，得到了樁側(cè)土與樁身接觸面上的剪切動剛度，將所得的剪切動剛度代入到樁身振動控制方程，采用Laplace變換技術(shù)，進一步求得了任意荷載作用下樁頂縱向振動阻抗的解析解?；谒媒?，詳細討論了不同樁身設(shè)計參數(shù)時樁端土厚度對樁頂縱向振動阻抗的影響。最后，將虛土樁模型與其他樁端土支承模型進行了對比研究，結(jié)果表明，對虛土樁模型選用合適的材料參數(shù)和樁端土厚度，其得到的樁端支承復(fù)剛度值介于現(xiàn)有多種模型的計算值之間。

關(guān)鍵詞：虛土樁模型；縱向振動阻抗；黏彈性地基；豎向波動效應(yīng)；Laplace變換；解析解

基金項目：國家自然科學基金青年項目(51309207)；中國博士后科學基金特別資助項目(2013T60759)；中國博士后科學基金面上項目(2012M521495);中央高校基本科研業(yè)務(wù)貴專項資金-搖籃計劃(CUGL150411)

收稿日期：2013-10-21修改稿收到日期：2014-04-16

中圖分類號:TU435

文獻標志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2015.07.030

Abstract:Based on fictitious soil pile model, the vertical dynamic response of pile embedded in homogeneous viscoelastic soil was investigated. Assuming the surrounding soil of pile to be isotropic viscoelastic material and considering its vertical wave effect, the definite problem of soil-pile system subjected to arbitrary dynamic force was established based on the Euler-Bernoulli rod theory. The shear dynamic stiffness at the interface of soil and pile was derived by means of separation of variables to solve the governing equation of surrounding soil. Substituting the shear dynamic stiffness acquired into the governing equation of pile, the analytical solution of vertical dynamic impedance was deduced by virtue of Laplace transform technique. Based on the obtained solution, the influence of depth of pile end soil on the vertical dynamic impedance was studied in detail with different design parameters of pile. Constrast analysis was made between the fictitious soil pile model and other pile end soil supporting models. It is shown that the complex supporting stiffness calculated by fictitious soil pile model is in the middle of the supporting stiffnesses calculated by other existing models if adopting appropriate material parameters and proper depth of pile end soil in the fictitious soil pile model.

Vertical dynamic impedance of pile embedded in viscoelastic soil based on fictitious soil pile model

WUWen-bing1,JIANGGuo-sheng1,DENGGuo-dong2,XIEBang-hua1(1. Engineering Faculty, China University of Geosciences, Wuhan, Hubei 430074, China; 2. School of Civil Engineering, Central South University, Changsha, Hunan 410075, China)

Key words:fictitious soil pile model；vertical dynamic impedance；viscoelastic soil；vertical wave effect；Laplace transform；analytical solution

樁與土體的動力相互作用問題包括兩個方面，一是樁與樁側(cè)土的動力相互作用，二是樁與樁端土的動力相互作用?，F(xiàn)有成果關(guān)于樁與樁側(cè)土動力相互作用模型的研究已經(jīng)比較豐富，如動態(tài)Winkler模型[1-6]、平面應(yīng)變模型[7-12]、三維連續(xù)介質(zhì)模型[13-17]。相比之下，由于對樁與樁端土動力相互作用建立嚴格耦合模型的難度較大，現(xiàn)有成果關(guān)于該課題的研究顯得比較薄弱?，F(xiàn)有樁與樁端土的動力相互作用模型歸納起來有剛性支承模型[3,10,17]和黏彈性支承模型[4-6, 11, 16, 18-21]兩大類。剛性支承模型人為的將樁端土當作剛性邊界，這對端承樁具有足夠的精度，但對摩擦樁卻存在明顯的不足。對于摩擦型樁只能采用黏彈性支承模型，然而大部分的黏彈性性支承模型都將土體假設(shè)為半無限空間體，如模擬公式法[18]、常數(shù)取值法[19]、Q-z曲線方程式法[20]及極限承載力理論法[21]等，與土體的實際情況存在差異，而且支承參數(shù)大多根據(jù)經(jīng)驗取得，嚴格耦合的情況較少。因此，為了更加合理地模擬樁與樁端土的動力相互作用，筆者及合作者們提出了虛土樁模型[22-23]。虛土樁模型的主要思想是把樁端正下方至基巖之間的圓柱形土體看成“土樁”，將樁端土對樁的支承作用轉(zhuǎn)化為“土樁”與樁之間的相互作用問題。吳文兵等[24]利用虛土樁模型求解了半空間地基上剛性圓板的垂直振動問題，并將虛土樁模型解與現(xiàn)有精確解得到的結(jié)果進行對比分析，驗證了虛土樁模型具有比較高的精度。虛土樁模型能夠充分考慮樁端以下土體的成層性及材料性質(zhì)等因素，可以避免假設(shè)樁端支承，對于摩擦型樁的研究不再限制于半無限空間的假定，又可退化為樁底端承的狀態(tài)，因此該模型具有減少假設(shè)條件，與實際場地相吻合的先進性，是一個較為嚴格的理論模型。

基于虛土樁模型，本文在考慮土體豎向波動效應(yīng)的條件下，結(jié)合Laplace變換技術(shù)，推導得到了任意荷載作用下均質(zhì)黏彈性地基中樁頂縱向振動阻抗的解析解，并詳細討論了樁端土參數(shù)對樁頂縱向振動阻抗的影響。在本文工作的基礎(chǔ)上可以進一步研究復(fù)雜工況下樁基的縱向振動問題，這對樁基振動理論應(yīng)用于樁基動力設(shè)計有著重要的理論意義。

1數(shù)學模型

1.1計算模型

圖1　計算模型 Fig.1 Calculating model

樁土系統(tǒng)動力相互作用的計算簡圖如圖1所示，樁長為Hp，樁身截面半徑為r0，樁頂作用有任意激振力q(t)，樁側(cè)土層厚度為H，其中樁端土厚度(虛土樁長度)為Hs。根據(jù)樁、虛土樁樁身材料性質(zhì)的差異，以樁端為界將虛土樁與樁分別編號為1、2。

1.2假設(shè)條件

假設(shè)下列條件成立：

(1)樁側(cè)土為均質(zhì)、各向同性的線性黏彈性材料，土體材料阻尼為粘性阻尼，阻尼力與應(yīng)變率成正比，比例系數(shù)為ηs；

(2)土層上表面為自由邊界，無正應(yīng)力、剪應(yīng)力，土層底部為剛性支承邊界；

(3)樁土系統(tǒng)縱向振動時，考慮樁側(cè)土豎向波動效應(yīng)，樁側(cè)土徑向位移可忽略；

(4)樁及虛土樁均為完全彈性、豎直、圓形均勻截面樁，樁與虛土樁交界面處應(yīng)力應(yīng)變連續(xù)；

(5)樁土系統(tǒng)振動為小變形振動，樁(虛土樁)與樁側(cè)土完全連續(xù)接觸。

2定解問題的建立

取土體中任意一點的縱向振動位移為w=w(r,z,t)，根據(jù)黏彈性動力學理論，考慮土體縱向位移，建立軸對稱黏彈性土體動力平衡方程如下：

(1)

式中，λs、Gs為土體Lame常數(shù)，且有λs=Esμs/[(1+μs)(1-2μs)]，Gs=ρs(Vs)2，Es為土體的彈性模量，μs為土體的泊松比，Vs為土體的剪切波速，ηs為土體的粘性阻尼系數(shù)，ρs為土體的密度。

(2)

令uj=uj(z,t)為樁(虛土樁)身質(zhì)點縱向振動位移，根據(jù)Euler-Bernoulli桿件理論，可得樁(虛土樁)作縱向振動的控制方程如下：

(j=1,2)

(3)

結(jié)合假設(shè)條件，建立樁土系統(tǒng)邊界條件和初始條件如下：

(1)土層的邊界條件

土層頂面：

(4a)

土層底面：

(4b)

水平無窮遠處：

σ(∞,z)=0、w(∞,z)=0

(4c)

(2)樁頂、虛土樁底及樁與虛土樁分界處的邊界條件

(5a)

(5b)

(5c)

(5d)

(3)樁土接觸面上的邊界條件

w(r0,z,t)=uj(z,t)(j=1,2)

(6)

(4)樁土系統(tǒng)的初始條件

土層部分：

(7a)

樁(虛土樁)身部分：

(7b)

3定解問題的求解

3.1土層振動問題求解

令W(r,z,s)為w(r,z,t)的Laplace變換形式，結(jié)合初始條件(7a)，對土層動力平衡方程(1)進行Laplace變換并化簡可得：

(8)

由于式(8)左邊的第一項和第二項分別為關(guān)于縱向和徑向的微分式，因此可將其分離為兩個常微分方程：

(9)

(10)

式中，β和ξ為常數(shù)，且滿足如下關(guān)系式：

(11)

方程(9)、(10)分別為一個Bessel方程和二階常微分方程，可分別得到相應(yīng)通解，然后利用分離變量法性質(zhì)可進一步得到土體位移W(r,z,s)的表達式如下：

W(r,z,s)=[AK0(ξr)+BI0(ξr)]·

[Csin(βz)+Dcos(βz)]

(12)

式中，I0(·)、K0(·)分別為零階第一類、第二類虛宗量Bessel函數(shù)，A、B、C和D是由邊界條件確定的待定系數(shù)。

由虛宗量Bessel函數(shù)的性質(zhì)可知：r→∞時，In(·)→∞，Kn(·)→0，結(jié)合邊界條件(4c)可以得到：B=0。由邊界條件(4a)可以得到：C=0。對邊界條件(4b)進行Laplace變換，并將式(12)代入可得：

cos(βH)=0

(13)

(14)

式中，An為一系列由邊界條件決定的待定系數(shù)，反映樁土振動各模態(tài)的振動耦合作用。ξn是當β=βn時可由式(11)確定的一系列參數(shù)。

3.2樁振動問題求解

令U(z,s)為u(z,t)的Laplace變換形式，對式(3)進行Laplace變換，并結(jié)合式(2)和(14)，將式(3)化簡可得：

(j=1,2)

(15)

(16)

根據(jù)虛土樁法的基本思想，先求得虛土樁頂?shù)淖杩购瘮?shù)，然后將其作為樁的樁端支承剛度代入到樁中進行分析，因此，接下來分為兩步求解：

第一步：求解虛土樁樁頂位移阻抗函數(shù)

對邊界條件(6)進行Laplace變換，并將式(14)和式(16)代入，同時，根據(jù)固有函數(shù)系cos(βnz)在[0,Hs]上的正交性，在變形后的邊界條件(6)兩邊乘以cos(βkz)并在樁端土厚度范圍[0,Hs]內(nèi)積分可得：

(17)

將式(17)代入式(16)可得虛土樁的位移幅值表達式如下：

(18)

式中，

χ″1n=

(20)

(21)

(22)

(23)

對邊界條件(5b)進行Laplace變換，并將式(18)代入Laplace變換后的邊界條件可得：

(24)

由位移阻抗函數(shù)的定義可得虛土樁樁頂?shù)膹?fù)阻抗函數(shù)為：

(25)

第二步：求解樁頂位移阻抗函數(shù)值。

類似第一步的求解方法，可得下式：

(26)

將式(26)代入式(16)可得樁頂?shù)奈灰品当磉_式如下：

(27)

式中，

χ″2n=

(29)

(30)

φ2n=K0(ξnr0)+

(31)

(32)

將虛土樁樁頂阻抗函數(shù)(25)作為樁端的支承剛度代入到樁的方程，由邊界條件(5c)、(5d)可得：

(33)

由位移阻抗函數(shù)的定義可得樁頂?shù)膹?fù)阻抗函數(shù)為：

(34)

Z2(s)=K+iC

(35)

4分析計算與討論

基于樁頂復(fù)阻抗的解析解，本節(jié)將詳細討論不同樁身設(shè)計參數(shù)時樁端土厚度對樁頂縱向振動阻抗的影響，其中均質(zhì)地基土的計算參數(shù)如無特別說明，均取為：密度為1 800 kg/m3，剪切波速為180 m/s，泊松比為0.4，粘性阻尼系數(shù)為1 000 N·m-3·s。

4.1不同樁長時樁端土厚度對樁頂復(fù)阻抗的影響

樁長是影響樁基礎(chǔ)承載力的重要參數(shù)之一，且現(xiàn)有研究表明，樁長也是影響樁土振動特性的主要參數(shù)。因此，首先討論不同樁長時樁端土厚度對樁頂動力響應(yīng)的影響。用于計算的樁身參數(shù)為：樁長分別為10 m和20 m，截面半徑為0.5 m，密度為2 500 kg/m3，彈性縱波波速為3 800 m/s。定義樁身截面直徑為d，樁端土厚度分別為：Hs=0.5d,1d,3d,5d。

圖2 不同樁長時樁端土厚度對樁頂復(fù)阻抗的影響Fig.2Influenceofdepthofpileendsoiloncompleximpedanceatpilehead圖3 不同樁徑時樁端土厚度對樁頂復(fù)阻抗的影響Fig.3Influenceofdepthofpileendsoiloncompleximpedanceatpilehead圖4 不同樁身混凝土等級時樁端土厚度對樁頂復(fù)阻抗的影響Fig.4Influenceofdepthofpileendsoiloncompleximpedanceatpilehead

圖2反映了在樁基礎(chǔ)動力設(shè)計關(guān)注的低頻范圍內(nèi)，不同樁長時樁端土厚度對樁頂復(fù)阻抗的影響。由圖2(a)可以看出，動剛度隨著頻率的增大呈增大趨勢。在同一頻率處，動剛度隨著樁端土厚度的增大而逐漸減小，但當樁端土厚度大于一定值之后，動剛度將不再受樁端土厚度增大的影響。由圖2(b)可以看出，當頻率超過5Hz以后，動阻尼隨著頻率的增大基本呈現(xiàn)線性增大的趨勢。隨著樁端土厚度的增大，同一頻率處的動阻尼也逐漸增大，但當樁端土厚度大于一定值之后，動阻尼將不再受樁端土厚度增大的影響。由圖2還可以看出，當樁越長，動剛度和動阻尼隨著樁端土厚度變化的幅度越小。

4.2不同樁徑時樁端土厚度對樁頂復(fù)阻抗的影響

討論不同樁徑時樁端土厚度對樁頂復(fù)阻抗的影響時，用于計算的樁身參數(shù)為：樁長為15 m，截面半徑分別為0.3 m和0.5 m，密度為2 500 kg/m3，彈性縱波波速為3 800 m/s。樁端土厚度分別為：Hs=0.5d,1d,3d,5d。

圖3反映了在樁基礎(chǔ)動力設(shè)計關(guān)注的低頻范圍內(nèi)，不同樁徑時樁端土厚度對樁頂復(fù)阻抗的影響。由圖可以看出，樁徑較小時，隨著樁端土厚度的增大，動剛度逐漸減小，動阻尼逐漸增大，但兩者的變化幅度均較小，且當樁端土厚度增大到一定值之后，動剛度和動阻尼將不再受到樁端土厚度繼續(xù)增大的影響。當樁徑較大時，動剛度和動阻尼隨著樁端土厚度增大的變化規(guī)律與樁徑較小時一致，但變化幅度要比樁徑較小時的變化幅度大。

4.3不同樁身混凝度等級時樁端土厚度對樁頂復(fù)阻抗的影響

討論不同樁身混凝土等級時樁端土厚度對樁頂復(fù)阻抗的影響時，根據(jù)單因素分析原則，可通過變化樁身混凝土縱波波速來反映其等級的變化。用于計算的樁身參數(shù)為：樁長為15m，截面半徑為0.5 m，密度為2 500 kg/m3，彈性縱波波速分別為3 600 m/s和4 000 m/s。樁端土厚度分別為：Hs=0.5d,1d,3d,5d。

圖4反映了在樁基礎(chǔ)動力設(shè)計關(guān)注的低頻范圍內(nèi)，不同樁身混凝土等級時樁端土厚度對樁頂復(fù)阻抗的影響。由圖可以看出，隨著樁端土厚度的增大，動剛度逐漸減小，動阻尼逐漸增大，且當樁端土厚度增大到一定值之后，動剛度和動阻尼曲線將趨于一致。由圖還可以看出，樁身混凝土等級對動剛度和動阻尼隨樁端土厚度的變化幅度基本沒有影響。

5不同樁端支承模型的對比研究

目前已有的樁基振動理論研究中，不管是樁端剛性支承，還是樁端黏彈性支承，均可以用樁端土支承復(fù)剛度來表示，寫成如下形式：

Zb=kb+ηb·iω

(36)

式中，kb為樁端支承剛度系數(shù)，ηb為樁端支承阻尼系數(shù)，可以通過調(diào)整kb和ηb來反映樁端土對樁的支承情況。接下來，將虛土樁模型與現(xiàn)有樁端支承模型進行對比分析，計算參數(shù)為：樁長為15 m，截面半徑為0.5 m，密度為2 500 kg/m3，彈性縱波波速為3 800 m/s，樁端土厚度分別為Hs=0.01d,0.1d,0.5d,2d。圖中kb、ηb值的大小表示了其他樁端土支承模型，kb=∞，ηb=∞時為固定支承，kb=0，ηb=0時為自由支承，kb=15，ηb=15時為黏彈性支承。

圖5　樁端土支承模型對樁頂復(fù)阻抗的影響 Fig.5 Influence of bearing stiffness on complex impedance at pile head

圖5反映了在樁基礎(chǔ)動力設(shè)計關(guān)注的低頻范圍內(nèi)，樁端土支承模型對樁頂復(fù)阻抗的影響。由圖可以看出，由黏彈性樁端支承模型和虛土樁模型得到的動剛度和動阻尼介于樁端自由和樁端固定支承模型所得值之間，且當樁端土厚度從小到大逐漸變化時，所得到動剛度和動阻尼逐漸從樁端固定支承狀態(tài)過渡到樁端自由支承狀態(tài)。因此，針對樁端土質(zhì)條件，對虛土樁模型選用合適的材料參數(shù)和樁端土厚度，其得到的樁端支承剛度值介于現(xiàn)有多種模型的計算值之間。但虛土樁模型能考慮樁端土的成層性及施工擾動效應(yīng)，且虛土樁模型的參數(shù)直接可取樁端土的材料參數(shù)，而不必通過經(jīng)驗公式計算，能更加準確的反映樁端土對樁的支承作用，因此理論上更加嚴密。

6結(jié)論

本文通過綜合分析樁端土厚度對樁頂復(fù)阻抗的影響，在樁基礎(chǔ)動力設(shè)計關(guān)注的低頻范圍內(nèi)得到如下結(jié)論：

(1)隨著樁端土厚度的增大，同一頻率處的動剛度逐漸減小，同一頻率處的動阻尼則逐漸增大。但當樁端土厚度增大到一定值之后，樁端土厚度的繼續(xù)增大將不會對動剛度和動阻尼產(chǎn)生影響。這說明，樁身動力響應(yīng)只能影響到有限厚度的樁端土層，當樁端土層厚度超過一定值之后將不再受到樁身動力響應(yīng)的影響，即樁端土對樁身動力響應(yīng)的影響存在一個臨界影響厚度，在臨界影響厚度范圍內(nèi)，樁端土厚度的變化將會對樁身動力響應(yīng)產(chǎn)生很大影響。

(2)當樁越長或樁徑越小時，動剛度和動阻尼隨著樁端土厚度變化的幅度越小，反之則越大。樁身混凝土等級對動剛度和動阻尼隨著樁端土厚度變化的幅度基本沒有影響。

(3)通過將虛土樁模型與現(xiàn)有其他理論模型對比發(fā)現(xiàn)，針對相應(yīng)樁端土質(zhì)條件，對虛土樁模型選用合適的材料參數(shù)，其得到的樁端支承剛度值介于現(xiàn)有多種模型的計算值之間。但虛土樁模型能考慮樁端土的成層性及施工擾動效應(yīng)，且虛土樁模型的參數(shù)直接可取樁端土的材料參數(shù)，而不必通過經(jīng)驗公式計算，能更加準確地反映樁端土對樁的支承作用，因此理論上更加嚴密。因此，虛土樁模型能夠較真實地反映樁與樁端土相互作用機理，是一個比較嚴格的理論分析模型。

參考文獻

[1]Novak M，Beredugo Y O. Vertical vibration of embedded footings[J]. Journal of the Soil Mechanics and Foundations Division, ASCE, 1972, 98(12): 1291-1310.

[2]Nogami T，Konagai K. Time domain axial response of dynamically loaded single piles[J]. Journal of Engineering Mechanics, ASCE, 1986, 112(11): 1241-1252.

[3]王奎華，謝康和，曾國熙. 有限長樁受迫振動問題解析解及其應(yīng)用[J]. 巖土工程學報, 1997, 19(6):27-35.

WANG Kui-hua, XIE Kang-he, ZENG Guo-xi. Analytical solution to vibration of finite length pile under exciting force and its application[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 1997, 19(6):27-35.

[4]孔德森, 欒茂田, 楊慶. 樁土相互作用分析中的動力Winkler模型研究評述[J]. 世界地震工程, 2005, 21(1): 12-17.

KONG De-sen, LUAN Mao-tian, YANG Qing. Review of dynamic Winkler model appfied in pile-soil interaction analyses[J]. World Earthquake Engineering, 2005, 21(1):12-17.

[5]劉東甲. 指數(shù)型變截面樁中的縱波[J]. 巖土工程學報, 2008, 30(7):1066-1071.

LIU Dong-jia. Longitudinal waves in piles with exponentially varying cross sections[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 2008, 30(7):1066-1071.

[6]Wang K H, Wu W B, Zhang Z Q, et al. Vertical dynamic response of an inhomogeneous viscoelastic pile[J]. Computers and Geotechnics, 2010, 37(4): 536-544.

[7]Nogami T, Novak M. Soil-pile interaction in vertical vibration[J]. Earthquake Engineering and Structural Dynamics, 1976,4(3):277-293.

[8]Veletsos A S, Dotsos K W. Vertical and torsional vibration of foundations in inhomogeneous media[J]. Journal of Geotechnical Engineering, ASCE, 1988, 114(9): 1002-1021.

[9]Militano G, Rajapakse R K N D. Dynamic response of a pile in a multi-layered soil to transient torsional and axial loading[J]. Geotechnique, 1999, 49(1): 91-109.

[10]王海東, 尚守平. 瑞利波作用下徑向非勻質(zhì)地基中的單樁豎向響應(yīng)研究[J]. 振動工程學報, 2006, 19(2): 258-264.

WANG Hai-dong, SHANG Shou-ping. Research on vertical dynamic response of single-pile in radially inhomogeneous soil during passage of Rayleigh waves[J].Journal of Vibration Engineering, 2006, 19(2): 258-264.

[11]王奎華，楊冬英，張智卿. 基于復(fù)剛度傳遞多圈層平面應(yīng)變模型的樁動力響應(yīng)研究[J]. 巖石力學與工程學報，2008，27(4)：825-831.

WANG Kui-hua，YANG Dong-ying，ZHANG Zhi-qing. Study on dynamic response of pile based on complex stiffness transfer model of radial multizone plane strain[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 2008, 27(4):825-831.

[12]吳文兵，王奎華，竇斌. 任意層地基中黏彈性楔形樁縱向振動響應(yīng)研究[J].振動與沖擊, 2013, 32(8): 120-127.

WU Wen-bing, WANG Kui-hua, DOU Bin. Vertical dynamic response of a viscoelastic tapered pile embedded in layered foundation[J].Journal of Vibration and Shock, 2013, 32(8): 120-127.

[13]Rajapakse R K N D, Chen Y, Senjuntichai T. Electroelastic field of apiezoelectric annular finite cylinder[J]. International Journal of Solids and Structures, 2005, 42(11-12): 3487-3508.

[14]Senjuntichai T, Mani S, Rajapakse R K N D. Vertical vibration of an embedded rigid foundation in a poroelastic soil[J]. Soil Dynamics and Earthquake Engineering, 2006, 26(6-7): 626-636.

[15]Wang K H, Zhang Z Q, Chin J L, et al. Dynamic torsional response of an end bearing pile in transversely isotropic saturated soil[J]. Journal of Sound and Vibration, 2009, 327(3): 440-453.

[16]胡昌斌, 黃曉明. 成層黏彈性土中樁土耦合縱向振動時域響應(yīng)研究[J]. 地震工程與工程振動, 2006,26(4):205-211.

HU Chang-bin, HUANG Xiao-ming. A quasi-analytical solution to soil-pile interaction in longitudinal vibration in layered soils considering vertical wave effect on soils[J]. Earthquake Engineering and Engineering Vibration, 2006, 26(4):205-211.

[17]劉林超, 閆啟方, 楊驍. 分數(shù)導數(shù)黏彈性土層模型中樁基豎向振動特性研究[J]. 工程力學, 2011, 28(8): 177-182.

LIU Lin-chao, YAN Qi-fang, YANG Xiao. Vertical vibration of single pile in soil described by fractional derivative viscoelastic model[J]. Engineering Mechanics, 2011, 28(8): 177-182.

[18]Lysmer J, Richart F E. Dynamic response of footing to vertical loading[J]. Journal of the Soil Mechanics and Foundations Division, ASCE, 1966, 2(1):65-91.

[19]Novak M, Beredugo Y O. Vertical vibration of embedded footings[J]. Journal of the Soil Mechanics and Foundation Division, ASCE. 1972, 98(12):1291-1310.

[20]Liang R Y, Husein A I. Simplified dynamic method for pile-driving control[J]. Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering, ASCE, 1993, 119(4):694-713.

[21]Meyerholf G G. Bearing capacity and settlement of pile foundations[J]. Journal of Geotechnical Engineering Division, ASCE, 1976, 102(3):195-228.

[22]楊冬英，王奎華. 非均質(zhì)土中基于虛土樁法的樁基縱向振動[J]. 浙江大學學報(工學版), 2010, 44(10): 2021-2028.

YANG Dong-ying, WANG Kui-hua.Vertical vibration of pile based on fictitious soil-pile model in inhomogeneous soil[J]. Journal of Zhejiang University (Engineering Science), 2010, 44(10): 2021-2028.

[23]吳文兵，王奎華，楊冬英，等. 成層中基于虛土樁模型的樁基縱向振動響應(yīng)[J]. 中國公路學報, 2012, 25(2): 72-80.

WU Wen-bing, WANG Kui-hua, YANG Dong-ying, et al. Longitudinal dynamic response to the pile embedded in layered soil based on fictitious soil pile model[J]. China Journal of Highway and Transport, 2012, 25(2): 72-80.

[24]吳文兵，王奎華，張智卿，等. 半空間地基中虛土樁模型的精度分析及應(yīng)用[J]. 應(yīng)用基礎(chǔ)與工程科學學報, 2012, 20(1): 121-129.

WU Wen-bing, WANG Kui-hua,ZHANG Zhi-qing, et al. Accuracy and application of virtual soil pile model in half space foundation[J]. Journal of Basic Science and Engineering, 2012, 20(1): 121-129.