基于最小位移的磁懸浮轉(zhuǎn)子變極性LMS反饋不平衡補償

第一作者宋騰男，碩士生，1990年12月生

通信作者韓邦成男，博士，研究員，1974年生

基于最小位移的磁懸浮轉(zhuǎn)子變極性LMS反饋不平衡補償

宋騰1,2，韓邦成1,2，鄭世強1,2，馮銳1,2

(1.北京航空航天大學(xué)慣性技術(shù)重點實驗室，北京100191；2.北京航空航天大學(xué)新型慣性儀表與導(dǎo)航系統(tǒng)技術(shù)國防重點學(xué)科實驗室，北京100191)

摘要：針對高速電機磁懸浮轉(zhuǎn)子受不平衡擾動時位移精度下降的問題，提出一種基于最小位移原則的變極性最小均方誤差(least mean square，LMS)反饋不平衡補償策略，通過在線辨識位移信號中的轉(zhuǎn)速同頻分量，引入反饋補償來增加系統(tǒng)對同頻分量的廣義動剛度，實現(xiàn)不平衡補償。利用廣義根軌跡分析了引入補償后系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性，同時針對僅以負極性或正極性引入補償后，閉環(huán)系統(tǒng)均存在臨界轉(zhuǎn)頻以上或以下發(fā)散的問題，設(shè)計了通過切換引入補償?shù)臉O性來穿越臨界轉(zhuǎn)頻，從而實現(xiàn)引入LMS反饋補償后全轉(zhuǎn)速范圍閉環(huán)穩(wěn)定。實驗結(jié)果表明，該方法在全轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)均能大幅減小位移信號中的轉(zhuǎn)速同頻分量。

關(guān)鍵詞：主動磁懸浮軸承；最小位移；不平衡補償；變極性LMS反饋；廣義根軌跡

基金項目：航空創(chuàng)新基金(2012Z1315)；國家自然科學(xué)基金資助項目(61203203)；國家重大科學(xué)儀器設(shè)備開發(fā)專項(2012YQ040235)；北京市科技創(chuàng)新基地培育與發(fā)展工程專項項目(J131104002813105)

收稿日期：2014-01-28修改稿收到日期：2014-04-10

中圖分類號:TP273

文獻標(biāo)志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2015.07.004

Abstract:In consideration of the decrease of high-speed motor magnetic rotor displacement accuracy generated by unbalance vibration, a LMS feedback algorithm based on the principle of displacement nulling was proposed. The generalized dynamic stiffness of the system was improved by online identifying the same-frequency component in displacment signal and adding feedback to achieve unbalance compensation. In addition, the stability of close loop system was analyzed by use of generalized root locus; meanwhile, to cross over the critical frequency and achieve the displacement compensation within the whole speed range, a variable polarity strategy was raised. The experiment results demonstrate the method can suppress the displacement same-frequency vibration effectively within the whole speed range.

Variable polarity LMS feedback based on displacement nulling to compensate unbalance of magnetic bearing

SONGTeng1,2,HANBang-cheng1,2,ZHENGShi-qiang1,2,FENGRui1,2(1.Science and Technology on Inertial Laboratory (Beihang University), Haidian District, Beijing 100191, China;2.Fundamental Science on Novel Inertial Instrument & Navigation System Technology Laboratory (Beihang University), Haidian District, Beijing 100191, China)

Key words:active magnetic bearing; displacement nulling; unbalance compensation; variable polarity LMS feedback; generalized root locus

相較于傳統(tǒng)機械軸承，磁懸浮軸承具有無磨損、無需潤滑、可在線監(jiān)控、可實施主動振動控制等優(yōu)點，在工業(yè)部門、航空航天[1-2]等領(lǐng)域的應(yīng)用日益普遍。對于轉(zhuǎn)子而言，由于機械加工誤差、材料的質(zhì)量在幾何分布上不均勻等原因，必然存在慣性軸、幾何軸以及旋轉(zhuǎn)軸三者不重合的問題，將會導(dǎo)致轉(zhuǎn)子產(chǎn)生不平衡振動。而轉(zhuǎn)子不平衡激振力的大小與轉(zhuǎn)速的平方成正比，隨著轉(zhuǎn)速升高，急劇增加的激振力會嚴(yán)重影響轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的穩(wěn)定運行[3]。因此，采取有效措施對高速轉(zhuǎn)子進行主動振動控制就顯得尤為必要。

磁懸浮轉(zhuǎn)子主動振動控制的方法主要分為兩大類。一類稱之為自動平衡，其基本思想是在反饋通道中通過消除位移傳感器輸出信號中的轉(zhuǎn)速同頻分量，減小控制器的同頻信號輸出，從而有效地降低磁軸承線圈中的同頻控制電流以及相應(yīng)的電流剛度力，利用轉(zhuǎn)子在高速旋轉(zhuǎn)時的自對中效應(yīng)使其圍繞慣性軸旋轉(zhuǎn)。這類控制策略按照“零控制電流”的原則進行，其典型方法包括自適應(yīng)廣義陷波器法[4-5]、迭代學(xué)習(xí)控制法[6-7]、自調(diào)諧模糊PID法[8]、等效干擾電壓矢量補償法[9]、迭代搜索算法[10]、Q-parameterization法[11]、自適應(yīng)LMS濾波法[12]，等。自動平衡法雖然可以有效減小通過徑向磁軸承傳遞給基礎(chǔ)的轉(zhuǎn)速同頻反作用力[9,12]，但是它無法抑制轉(zhuǎn)子位移信號中的轉(zhuǎn)速同頻渦動，不能滿足對轉(zhuǎn)子位移精度要求高的場合，如機床主軸電機等的應(yīng)用要求。另一類方法則可稱之為不平衡補償，其基本思想是通過提高系統(tǒng)對轉(zhuǎn)子位移信號的廣義動剛度，增加控制器輸出，使得線圈產(chǎn)生額外的補償電磁力來抵消不平衡激振力，最終實現(xiàn)抑制轉(zhuǎn)子位移的同頻振動、使其圍繞幾何軸旋轉(zhuǎn)的目的。這類控制策略按照“零轉(zhuǎn)子位移”的原則進行，蔣科堅[13]等提出一種基于振動識別的補償方法，它雖然能夠通過檢測位移響應(yīng)中不平衡振動的幅值和相位變化，產(chǎn)生精確的補償電磁力，但是其計算量大、算法復(fù)雜，對硬件平臺要求高；龍亞文等[14]采用混合靈敏度H∞控制策略設(shè)計魯棒控制器，實現(xiàn)磁懸浮轉(zhuǎn)子的振動抑制；Tian 等[15]運用離散時間滑模變結(jié)構(gòu)控制實現(xiàn)最小位移補償，該方法雖然魯棒性較強，但是參數(shù)不易整定，補償精度不高；Shi等[16-17]提出運用自適應(yīng)濾波xLMS算法實現(xiàn)磁懸浮轉(zhuǎn)子最小位移補償，該方法雖然補償精度高且實現(xiàn)簡單，但是文獻[16]中僅在固定轉(zhuǎn)速(1300r/min)對其進行了實驗驗證，不僅試驗中所設(shè)轉(zhuǎn)速偏低，而且未進一步探討自適應(yīng)濾波xLMS算法取不同的中心頻率時對閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。而事實上，濾波中心頻率應(yīng)與轉(zhuǎn)頻保持一致才能實現(xiàn)有效的補償，且隨著轉(zhuǎn)速升高，單純以負反饋形式引入不平衡補償會使閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項式出現(xiàn)右半平面極點，造成系統(tǒng)失穩(wěn)。

文獻[18-19]將LMS算法運用于磁懸浮隔振器的振動主動控制。本文在位移最小原則的不平衡補償策略基礎(chǔ)上，提出利用自適應(yīng)LMS算法在線實時辨識轉(zhuǎn)子位移信號中的轉(zhuǎn)速同頻分量，將辨識量反饋至位移參考信號處來增加系統(tǒng)對位移同頻分量的廣義動剛度，達到對位移信號中的同頻分量進行抑制的目的。并且結(jié)合系統(tǒng)模型，利用廣義根軌跡分析插入自適應(yīng)LMS算法后系統(tǒng)的穩(wěn)定性，得出系統(tǒng)臨界穩(wěn)定轉(zhuǎn)頻，據(jù)此設(shè)計出變極性反饋策略，從而保證在全轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)系統(tǒng)閉環(huán)的穩(wěn)定，且同頻位移最小。在高速永磁偏置磁軸承4 kW電機上測得的實驗結(jié)果證明了該方法的有效性。

1不平衡轉(zhuǎn)子動力學(xué)分析

經(jīng)典的磁懸浮軸承電磁力公式[20]經(jīng)線性化后為(以A端X通道為例)：

FAX=kiiAX+kxxA

(1)

式中，F(xiàn)AX為轉(zhuǎn)子所受單通道電磁力，ki為電流剛度，kx為位移剛度。圖1為主動磁軸承系統(tǒng)徑向四通道的受力分析。將空間直角坐標(biāo)系OgXYZ的原點設(shè)于轉(zhuǎn)子質(zhì)心處。

圖1　轉(zhuǎn)子徑向受力分析 Fig.1 Force analysis of rotor in radial direction

圖1中，F(xiàn)AX、FAY、FBX、FBY分別為轉(zhuǎn)子在A、B兩端所受沿x方向、y方向的電磁力；φ、θ分別為繞x軸、y軸旋轉(zhuǎn)的角位移，ωr為轉(zhuǎn)頻。則可得轉(zhuǎn)子動力學(xué)方程如下：

(2)

其中Ir為轉(zhuǎn)子的赤道轉(zhuǎn)動慣量，Ia為極轉(zhuǎn)動慣量；fx、fy為不平衡激振力在x軸、y軸上的分量。

(3)

其中e1為旋轉(zhuǎn)中心Or與質(zhì)心Og之間的距離，ψ為形心——質(zhì)心連線與旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系ζOrη橫軸之間的夾角。轉(zhuǎn)子幾何中心Oc的位移與A、B兩端處位移關(guān)系為[21]：

(4)

圖2　轉(zhuǎn)子截面示意圖 Fig.2 Schematic diagram of rotor section

圖2為考慮不平衡振動時的轉(zhuǎn)子截面示意圖，其中ep=|OcOg|為轉(zhuǎn)子偏心距。

可得轉(zhuǎn)子形心與質(zhì)心之間的坐標(biāo)變換關(guān)系如下：

(5)

考慮到徑向四通道電磁力具有各向同性，結(jié)合式(2)~(5)可得矩陣形式的徑向四自由度運動學(xué)微分方程如下：

(6)

式中，fx′、fy′是磁軸承相應(yīng)的不平衡外擾力在x軸、y軸上的分量，其表達式如下：

(7)

由式(7)可知，當(dāng)轉(zhuǎn)子形心與質(zhì)心重合時，ep=e1，外擾力為零。式(6)可簡化表示為：

(8)

式中，X = (xAxByAyB)T，ic= (iXAiXBiYAiYB)T，f ′= (fx′fy′00)T；M為質(zhì)量陣，C為阻尼陣，Kx為位移剛度陣，Ki為電流剛度陣，E為擾動響應(yīng)陣。設(shè)位移傳感器電壓位移系數(shù)為ks，則有傳感器位移信號轉(zhuǎn)換矩陣Ks：

(9)

對于一般意義上的磁軸承閉環(huán)反饋控制系統(tǒng)，從控制電流到位移的轉(zhuǎn)換關(guān)系為：

X(s)=-Amp(s)Gc(s)Ksic(s)

(10)

其中，X(s)、ic(s)分別為X、ic經(jīng)拉普拉斯變換后的表達形式；Gc(s)為控制器傳遞函數(shù)，Amp(s)為功率放大環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)。則有：

(11)

取s=jw，可得其頻率特性關(guān)系：

X=-Amp(jw)Gc(jw)Ksic

(12)

將式(12)代入式(8)并移相得：

Ef′

(13)

令K′=KiAmp(jw)Gc(jw)Ks-Kx，則(13)式可變形為：

(14)

由式(14)可知，此時系統(tǒng)具有在簡諧外力作用下的受迫振動特性[21]，K′為磁軸承系統(tǒng)的廣義動剛度，化簡可得：

(15)

X(t)=e-ζwnt (a1coswdt+a2sinwdt)I+

Bdsin(wrt+ψd)I

(16)

(17)

由式(17)可知，欲抑制轉(zhuǎn)子的受迫振動，應(yīng)設(shè)法提升系統(tǒng)廣義動剛度K′。由其表達式可知，Kx、Ki、Ks均為定值，功放環(huán)節(jié)頻率特性亦為系統(tǒng)本身屬性。因此廣義動剛度的大小基本取決于控制器的頻率特性。一般而言，僅僅通過調(diào)節(jié)PID控制器參數(shù)來增加系統(tǒng)廣義動剛度顯然難以滿足需求[21]，所以應(yīng)當(dāng)在控制器中引入對位移信號中同頻分量的額外補償，大幅增加系統(tǒng)對同頻信號的廣義動剛度，方可有效地實現(xiàn)最小位移補償。

2運用變極性LMS反饋實施最小位移控制

2.1引入LMS反饋增加系統(tǒng)廣義動剛度

對于高速磁懸浮電機而言，由于其轉(zhuǎn)子軸為細長型，赤道轉(zhuǎn)動慣量Ir遠遠大于極轉(zhuǎn)動慣量Ia，故可忽略陀螺效應(yīng)，將前文中描述的多輸入多輸出(MIMO)系統(tǒng)分別視為獨立解耦的單輸入單輸出(SISO)系統(tǒng)。下文中，以B端磁軸承x通道為例進行論述。

式(16)為僅考慮系統(tǒng)固有自由振動和轉(zhuǎn)速同頻不平衡振動的轉(zhuǎn)子位移信號時域表達式。但事實上，由于轉(zhuǎn)子所受多種外界擾動力，再加上定子與轉(zhuǎn)子之間氣隙空間的磁通密度分布并非嚴(yán)格對稱，故而轉(zhuǎn)子位移信號中實際包含的頻譜分量很豐富。只是由于在所有外界擾動力中同頻振動占據(jù)主導(dǎo)地位，因此同頻分量的權(quán)重最大。為了實現(xiàn)不平衡補償，首先要實時辨識出位移信號中的同頻分量。辨識方法如圖3所示。

圖3　位移信號同頻分量辨識 Fig.3 Identifying the same-frequency component of displace signal

其具體算法流程如下：

v(kT)=w1(kT)sin(wrkT)+w2(kT)cos(wrkT)

(18)

w1((k+1)T)=w1(kT)+2μx(kT)sin(wrkT)

(19)

w2((k+1)T)=w2(kT)+2μx(kT)cos(wrkT)

(20)

式中，x(kT)為位移信號，w1(kT)、w2(kT)分別為轉(zhuǎn)速同頻正余弦分量的權(quán)重系數(shù)，v(kT)為輸出信號，μ為權(quán)重系數(shù)迭代變化步長，T為系統(tǒng)采樣周期。由文獻[22]可知，對此環(huán)節(jié)進行Z變換后，其脈沖傳遞函數(shù)如下：

(21)

步長μ應(yīng)當(dāng)滿足條件：0 <μ< 1/λmax，方能滿足穩(wěn)定收斂[10]。將V(z)以負反饋形式引致閉環(huán)系統(tǒng)參考位移處后，可得磁軸承控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖4所示。

此時，系統(tǒng)廣義反饋環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)為：

H′(z)=1+H(z)=

(22)

圖4　磁軸承控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖 Fig.4 Scheme of magnetic bearing control system

因為z=ejwT，故當(dāng)w=wr時，有zr為H′(z)極點。根據(jù)H′(z)的頻率特性，顯然有：

H′(jwr)?H′(jw)(w≠wr)≈1

(23)

前面已論述過可將磁軸承系統(tǒng)視為分別獨立解耦的SISO系統(tǒng)，故廣義剛度矩陣K″近似可視為對角陣，即K″=diag{k″,k″,k″,k″}，其中k″為單通道廣義剛度系數(shù)。則引入LMS反饋之后，單通道廣義剛度系數(shù)變?yōu)椋?/p>

(24)

故有k″(jwr)?k′(jwr)，根據(jù)前文分析，此時本通道轉(zhuǎn)子位移信號中的同頻分量已得到有效減小。

2.2利用廣義根軌跡分析系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定性

判斷一種控制算法是否切實可行，不僅應(yīng)衡量其是否能有效地解決所針對的特定問題，還應(yīng)著重考察將這種算法加入原系統(tǒng)之后，對整個系統(tǒng)性能所造成的影響。對控制系統(tǒng)而言，保證系統(tǒng)穩(wěn)定是其正常運行首當(dāng)其沖的必要條件。前文已經(jīng)論述了引入LMS反饋后能夠?qū)崿F(xiàn)對轉(zhuǎn)子所受不平衡激振力的有效補償，接下來本節(jié)將應(yīng)用廣義根軌跡的方法分析其閉環(huán)穩(wěn)定性。

考察圖(4)所示磁軸承控制系統(tǒng)，PID控制器傳遞函數(shù)為：

(25)

功率放大環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)為：

(26)

電磁力——轉(zhuǎn)子環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)為：

(27)

再加上式(22)所示引入LMS廣義反饋環(huán)節(jié)脈沖傳遞函數(shù)，故整個閉環(huán)系統(tǒng)應(yīng)為7階系統(tǒng)，以轉(zhuǎn)頻fr為變量繪制其廣義根軌跡，其中有三條始終分布于左半實軸上且距離虛軸較遠，另外兩條始終位于左半平面且遠離虛軸，只有兩條位于虛軸附近，故為系統(tǒng)的主導(dǎo)根軌跡，其分布圖如圖5所示。

圖5　引入負極性LMS反饋后閉環(huán)系統(tǒng)主導(dǎo)根軌跡 Fig.5 The major root locus of close loop system while adding negative LMS feedback

由圖5可知，隨著轉(zhuǎn)頻fr升高，兩條主導(dǎo)根軌跡會由左半平面穿越虛軸進入右半平面，此時系統(tǒng)閉環(huán)發(fā)散。穿越虛軸時所對應(yīng)的臨界轉(zhuǎn)頻fc= 126 Hz。可見，單純地以負極性形式引入LMS反饋補償，無法在臨界轉(zhuǎn)頻以上的轉(zhuǎn)速實現(xiàn)不平衡補償。

2.3通過切換反饋極性穿越臨界轉(zhuǎn)頻

當(dāng)以正極性引入LMS反饋補償之后，系統(tǒng)閉環(huán)反饋環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)變?yōu)椋?/p>

H′(z)=1-H(z)=

(28)

圖6　(a) 負、正極性LMS反饋系統(tǒng)主導(dǎo)根軌跡 Fig.6(a) The major root locus of system while adding positive and negative LMS feedback

圖6　(b) 引入極性切換策略后系統(tǒng)主導(dǎo)根軌跡分布圖 Fig.6 (b) The major root locus of system while introducing polarity switch strategy

由圖6(a)可見，正、負極性LMS反饋引入系統(tǒng)后的主導(dǎo)根軌跡分布在S域內(nèi)關(guān)于虛軸對稱。當(dāng)fr>fc時，正極性LMS反饋系統(tǒng)的閉環(huán)極點全部位于S域左半平面，此時系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。為了解決2.2中所提出的問題，不妨通過極性切換的手段穿越臨界轉(zhuǎn)頻，其具體策略如圖7所示。

圖6(b)為引入極性切換的系統(tǒng)主導(dǎo)根軌跡分布圖?？梢姡藭r系統(tǒng)閉環(huán)主導(dǎo)極點均位于S域左半平面，故系統(tǒng)在全轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)閉環(huán)穩(wěn)定。

圖7　全轉(zhuǎn)速范圍極性切換LMS反饋補償策略 Fig.7 The strategy of polarity switch LMS feedback among the whole speed range

圖8為μ取不同值時的主導(dǎo)根軌跡分布情況，為了便于說明，取負極性LMS反饋補償。可見，隨著轉(zhuǎn)頻fr升高，三者的系統(tǒng)主導(dǎo)極點位置變化具有相同的趨勢，并在同一點穿越虛軸進入S域右半平面，而且三者對應(yīng)的臨界轉(zhuǎn)頻也完全一致，故可說明μ的取值對系統(tǒng)的穩(wěn)定性沒有影響。但是也可以看出，在相同的fr條件下，當(dāng)μ的取值越大，系統(tǒng)的根軌跡實部越遠離虛軸，所以系統(tǒng)的響應(yīng)時間越短。

圖8　μ取不同值時系統(tǒng)主導(dǎo)根軌跡 Fig.8 The major root locus of system in different μ

3仿真分析

磁懸浮轉(zhuǎn)子不平衡補償?shù)膶嵸|(zhì)是引入與不平衡激振力大小相同、相位差180°的電磁力補償，使得徑向每個通道轉(zhuǎn)子所受合力盡可能接近于零，從而保證轉(zhuǎn)子沿幾何軸旋轉(zhuǎn)。事實上，由式(24)可知，轉(zhuǎn)子所受電磁力中的電流剛度力遠遠大于位移剛度力，故可近似認(rèn)為電磁力約等于電流剛度力。為了驗證引入LMS反饋之后的不平衡激振力補償效果，根據(jù)在實驗中實際設(shè)置的控制器參數(shù)(表1)和實際的廣義被控對象參數(shù)(功放環(huán)節(jié)+4kW電機永磁偏置磁軸承、表2)，通過Matlab進行仿真分析。

表1　實驗中磁軸承控制系統(tǒng)實際參數(shù)

圖9 (a)轉(zhuǎn)子所受合外力時間關(guān)系曲線Fig.9(a)Thecurveofthecombinedforceoftherotor圖9 (b)單純PID時轉(zhuǎn)子受力時間關(guān)系曲線Fig.9(b)ThecurveofrotorforcewhilepurelyPID圖9 (c)引入LMS反饋補償后轉(zhuǎn)子受力時間關(guān)系曲線Fig.9(c)ThecurveofrotorforcewhileaddingLMSfeedbackcompensation

表2　廣義被控對象參數(shù)

在仿真分析中，加入的不平衡激振力為：f=500sin(2πfrt)，其中fr= 100 Hz。圖9(a)為轉(zhuǎn)子所受合力時間關(guān)系曲線圖，在0.25 s時加入補償，轉(zhuǎn)子所受合力在短時間內(nèi)收斂至零。如圖9(b)所示，未引入LMS反饋補償時，轉(zhuǎn)子所受電流剛度力與不平衡激振力之間存在介于0°與180°之間的相位差，不僅無法實現(xiàn)不平衡補償，反而會使轉(zhuǎn)子有離心趨勢；如圖9(c)所示，引入LMS反饋補償后，電流剛度力能夠幾乎抵消不平衡激振力，使得轉(zhuǎn)子所受合力基本為零，從而實現(xiàn)了對不平衡激振力的完全補償。

4實驗驗證

利用北航研制的高速永磁偏置磁軸承4 kW電機，對變極性LMS反饋實現(xiàn)不平衡補償進行實驗驗證，其主要技術(shù)參數(shù)如表2所示。磁軸承控制系統(tǒng)采用TMS320F28335+FPGA數(shù)字控制系統(tǒng)，根據(jù)轉(zhuǎn)子位移信號，計算控制量，生成PWM波形，驅(qū)動功率放大環(huán)節(jié)產(chǎn)生控制電流，從而保證磁懸浮轉(zhuǎn)子的穩(wěn)定懸浮。

由于系統(tǒng)引入的自適應(yīng)LMS反饋環(huán)節(jié)需要轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)頻的實時信息，故利用霍爾傳感器檢測電機轉(zhuǎn)速，再經(jīng)DSP的ECAP模塊捕獲后進行處理，來實時計算轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)頻。

LMS算法的權(quán)重系數(shù)w1、w2的迭代更新步長μ是影響算法收斂速度的關(guān)鍵參數(shù)。如圖10，試驗中轉(zhuǎn)頻為150 Hz(9 000 r/min)時，分別取步長μ=0.000 05，0.000 5，0.005，引入LMS反饋之后位移信號均收斂。顯然，三者收斂后的峰峰值十分接近；但是當(dāng)μ=0.000 05時，收斂時間ts=2.715 s，當(dāng)μ=0.000 5，收斂時間ts=0.695 s，當(dāng)μ=0.005時，收斂時間ts=0.999 8 s。此外，當(dāng)μ取0.000 5時，引入LMS反饋之后可以看出位移信號有一個明顯的超調(diào)過程。

為了兼顧引入LMS反饋之后的穩(wěn)定性以及過渡過程的平穩(wěn)性、快速性，在實際的實驗過程中，取步長μ=0.000 5。

當(dāng)fr在臨界轉(zhuǎn)頻fc以下時，將LMS反饋量以負極性形式給定參考位移信號處。試驗中轉(zhuǎn)頻為50 Hz(3 000 r/min)，以B端x通道為例，從圖11中可以看到，位移信號振動幅值下降明顯；對轉(zhuǎn)子位移信號進行快速傅里葉變換，如圖12所示，單純的PID控制同頻分量為-66.89 dB，加入算法后同頻分量為-86.74 dB，顯然此時位移同頻振動已明顯衰減。

圖10 (a)μ=0.00005時位移收斂過程時間關(guān)系曲線Fig.10(a)Thecurseofdisplaceconvergencewhenμ=0.00005圖10 (b)μ=0.0005時位移收斂過程時間關(guān)系曲線Fig.10(b)Thecurseofdisplaceconvergencewhenμ=0.0005圖10 (c)μ=0.005時位移收斂過程時間關(guān)系曲線Fig.10(c)Thecurseofdisplaceconvergencewhenμ=0.005

圖11 fr=50Hz時B通道x方向位移信號時間曲線Fig.11ThecurseofdisplacesignalinthexdirectionofchannelBatfr=50Hz圖12 (a)fr=50Hz時單純PID控制位移信號頻譜Fig.12(a)Thefrequencyspectrumofdisplacesignalatfr=50HzwhilepurelyPID圖12 (b)fr=50Hz時引入負極性LMS反饋位移信號頻譜Fig.12(b)Thefrequencyspectrumofdisplacesignalatfr=50HzwhileaddingnegativeLMSfeedback

當(dāng)fr在臨界轉(zhuǎn)頻fc之上時，將LMS反饋量以正極性形式給定參考位移信號處。試驗中轉(zhuǎn)頻分別取150 Hz(9 000 r/min)和200 Hz(12 000 r/min)，以B端x通道為例，從圖13、15中可以看到，位移信號振動幅值下降明顯；對轉(zhuǎn)子位移信號進行快速傅里葉變換，如圖14所示，轉(zhuǎn)頻為150 Hz時，單純的PID控制同頻分量分別為-67.6 dB，加入算法后下降至-86.39 dB；如圖16所示，轉(zhuǎn)頻為200 Hz時，單純的PID控制同頻分量分別為-72.79 dB，加入算法后下降至-102 dB；顯然位移同頻振動均已明顯衰減。

圖13 fr=150Hz時B通道x方向位移信號時間曲線圖Fig.13ThecurseofdisplacesignalinthexdirectionofchannelBatfr=150Hz圖14 (a)fr=150Hz時單純PID控制位移信號頻譜Fig.14(a)Thefrequencyspectrumofdisplacesignalatfr=150HzwhilepurelyPID圖14 (b)fr=150Hz時引入正極性LMS反饋位移信號頻譜Fig.14(b)Thefrequencyspectrumofdisplacesignalatfr=150HzwhileaddingpositiveLMSfeedback

圖15 fr=200Hz時B通道x方向位移信號時間曲線圖Fig.15ThecurseofdisplacesignalinthexdirectionofchannelBatfr=200Hz圖16 (a)fr=200Hz時單純PID控制位移信號頻譜Fig.16(a)Thefrequencyspectrumofdisplacesignalatfr=200HzwhilepurelyPID圖16 (b)fr=200Hz時引入正極性LMS反饋位移信號頻譜Fig.16(b)Thefrequencyspectrumofdisplacesignalatfr=200HzwhileaddingpositiveLMSfeedback

5結(jié)論

針對磁懸浮轉(zhuǎn)子的不平衡振動問題，建立了在不平衡激振力作用下的轉(zhuǎn)子動力學(xué)模型，通過引入自適應(yīng)LMS反饋補償，大幅增加了系統(tǒng)對位移信號中轉(zhuǎn)速同頻分量的廣義動剛度；利用廣義根軌跡的方法分析了加入算法后系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性問題，指出單一地以負極性或者正極性形式引入LMS反饋補償均存在系統(tǒng)在臨界轉(zhuǎn)頻之上或者之下發(fā)散的問題。為此，專門設(shè)計了變極性反饋的控制策略。仿真和實驗均表明，該方法可在保證系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定的前提下，實現(xiàn)全轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)的最小位移控制。

由于轉(zhuǎn)子所受不平衡激振力與其轉(zhuǎn)速平方成正比，故在轉(zhuǎn)頻很高時實施不平衡補償，需要功放環(huán)節(jié)提供很大的控制電流。但是，功放環(huán)節(jié)會在高頻時呈現(xiàn)明顯的飽和特性，從而給系統(tǒng)帶來嚴(yán)重非線性。因此，如何解決實現(xiàn)不平衡補償需要增加控制電流與功放高頻飽和這一對矛盾，有待于進一步深入研究。

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