一種多軸向隨機(jī)激勵(lì)下結(jié)構(gòu)疲勞壽命分析方法

第一作者賀光宗男，博士生，講師，1980年生

一種多軸向隨機(jī)激勵(lì)下結(jié)構(gòu)疲勞壽命分析方法

賀光宗1,2，陳懷海1，賀旭東1

(1.南京航空航天大學(xué)航空宇航學(xué)院，南京210016； 2. 山東理工大學(xué)交通與車輛工程學(xué)院，山東淄博255049)

摘要：提出了一種多軸向隨機(jī)激勵(lì)下結(jié)構(gòu)疲勞壽命估計(jì)的頻域分析方法。首先，對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行頻響分析，得到在基礎(chǔ)加速度激勵(lì)下的應(yīng)力頻響函數(shù)矩陣，通過隨機(jī)振動(dòng)分析，得到結(jié)構(gòu)應(yīng)力的功率譜密度矩陣；其次，采用等效的Von Mises應(yīng)力功率譜密度將多軸應(yīng)力問題轉(zhuǎn)化為單軸應(yīng)力問題；最后，利用單軸應(yīng)力疲勞壽命估計(jì)的頻域分析方法對(duì)結(jié)構(gòu)疲勞壽命進(jìn)行估計(jì)。對(duì)一典型構(gòu)件在多軸向隨機(jī)激勵(lì)下的疲勞壽命進(jìn)行了計(jì)算,并與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比。另外，對(duì)構(gòu)件在多軸向同時(shí)激勵(lì)與單軸分別激勵(lì)的疲勞損傷結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比分析，表明多軸向同時(shí)振動(dòng)具有明顯的多軸效應(yīng)，因此進(jìn)行多軸向振動(dòng)疲勞研究十分必要。

關(guān)鍵詞：多軸向隨機(jī)激勵(lì)；振動(dòng)疲勞；壽命估計(jì)；多軸效應(yīng)

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金(11102083)

收稿日期：2014-01-27修改稿收到日期：2014-06-08

中圖分類號(hào):O346.2；TH114

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2015.07.009

Abstract:A frequency domain method for fatigue life prediction of structures under multi-axial random excitations was presented. The transfer function matrix from the excitation accelerations to the response stresses was obtained through frequency response analysis. According to the random vibration theory, the PSD matrix of stress response was calculated. Then, the multi-axial stress problem was translated to a uniaxial stress problem via equivalent PSD of Von Mises stress and the uniaxial frequency domain fatigue analysis was used for the fatigue life prediction. The fatigue life of a typical component under the multi-axial random excitations was calculated and compared with the test results. In addition, the fatigue damages of the component caused by the simultaneous multi-axial and uniaxial excitation were analyzed and compared and the multi-axial effect was also analyzed. The result shows the necessity of the application of multi-axial excitations in fatigue life prediction.

Vibration fatigue life prediction method for structures under multi-axial random excitations

HEGuang-zong1,2,CHENHuai-hai1,HEXu-dong1(1. Aerospace College, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics,Nanjing 210016 China；2. School of Transportation and Vehicle Engineering, Shandong University of Technology, Zibo 255049,China)

Key words:multi-axial random excitation; vibration fatigue; fatigue life prediction; multi-axial effect

工程構(gòu)件或產(chǎn)品在實(shí)際工作中所受的載荷一般是多軸向的，但是由于技術(shù)和試驗(yàn)條件的限制，目前對(duì)工程構(gòu)件或產(chǎn)品進(jìn)行的耐久性試驗(yàn)和應(yīng)力篩選試驗(yàn)，大多數(shù)采用單軸向依次振動(dòng)的等效試驗(yàn)方法[1]。對(duì)試驗(yàn)對(duì)象在三個(gè)正交方向上分別依次進(jìn)行單軸向振動(dòng)試驗(yàn)，以近似等效其所處的多軸向振動(dòng)環(huán)境。兩者之間的差異通過增加振動(dòng)時(shí)間或提高振動(dòng)量級(jí)的方法給予補(bǔ)償?，F(xiàn)行的標(biāo)準(zhǔn)GJB150.16A和MIL-STD-810F均采用此類方法。但是，單軸向振動(dòng)試驗(yàn)中增加的時(shí)間和提高的量級(jí)一般通過工程經(jīng)驗(yàn)確定，沒有相關(guān)的標(biāo)準(zhǔn)。另外，單軸向試驗(yàn)振動(dòng)方的向與結(jié)構(gòu)疲勞失效的敏感方向可能不重合，導(dǎo)致產(chǎn)品通過了單軸等效耐久性試驗(yàn)，卻在實(shí)際的振動(dòng)環(huán)境中卻發(fā)生了疲勞失效[2]。

對(duì)于多軸向振動(dòng)技術(shù)及其與單軸振動(dòng)的差別越來越引起人們的重視。夏益霖等[3-4]總結(jié)了多軸振動(dòng)環(huán)境試驗(yàn)的發(fā)展現(xiàn)狀,并對(duì)多軸振動(dòng)環(huán)境試驗(yàn)的定義、基本原理、關(guān)鍵技術(shù)和解決途徑進(jìn)行了討論。陳穎等[5]對(duì)典型試件進(jìn)行了單、多軸隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)。指出了單軸向振動(dòng)和多軸向同時(shí)振動(dòng)能引起結(jié)構(gòu)的不同模態(tài)，產(chǎn)生不同的激發(fā)效果。對(duì)于單軸向依次振動(dòng)與多軸向同時(shí)振動(dòng)的疲勞問題，F(xiàn)rench等[6-7]對(duì)典型試件進(jìn)行了試驗(yàn)研究。試件結(jié)果表明：多軸向同時(shí)振動(dòng)與單軸向依次振動(dòng)疲勞試驗(yàn)相比較具有明顯的多軸效應(yīng)。兩種工況下試件的疲勞失效時(shí)間和失效位置均存在差異，多軸向同時(shí)振動(dòng)更能導(dǎo)致結(jié)構(gòu)疲勞失效。目前對(duì)多軸向振動(dòng)引起的結(jié)構(gòu)疲勞問題的研究主要集中在定性分析和試驗(yàn)方面，對(duì)多軸效應(yīng)的量化和理論研究較少。本文對(duì)多軸向激勵(lì)下的振動(dòng)疲勞問題進(jìn)行了理論分析，計(jì)算了不同激勵(lì)工況下構(gòu)件的疲勞損傷，并對(duì)構(gòu)件在多軸向振動(dòng)激勵(lì)下的多軸效應(yīng)進(jìn)行了研究。

對(duì)于實(shí)際的工程構(gòu)件，在多軸隨機(jī)振動(dòng)環(huán)境下其應(yīng)力響應(yīng)一般也是多軸的，各應(yīng)力分量均為隨機(jī)過程，而且是一般非比例的。目前對(duì)于多軸疲勞壽命估計(jì)的主要方法有等效應(yīng)力應(yīng)變法、能量法和臨界損傷平面法[8]。臨界平面法從疲勞失效機(jī)理出發(fā)建立了多軸疲勞失效模型，但是往往只適用于特定材料或載荷。等效應(yīng)力應(yīng)變方法將復(fù)雜的應(yīng)力、應(yīng)變轉(zhuǎn)化為等效應(yīng)力和等效應(yīng)變,利用單軸疲勞分析理論對(duì)多軸疲勞壽命進(jìn)行估計(jì)。該方法計(jì)算量小，適合工程應(yīng)用。本文將等效應(yīng)力方法應(yīng)用于多軸向激勵(lì)引起的多軸疲勞問題。利用有限元分析軟件NASTRAN對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行頻響分析，得到結(jié)構(gòu)應(yīng)力分量的頻響函數(shù)矩陣，并通過隨機(jī)振動(dòng)分析得到結(jié)構(gòu)的應(yīng)力響應(yīng)的功率譜密度矩陣；采用等效的Von Mises應(yīng)力功率譜密度將多軸應(yīng)力問題轉(zhuǎn)化為單軸應(yīng)力問題，進(jìn)而利用單軸頻域方法對(duì)結(jié)構(gòu)壽命進(jìn)行估計(jì)。通過對(duì)多軸向隨機(jī)激勵(lì)下的典型構(gòu)件進(jìn)行疲勞壽命估計(jì),驗(yàn)證了方法的可行性。

1Von Mises應(yīng)力等效應(yīng)力壽命估計(jì)頻域法

1.1多軸向激勵(lì)載荷譜

為了模擬實(shí)際工況的振動(dòng)環(huán)境，在隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)中一般采用基礎(chǔ)激勵(lì)的方式對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行激勵(lì)，激勵(lì)載荷譜為加速的功率譜密度。對(duì)于多軸向隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)，其載荷譜形式為：

(1)

式中，矩陣對(duì)角線上元素為各振動(dòng)方向加速度的自功率譜密度，非對(duì)角線元素為各方向互功率譜密度，并且滿足：

1.2動(dòng)力學(xué)響應(yīng)分析

由隨機(jī)振動(dòng)理論，結(jié)構(gòu)的應(yīng)力響應(yīng)可以由激勵(lì)和結(jié)構(gòu)頻響函數(shù)得到

(2)

當(dāng)系統(tǒng)的輸入為多軸向激勵(lì)時(shí)，結(jié)構(gòu)某點(diǎn)的應(yīng)力響應(yīng)的功率譜密度矩陣可以表示為：

(3)

式(3)中的頻響函數(shù)矩陣為：

Hσ(f)=

(4)

式中，Hσy,x 表示結(jié)構(gòu)在x向單位加速度激勵(lì)下該點(diǎn)應(yīng)力σy的頻響函數(shù)。

將式(1)和式(4)代入式(3)即可的到應(yīng)力的功率譜密度矩陣，Gσσ(f)為6×6×n矩陣，n為分析頻率點(diǎn)數(shù)。其中對(duì)角線元素為各應(yīng)力分量的自功率譜密度，為實(shí)數(shù)；非對(duì)角線元素為各應(yīng)力分量間的互功率譜密度，為復(fù)數(shù)，且關(guān)于對(duì)角線對(duì)稱的互功率譜密度間互為共軛復(fù)數(shù)。

1.3Von Mises等效應(yīng)力功率譜密度的確定

Von Mises應(yīng)力在三向應(yīng)力狀態(tài)下定義為：

(5)

應(yīng)力向量為σ=(σx,σy,σz,τxy,τxz,τyz)T，則式(5)可以表示為：

(6)

式中，A為對(duì)稱矩陣，且

對(duì)式(6)兩邊求數(shù)學(xué)期望可得應(yīng)力均方值

(7)

式中，E[σσT]為應(yīng)力向量的協(xié)方差矩陣，它與功率譜密度矩陣應(yīng)力分量的關(guān)系為

(8)

等效Von Mises 應(yīng)力過程的均方根值與其功率譜密度函數(shù)Gσeq(f)存在關(guān)系式

(9)

由式(6)~(9)可以定義等效Von Mises應(yīng)力功率譜密度函數(shù)

Gσeq(f)=Trace[AGσσ(f)]

(10)

式中，等效Von Mises應(yīng)力為高斯隨機(jī)過程，可以由各應(yīng)力分量的功率譜密度計(jì)算得到。

1.4頻域內(nèi)的疲勞壽命估計(jì)

通過式(10)得到了等效Von Mises應(yīng)力功率譜密度，可以直接用于單軸疲勞壽命估計(jì)的頻域分析。其基本過程為：

由式(11)計(jì)算等效Von Mises應(yīng)力功率譜密度的各階譜矩

(11)

根據(jù)Miner線性疲勞累積損傷理論，結(jié)構(gòu)的疲勞

損傷為

(12)

式中，ni表示第i級(jí)應(yīng)力水平下的應(yīng)力循環(huán)次數(shù)；Ni表示應(yīng)力水平為Si時(shí)的疲勞壽命。

對(duì)于連續(xù)應(yīng)力狀態(tài)，在時(shí)間T內(nèi)應(yīng)力值落區(qū)間(Si-dS/2,Si+dS/2)的次數(shù)為ni=E[P]Tp(Si)dS

采用S-N曲線三參數(shù)式N(S)=Sf(S-Sae)b,因此在應(yīng)力為Si時(shí)的循環(huán)次數(shù)Ni=Sf(Si-Sae)b。

則連續(xù)分布的應(yīng)力狀態(tài)下時(shí)間T內(nèi)的疲勞損傷為

(13)

按照Miner 線性累積損傷理論，當(dāng)損傷值E[D]等于1時(shí)結(jié)構(gòu)發(fā)生破壞，此時(shí)疲勞壽命為:

(14)

由式(14)可知頻域疲勞壽命損傷估計(jì)關(guān)鍵是確定應(yīng)力幅值概率密度函數(shù)p(S)，目前有很多計(jì)算模型，如Tunna、Wirsching、Hancok及Chaudhury模型[9]，通過實(shí)際工程應(yīng)用證明：在處理窄帶隨機(jī)過程時(shí)采用Bendat模型，處理寬帶隨機(jī)過程是采用Dirlik模型能取得更高的計(jì)算精度。其表達(dá)式為：

Bendat模型：

(15)

Dirlik模型：

(16)

式中，參數(shù)m0,D1,D1,Q,Z,R均可由式(11)確定的零階、二階和四階譜矩計(jì)算得到[10]。

2方法的應(yīng)用

多軸向激勵(lì)下結(jié)構(gòu)的振動(dòng)疲勞分析過程如圖1所示。該方法的實(shí)現(xiàn)需要借助有限元分析軟件NASTRAN和計(jì)算軟件MATLAB。NASTRAN僅用于結(jié)構(gòu)頻響函數(shù)的獲取，通過對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行單位加速度的基礎(chǔ)激勵(lì)，然后進(jìn)行頻響分析實(shí)現(xiàn)。通過工程實(shí)測(cè)和數(shù)據(jù)處理得到激勵(lì)的功率譜密度矩陣Ga(f)，結(jié)合NASTRAN分析得到的頻響函數(shù)矩陣Hσ(f)數(shù)據(jù)，通過MATLAB編制程序計(jì)算結(jié)構(gòu)疲勞損傷和疲勞壽命。

圖1　疲勞損傷計(jì)算流程圖 Fig.1 Flow Diagram of damage calculation

3算例分析

以文獻(xiàn)[7]中試驗(yàn)件為分析模型，進(jìn)行多軸激勵(lì)下的疲勞壽命分析。試件尺寸參數(shù)如圖2(a)所示，材料為鋁合金2024-T4。文獻(xiàn)[7]中將其固定于三軸向振動(dòng)臺(tái)面上，進(jìn)行了單軸向激勵(lì)與多軸向同時(shí)激勵(lì)下的振動(dòng)疲勞實(shí)驗(yàn)研究。

圖2　疲勞分析模型和計(jì)算點(diǎn)分布圖 Fig.2 Model and analysis point of damage calculation

在NASTRAN中對(duì)模型進(jìn)行了數(shù)值建模，采用大質(zhì)量法分別在固定端施加單位加速度基礎(chǔ)激勵(lì)，得到結(jié)構(gòu)在不同激振方向上各點(diǎn)上應(yīng)力分量與單位加速度的頻響函數(shù)。在危險(xiǎn)面(缺口處半徑最小截面)上選取具有代表性的三點(diǎn)(計(jì)算點(diǎn)位置如圖2(b)所示)，進(jìn)行了單軸或多軸同時(shí)激勵(lì)下的振動(dòng)疲勞分析計(jì)算。

三軸向同時(shí)振動(dòng)和單軸向振動(dòng)計(jì)算中的加速度載荷譜采用相同的譜形，如圖3所示。文獻(xiàn)[7]中載荷譜截止頻率為85 Hz，結(jié)構(gòu)一階固有頻率為86.1 Hz。在實(shí)際振動(dòng)過程中隨著結(jié)構(gòu)損傷的出現(xiàn)，其固有頻率會(huì)降低，使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生持續(xù)共振，加速結(jié)構(gòu)的疲勞失效[9]。考慮到仿真與實(shí)際問題的區(qū)別，本文計(jì)算載荷譜截止頻率提高到90 Hz，為保證振動(dòng)輸入能量不變，頻帶寬度和加速功率譜密度值均與文獻(xiàn)[7]相同。

圖3　激勵(lì)加速度功率譜密度 Fig.3 The input accelerations PSD

計(jì)算了不同工況下等效Von Mises應(yīng)力的功率譜密度，圖4為計(jì)算點(diǎn)2在三軸同時(shí)振動(dòng)時(shí)的Von Mises 等效應(yīng)力的功率譜密度。

圖4　等效Von Mises 應(yīng)力功率譜密度 Fig.4 Theequivalent Von Mises stress PSD

分別計(jì)算了各點(diǎn)在三軸向同時(shí)激勵(lì)和單軸向激勵(lì)下的疲勞壽命，計(jì)算分析中不考慮各方向間載荷的相關(guān)性。由于Z向振動(dòng)引起的應(yīng)力響應(yīng)很小，對(duì)結(jié)構(gòu)疲勞損傷的影響可以忽略不計(jì)。計(jì)算結(jié)果如表1所示，計(jì)算分析中根據(jù)加速激勵(lì)譜的譜形特點(diǎn)，應(yīng)力幅值概率密度函數(shù)采用Bendant窄帶模型進(jìn)行疲勞壽命分析。材料的S-N曲線采用冪函數(shù)公式，在對(duì)數(shù)坐標(biāo)下的表達(dá)式為lgN=14.064 0-3.774 5lg(S-173.2)[12]。

由表1可知，當(dāng)試件處于三軸向同時(shí)激勵(lì)下，危險(xiǎn)面邊緣各點(diǎn)的疲勞壽命基本相同，約為1 492 s。文獻(xiàn)[7]中三軸同時(shí)振動(dòng)時(shí)的平均試驗(yàn)壽命約為620 s，計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果比較在2.5倍誤差以內(nèi)，產(chǎn)生誤差的原因主要有以下幾點(diǎn)：首先，試驗(yàn)試件在加工時(shí)可能對(duì)試件造成試驗(yàn)前損傷或應(yīng)力集中；其次，試件的材料與理論的連續(xù)性、均勻性和各項(xiàng)同性存在差別；另外，在試驗(yàn)過程中振動(dòng)臺(tái)的振動(dòng)控制譜與參考譜不可能保持完全一致，在控制工程中會(huì)存在瞬時(shí)的沖擊。以上原因都會(huì)造成試件裂紋的加速擴(kuò)展，縮短試件的疲勞失效時(shí)間。

表1　疲勞壽命與等效Von Mises應(yīng)力RMS

由于Z軸振動(dòng)影響可以忽略不計(jì)，由表1通過比較三軸同時(shí)激勵(lì)與 x、y軸分別激勵(lì)的等效應(yīng)力的RMS值發(fā)現(xiàn)，當(dāng)結(jié)構(gòu)受到各軸同時(shí)激勵(lì)時(shí)各點(diǎn)等效應(yīng)力的均方等于單軸分別激勵(lì)時(shí)各等效應(yīng)力的均方和。即多軸向同時(shí)激勵(lì)時(shí)結(jié)構(gòu)上各點(diǎn)的應(yīng)力為單軸向分別激勵(lì)時(shí)應(yīng)力的疊加。對(duì)于結(jié)構(gòu)上一般位置，當(dāng)結(jié)構(gòu)受到各軸向同時(shí)激勵(lì)時(shí)其疊加應(yīng)力大于單軸依次激勵(lì)時(shí)的應(yīng)力。因此相對(duì)于單軸向激勵(lì)，多軸向同時(shí)激勵(lì)更容易引起結(jié)構(gòu)疲勞失效。對(duì)于特殊位置，如算例中計(jì)算點(diǎn)1(y向振動(dòng)引起的彎曲中性軸上點(diǎn))，三軸同時(shí)激勵(lì)與x向單獨(dú)激勵(lì)具有相同的疲勞壽命。

表2　各計(jì)算點(diǎn)單位時(shí)間的疲勞損傷

另外，危險(xiǎn)截面邊緣上的點(diǎn)由于處于同一圓周上，三軸向分別激勵(lì)引起的應(yīng)力在疊加后具有相同的等效應(yīng)力均方根值，因此在三軸同時(shí)激勵(lì)的工況下,危險(xiǎn)截面邊緣各點(diǎn)有相同的疲勞壽命，均為構(gòu)件的危險(xiǎn)點(diǎn)。但是，在單軸向激勵(lì)時(shí)，結(jié)構(gòu)的危險(xiǎn)點(diǎn)僅為截面圓周與振動(dòng)軸的交點(diǎn)(如x方向振動(dòng)時(shí)計(jì)算點(diǎn)1)，因此結(jié)構(gòu)在多軸向同時(shí)激勵(lì)與單軸向激勵(lì)下的失效位置是不同的。

由表2數(shù)據(jù)可知，多軸同時(shí)激勵(lì)時(shí)對(duì)結(jié)構(gòu)造成的損傷大于各個(gè)方向分別激勵(lì)時(shí)的損傷之和。因此，不能簡(jiǎn)單的以單軸分別激勵(lì)下的損傷的疊加來等效各軸向同時(shí)激勵(lì)時(shí)結(jié)構(gòu)的實(shí)際損傷。另外，由各計(jì)算點(diǎn)在各軸向同時(shí)激勵(lì)損傷與單軸向分別激勵(lì)損傷的損傷比可知：結(jié)構(gòu)不同位置在多軸向激勵(lì)下的多軸效應(yīng)也是各不相同的。

4結(jié)論

(1)提出了結(jié)構(gòu)在多軸向激勵(lì)下疲勞壽命分析的頻域分析方法，給出了該方法的計(jì)算流程。算例與實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較表明，該方法滿足工程需要。并且計(jì)算量小，具有一定工程應(yīng)用價(jià)值。

(2)通過計(jì)算分析的可知，在各向激勵(lì)載荷互不相關(guān)的加載工況下，多軸同時(shí)激勵(lì)時(shí)結(jié)構(gòu)上各點(diǎn)的應(yīng)力等于單軸分別激勵(lì)時(shí)應(yīng)力的疊加。因此多軸同時(shí)激勵(lì)時(shí)結(jié)構(gòu)更容易引發(fā)疲勞失效。另外，在多軸同時(shí)激勵(lì)與單軸激勵(lì)下結(jié)構(gòu)的失效位置一般是不同的。

(3)通過計(jì)算各點(diǎn)單位時(shí)間內(nèi)的損傷，研究了構(gòu)件受到各軸向同時(shí)激勵(lì)時(shí)的多軸效應(yīng)，結(jié)果顯示，多軸同時(shí)激勵(lì)對(duì)結(jié)構(gòu)上大多數(shù)的點(diǎn)造成的疲勞損傷大于單軸依次振動(dòng)時(shí)對(duì)該點(diǎn)造成的疲勞損傷之和。而且對(duì)于結(jié)構(gòu)上不同位置二者之間的損傷比也是不同的，即多軸向激勵(lì)下結(jié)構(gòu)上各點(diǎn)有不同的多軸效應(yīng)。因此，不能簡(jiǎn)單的采用三軸向依次激勵(lì)的損傷疊加來等效多軸同時(shí)激勵(lì)時(shí)產(chǎn)生的損傷。

(4)本文計(jì)算中沒有考慮載荷譜的相關(guān)，關(guān)于載荷相關(guān)性對(duì)結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)和疲勞損傷的影響，將在今后工作中進(jìn)一步研究。

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